681.326.75
Расчет надежности, достоверности диагностирования и контроля технических систем с несколькими контролируемыми
параметрами
А. В. СКВОРЦОВ, М. С. УКОЛОВ
Получены математические выражения, позволяющие определять численные величины показателей достоверности контроля и диагностирования всей системы через характеристики достоверности каждого из контролируемых параметров. Предлагаемые формулы и алгоритмическую процедуру можно использовать на практике для повышения качества и надежности диагностирования сложных технических систем.
Ключевые слова: надежность, достоверность, диагностирование, контроль, сложные технические системы.
The mathematical expressions are received, allowing defining numerical sizes of reliability of the control and diagnosing of all system through characteristics of reliability of each of controllable parameters. Offered formulas and algorithmic procedure can be used in practice for improvement of quality and reliability of diagnosing of complex technical systems.
Key words: reliability, diagnosing, the control, complex technical systems.
Современные гибкие производственные системы (ГПС) являются сложными техническими объектами, на которых выполняется большое количество переходов с использованием принципа концентрации операций. Поэтому контроль и диагностирование элементов ГПС и выпускаемой продукции должны вестись по нескольким параметрам одновременно [1]. К самим процессам контроля и диагностирования в этом случае предъявляются повышенные требования по обеспечению высокого уровня надежности и достоверности. Рассмотрим метод расчета надежности и достоверности контроля системы с несколькими параметрами.
Если диагностируемая система имеет m контролируемых параметров, то показатель надежности контроля, т. е. вероятность того, что все контролируемые параметры находятся в пределах допуска, запишем в виде
m
P (A) = П P (A i), (1)
i=1
где А- — вероятность того, что контролируемый i-й параметр находится в заданном допуске. Вероятность оценки состояния всей системы как работоспособной (годной) аналогично будет
m
P (B) =П P (B /). (2)
i=1
Противоположные события, т. е. вероятность P(A) того, что система неработоспособна (негодная) и вероятность P (B) оценки определим по формулам
P(A) = 1 - P(A); (3)
Р(В) = 1 - Р(В). (4)
Вычитая почленно левые и правые части (3) и (4), получим
Р(А)-Р(В) = 1 - Р(А)-1 + Р(В)=Р(В)-Р(А). (5) Формулу (5) можно использовать для расчета вероятности того, что диагностируемая (контролируемая) система находится или в работоспособном р, или в неработоспособном состоянии (признана неработоспособной) д хотя бы по одному параметру:
т
р = П Р/; (6)
/=1
Я = Р(В) - Р( А) + П Р/ = Р (А) - Р (В) + П Р/. (7)
/=1 /=1
Вероятность ошибочной оценки системы как неработоспособной, когда она на самом деле работоспособна (ошибка первого рода а), и вероятность ошибочной оценки системы как работоспособной хотя бы по одному параметру, когда она на самом деле неработоспособна (ошибка второго рода Р), можно определить с учетом (6) из выражений [2]:
а = P(AB) = P(A) -ПPi; (8)
i=1
Р= P (AB) = P (B) -П Pi ■ (9)
i =1
Ошибку первого рода а называют риском изготовителя, а ошибку второго рода р — риском потребителя.
Измерительная техника № 6, 2006
3—1008
Однако формулы (2)—(9) не вполне удобны для расчетов, поскольку обычно величины Р(В) и р(в) на практике непосредственно не определяют. Поэтому для расчета величин р,, q¡, а,, в, используют номограммы и подпрограммы для ЭВМ [2]. Искомые величины р, q, а, в для технической системы с несколькими диагностируемыми параметрами можно выразить через показатели надежности и достоверности контроля как для каждого /-го параметра р,, q,, а,, в,, так и для всех т параметров системы. С учетом параметров а и в формулы (1) и (2) можно записать в следующем виде:
Р (Л/ ) = р/ + а /;
р (в / ) = р, + в/;
т
Р (А) = П(Р / + а/);
/=1
Р (В) = П(р / + в/ )■ /=1
(10)
(11)
Подставив полученные выражения Р(А) и Р(В) в (8) и (9), получим общие формулы для оценки ошибок первого и второго рода
а
тт
= П (р , + а/)- П р/; /=1 /=1
в = П (р / + в/) - П р/ ■ /=1 /=1
(12)
(13)
Если контролируемые параметры системы, а также средства контроля и диагностирования однотипны, то формулы (12) и (13) можно записать в виде
тт
а=(р / + а/) - рт=1 ст рт ат - рт; (14) /=1
в=(р / + в/) - рт =1 ст рт вт - рт, /=1
(15)
где — количество сочетаний из т элементов по п.
Из (14) и (15) видно, что показатели а и в представляют собой сумму членов разложения биномов Ньютона, содержащих величины р, и а,, а также р, и в, без старшего члена
рТ ■
Значения q можно определить, используя выражения для одного параметра р, + а, + в, + q/' = 1; для т параметров р + а + в + q = 1. Откуда получаем
q¡ = 1 - р, - а, - в, ;
q = 1 - а - в - р . (16)
С учетом (6), (12) и (13) выражение (16) запишем в виде
т т т
Я = 1 - П(Р/ +а/) - П(Р/ + в/) + ПР/ ■ (17) / =1 /=1 /=1
Однако для анализа структуры достоверности диагностирования и контроля факта признания системы неработоспособной q более целесообразно использовать развернутую формулу. Допустим, что оценивается надежность и достоверность операций диагностирования и контроля системы, имеющей два параметра. Тогда на основании произведения вероятностей для полной группы событий запишем
(рт + а! + вт + q1) (р2 + а2 + в2 + q2) = 1. (18)
Раскрыв скобки, получим
ртр2 + атр2 + втр2 + q1p2 + рта2 + ата2 + вта2 + q1а2 + + ртв2 + атв2 + втв2 + q1в2 + p1q2 + а^2 + в1q2 + q1q2 = 1. (19)
На основе анализа физического смысла формулы (19) можно записать
р = ртр2;
а = атр2 + рта2 + ата2;
в = в^2 + рЛ + вЛ;
+ а„В„ + q.,+ + I
q = q1p2 + вта2 + q1а2 + атв2 + q1в2 + рт q2 + а^2 + в1q2 + q1q2 = 1.
