ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2014
ТЕХНОГЕННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ МАШИН И КОНСТРУКЦИЙ
УДК 519.718
© 2014 г. Садыхов Г.С.
РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КОНТРОЛЯ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ТЕХНОГЕННО-ОПАСНОГО ОБЪЕКТА
ОАОНПП "Циклон-Тест", г. Фрязино МО
Доказана формула расчета моментов времени контроля технического состояния техногенно-опасного объекта, а также формула расчета количества межконтрольных интервалов эксплуатации в зависимости от заданных значений показателей безотказности объекта. Кроме того, установлена монотонность продолжительно-стей равновероятных межконтрольных интервалов времени эксплуатации для объектов с монотонными изменениями интенсивностей отказов. Доказана монотонность изменения значений вероятностей безотказной работы объекта в межконтрольных интервалах времени, имеющих одинаковую продолжительность эксплуатации и монотонное изменение интенсивности отказов.
В процессе эксплуатации техногенно-опасного в применении объекта требуется систематический контроль технического состояния, его диагностирование и (или) техническое обслуживание. Обозначим все эти процессы одним словом — контроль (объекта).
Пусть Я — назначенный ресурс, в течение которого вероятность безотказной работы такого объекта не меньше заданного уровня у0 (0 < у0 < I).
— моменты времени контроля объекта.
Наработка, равная ту — ту _называетсяу-й межконтрольной наработкой, а интервал [ту_!, ту] — у-м интервалом времени межконтрольной эксплуатации объекта, т0 = 0, У = 1, 2, ..., I [1].
Пусть заданы следующие значения: уь у2, ..., у,-_ ь Уу, ..., у(, где 0 < уу < 1 и
где Р() — вероятность безотказной работы объекта в течение времени, указанного внутри скобок. Тогда у-я межконтрольная наработка рассчитывается по формуле
Пусть
Т1 <т2 < ... _ ! <Т; <...<Т1
Р(Т)/Р(Т-1) = Ъ ( = 1, 2, ..., I),
(1)
Т - Т -1 = Чъ -1),
(2)
где Гу (т-_!) — гамма-процентный остаточный ресурс объекта сверх времени ту-при заданном уровне у= уу, определяемый из уравнения
Р(т- -1 + г) / Р(т- -1) = Ъ (3)
как решение относительно времени (г = Гу (т.--1)) [2].
О' ^
Записав выражение (1) в виде (3), имеем р(т- - 1 + (т- - т- - 1 ))/Р (т- -1) = у,,
отсюда получим формулу (2), где у = 1, 2, ..., г.
1. Из формулы (2) вытекает следующая рекуррентная формула расчета моментов времени контроля объекта
т- = т--1 + -1) (- = 1' 1).
Видно, что для расчетау-го момента времени контроля необходимо рассчитать все предыдущие моменты времени контроля объекта ть т2, ..., ту _ь что создает определенные сложности практического использования этой формулы.
Докажем следующее утверждение, которое свободно от этого недостатка. Теорема 1. Пусть условные вероятности безотказной работы объекта на интервалах [ту-_!, ту] определены соотношениями (1). Тогда времяу-го контроля объекта рассчитывается по следующей формуле:
т- = гу, (4
где ?у = Ту(0) — гамма-процентный (безостаточный) ресурс при уровне безотказности
у = У1У2'" Уу > y0, у = 1, 2, ;.
Доказательство. Для доказательства воспользуемся методом математической индукции. Имеем из (1) Р(т:) = уь отсюда находим т: = г , где значение г определяется
из уравнения Р(?) = у: как решение относительно (? = г ). Таким способом найденное значение г называют гамма-процентным (безостаточным) ресурсом [3].
Следовательно, формула (4) справедлива при у = у:. Согласно методу математической индукции, предположив справедливость формулы (4) при у = у1у2--- уу_ ь докажем ее справедливость при у = у1у2— уу- _ 1уу-.
Следуя принятому предположению, имеем
р(т- -1) = У1У2-" У; -1. (5)
Используя (1), получим Р(т) = У/Р(ту_:).
Учитывая соотношение (5), находим Р(ту) = У1У2"'Уу _ 1У/.
Отсюда следует искомая формула (4).
Поскольку момент времени контроля ту находится внутри интервала (0, Я), где Я = у , то у1у2",уу_ 1у/- > у0, что доказывает теорему 1 полностью.
2. Установим монотонные свойства длительностей межконтрольных интервалов эксплуатации объекта.
Теорема 2. Пусть в течение продолжительности между моментами контроля значения условных вероятностей безотказной работы объекта равны друг другу. Тогда для объектов с монотонно возрастающей интенсивностью отказов последовательность длительностей межконтрольных интервалов времени эксплуатации монотонно убывает.
Доказательство. Пусть [тктк) и [тт, тт + 1) — произвольные межконтрольные интервалы времени эксплуатации объекта, где 1 < к < т. Согласно условию теоремы имеем
Р(тк)/Р (тк -1) = Р (тт +1)/Р(тт) = у. Тогда необходимо доказать, что
тк - тк- 1 >тт + 1 - Тт . (6)
Из определения показателя "гамма-процентный остаточный ресурс" следует, что [2] Р(т + Ту(т))/Р (т) = у. (7)
Отсюда имеем Р(т + Ту(т)) = уР(т).
Взяв производную от обеих частей, получим
5т
Учитывая (7), находим
Р'(т + Ту(т))( 1 + Щ/г) = уР'(т) •
1 + 5 Т ( т ) = Р' ( т ) Р( т + Ту ( т ) ) (8)
5т Р(т) Р'( т + Ту( т ) ). ( )
Так как интенсивность отказов равна [4] Ц?) = —Р'(?)/Р(?), то, учитывая эту формулу в (8), имеем
1 + 5Ту(т)/5т = Цт)/Х(т + Ту(т)).
Отсюда получим
5Ту (т)/5т = Цт) / Цт + Ту(т)) - 1. (9)
По условию теоремы интенсивность отказов объекта — монотонно возрастающая функция времени. Поэтому Цт + Ту(т)) > А,(т), так как Гу(т) > 0, согласно определению остаточного ресурса [2]. Следовательно, правая часть выражения (9) отрицательна и тогда Гу(т) как функция времени т монотонно убывает. В частности, имеем
Ту(тк- 1 )> Ту(тт) , (10)
так как тт > тк
По формуле (2) находим
ТУ(тк- 1) = тк - тк- 1; Ту(тт) = тт + 1 - тт ,
С учетом (10) отсюда следует оценка (6), что и доказывает теорему. В качестве примера рассмотрим объект, ресурс которого распределен равномерно на отрезке времени (0, Я).
Пусть в течение времени между моментами контроля значения условных вероятностей безотказной работы объекта одинаковы и равны у. Тогда, согласно теореме 2, последовательность длительностей межконтрольных интервалов времени эксплуатации объекта монотонно убывает, поскольку для этого закона распределения ресурса интенсивность отказов, равная (Я — ?)-1, монотонно растет на отрезке времени (0, Я) [5]. Проверим утверждение примера другим способом. По формуле (4) имеем
т-т-1 = V-V-1, - =12 .••'1,
поскольку согласно условию примера у: = у2 = ... = у, _: = у, = ... = у,- = у.
Для равномерно распределенного ресурса на отрезке времени (0, Я) гамма-процентный ресурс рассчитывается по формуле [6] ?у = (1 — у)Я (0 < у < 1). Учитывая это, найдем т — т.- _: = (/ -1 — /)К. Взяв производную, получим
д(т- - т--1)/д- = / 1пу(1 - 1) Я.
У
Так как 1пу < 0, то правая часть отрицательна. Отсюда находим, что последовательность длительностей межконтрольных интервалов времени эксплуатации объекта монотонно убывает.
Для объектов с монотонно убывающей интенсивностью отказов справедливо следующее утверждение, доказательство которого проводится точно также, как и доказательство теоремы 2, поэтому ограничимся только формулировкой самого утверждения.
Теорема 3. Пусть в течение продолжительности между моментами контроля значения условных вероятностей безотказной работы объекта равны друг другу. Тогда для объектов с монотонно убывающей интенсивностью отказов последовательность длительностей межконтрольных интервалов времени эксплуатации монотонно возрастает.
В связи с утверждениями теорем 2 и 3, возникает вопрос о поведении длительностей межконтрольных интервалов времени эксплуатации объекта в случае, когда интенсивность отказов постоянна. Следующее утверждение отвечает на этот вопрос.
Теорема 4. Пусть в течение продолжительности между моментами контроля значения условных вероятностей безотказной работы объекта одинаковы и равны у (0 < у < 1). Тогда для объектов с постоянной интенсивностью отказов, равной Л0 > 0, последовательность длительностей межконтрольных интервалов времени эксплуатации также постоянна и равна —1пу/Л0.
Доказательство. Рассмотрим произвольную у-ю межконтрольную наработку ту — ту _ ь где у = 1, 2, ..., г.
Согласно условию теоремы и формуле (4), имеем ту = г --; т--1 = г,_ 1. Тогда
т- - т- - 1 = V - V-1 , (11)
где у = 1, 2, ..., г.
Поскольку гамма-процентный ресурс для объектов с постоянной интенсивностью отказов, равной 10 и заданным уровнем вероятности у (0 < у < 1) рассчитывается по формуле [7] ?у = —1пу/10, то, применяя эту формулу к правой части (11), получим
т-- т- -1 = 1 (1п у-1 - 1п 1).
Л0
Упрощая правую часть, находим
т- - т--1 = , (12)
Ло
где у = 1, 2, ., г.
Видно, что правая часть (12) постоянна, так как не зависит от у и равна —1п у/Л0, что и доказывает теорему 4.
Заметим, что из формулы (12) следует, что моменты времени контроля объекта т1, т2, ., тг образуют последовательность чисел арифметической прогресс с разностью прогрессии, равной —1п у/Л0.
3. Теоремы 2, 3 и 4 отвечают на вопрос: как ведут себя равновероятные длительности межконтрольных интервалов времени эксплуатации объекта в зависимости от ха-
рактера монотонности интенсивности отказов. В связи с этим, возникает другой вопрос: как ведут себя значения условных вероятностей безотказной работы объекта в течение длительностей межконтрольных интервалов времени эксплуатации, которые имеют одинаковую продолжительность? В связи с этим, докажем следующее утверждение.
Теорема 5. Если интенсивность отказов как функция времени монотонно растет и все межконтрольные интервалы времени эксплуатации объекта имеют одинаковую продолжительность, т.е.
Ту1(т0) = Ту2(т1) = ... = Тъ(т;.-1), (13)
то последовательность значений условных вероятностей безотказной работы объекта в течение времени между моментами контроля монотонно убывает, т.е.
У1 >У2 >...>у„ . > 2 . (14)
Доказательство. Допустим противное. Тогда существуют хотя бы два значения условных вероятностей безотказной работы объекта ук и ут, для которых не выполнено соотношение (14), т.е. ук < ут, где 1 < к < т < ,.
Используя это соотношение, согласно свойству показателя "гамма-процентный остаточный ресурс", получим [8]
ТУк(тк-1 )> Т1т(тк-1). (15)
По условию теоремы интенсивность отказов как функция времени монотонно растет, следовательно, согласно оценке (10), имеем
Т1ш(тк- 1 )> Тут(тт - 1)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.