(20) (21) (22)
(23)
Формула (23) определяет структуру брака (оценки системы как неработоспособной). В ней имеются члены вта2 и атв2, которые не содержат в качестве сомножителя параметр q,. Это означает, что система неработоспособна по одному параметру, а признана неработоспособной по другому, который в действительности находится в пределах допуска.
При контроле т параметров соблюдается условие
т
(р+а + в + Я) = П( Р/ +а / + в/ + Я / ) = 1. (24)
/=1
Тогда с учетом выражений (6), (10) и (11) получим
т т т т
Я = П(Р/ +«/ + в/ + Я/)- П(Р/ +«/)- П(Р/ + в/) + ПР/■ (25)
/=1
/=1
/=1
/=1
Формула (25) показывает вклад различных факторов процесса диагностирования и контроля в формирование величины q. В более простом случае, когда все контролируемые параметры и средства их контроля одинаковы, (25) примет вид
Я = (Р/ + а, + в/ + Я/ )т - (р, + а,- )т - (р, +Р,- )т + рт.
Расчет величины q можно осуществлять по алгоритму, приведенному на рисунке.
Анализ вклада различных факторов в формирование величины q позволяет в определенной степени управлять процессом контроля и назначать допускаемые погрешности измерительной аппаратуры. Так, если вклад какого-либо слагаемого (фактора контроля) значителен, то следует применить более точное средство контроля или данный параметр проконтролировать дважды. Причем, повторному контролю следует подвергать те параметры, по которым система признана неработоспособной (забракованной). Подобный же вывод можно сделать, если проанализировать
10
Измерительная техника № 6, 2006
т
+
т
т
т
^^ Начало ^^
р= 1, а1 =0, =0, = 0
р2 = рР а2 = а,- Рг = Р/> <?2
Расчет по формулам (20) - -(23)
р1 = р, сц = а, ^ = р, ^ г = / + 1 = Я
Алгоритм расчета достоверности контроля и диагностики
факторы контроля, формирующие величину а. При диагностировании технологической системы важно иметь также высокий уровень достоверности контроля параметра р.
Выбор стратегии и параметров повторного контроля и диагностирования следует осуществлять по специальным алгоритмам, заложенным в программное обеспечение управляющей ЭВМ. На практике повышение надежности и достоверности контроля, как правило, является экономически более выгодным по сравнению с контролем измерительными средствами с пониженной точностью или по процедурам с относительно низким уровнем достоверности.
Расчет параметров р, а, р, д возможен непосредственно по (17)—(25). При использовании алгоритма подобного расчета поступают следующим образом. Предварительно принимают начальные значения показателей надежности и достоверности равными: р1 = 1; а1 = 0; Р1 = 0; д1 = 0. Далее на каждом /-м шаге расчета вводят новые значения: р2 = р; а2 = а.; Р2 = р.; д2 = д.. . На этом же шаге вычисляют р, а, р, д, а в следующем блоке присваивают новые индексы параметрам: р1 = р; а1 = а.; Р1 = р.; д1 = д(. . Длина цикла определяется условием /< m.
Пример. У системы контролируют три параметра геометрического типа с допусками Т1 = 0,06 мм, Т2 = 0,04 мм, Т3 =
= 0,03 мм, причем параметр с допуском Т3 имеет опреде-
•
ляющее значение для работоспособности системы, и его контроль ведется по технологическому допуску Т3т = 0,024 мм. Средние квадратические отклонения (СКО) контролируемых параметров равны ою1 = 0,01 мм, ою2 = 0,066 мм, ою3 = = 0,007 мм, а СКО методов измерений ом1 = ом2 = 0,005 мм и ом3 = 0,0031мм.
Для определения искомых показателей достоверности контроля и диагностирования р, д, а, р воспользуемся стандартными номограммами [2]. Предварительно находим соотношения Т1 / ош1 = Т2 / оЮ2 = 6; Т3 / оЮ3 = 3,5; Ам1 = °м1 / Т1 =
= 0,0083; Ам2 = Ом2 / Т2 = 0,125; ^3 = Ом3 / Т3Т = 0,15. Данные, полученные из номограмм, приведены в таблице.
Значения показателей достоверности контроля
№ п/п Р (А, ) а в/ Р, Я/
1 0,9973 0,016 0,0008 0,98 0,0019
2 0,9973 0,011 0,0006 0,98 0,0021
3 0,9188 0,048 0,022 0,87 0,058
С учетом (12) находим
а = (р1 + а1) (р2 + а2) (р3 + а3) - р1р2р3 = 0,078.
Правильность подстановки подтверждается данными таблицы.
Расчет д можно провести либо по (25), либо по алгоритмической процедуре. Поскольку данный расчет по данным таблицы достаточно громоздок, дадим только его конечный результат: д = 0,064.
Расчеты показывают, что наибольшую долю в величину д вносит составляющая р1р2 д3 = 0,056, а в величину а — слагаемое р1р2а3 = 0,046. Для повыш
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.