ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, № 1, с. 100-105
УДК 541.182.65.011
РАСЧЕТ СКОРОСТИ СТЕСНЕННОГО ОСАЖДЕНИЯ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ СМЕСЕЙ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ В НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ
© 2008 г. А. С. Кондратьев, Е. А. Наумова
Московский государственный открытый университет ask41@mail.ru Поступила в редакцию 31.01.2007 г.
Предложенный ранее метод расчета скоростей стесненного осаждения частиц произвольной формы обобщается на случай полидисперсного распределения частиц по размерам. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными по осаждению би- и тримо-дальных смесей стеклянных сферических частиц.
Методы расчета скоростей свободного и стесненного осаждения твердых частиц произвольной формы в ньютоновской жидкости изложены в работах [1-5]. При этом стесненное осаждение частиц сферической и произвольной формы рассматривалось на примере бимодальной (бидис-персной) смеси. Разработанные методы последовательно строились таким образом, что каждая последующая расчетная схема обобщала предшествующие, за исходную схему взята предложенная в работе [1] простая аппроксимирующая формула для расчета зависимости коэффициента гидравлического сопротивления сферической частицы от числа Рейнольдса, которую, с погрешностью, не превышающей 10% в области высоких чисел Яе и менее 4% в остальной области чисел Яе, можно использовать при числах Яе < 2 х 105. На основе этой зависимости в работе [2] получены расчетные соотношения, позволяющие рассчитать скорость свободного осаждения монодисперсных частиц произвольной формы. При расчете скорости стесненного осаждения монодисперсных сферических частиц [3] принимали, что стесненность потока проявляется как в виде зависимости эффективной вязкости гидросмеси от объемного содержания твердой фазы, так и в том, что характерной скоростью обтекания частицы является не скорость на-текания жидкости на лобовую точку, а скорость жидкости в пространстве между частицами, т.е. учитывалась локальная стесненность потока жидкости, а контактное взаимодействие между частицами отсутствует. В работе [4] этот подход был обобщен для бимодальной смеси сферических частиц. При этом, считали, что между частицами существует механическое контактное взаимодействие, которое может быть описано как удар (упругий или неупругий). В работе [5] этот подход был развит для бимодальной смеси частиц произвольной формы.
Для каждого из рассмотренных видов осаждения было показано, что результаты расчетов по полученным зависимостям в достаточной мере удовлетворительно совпадают с результатами расчетов по известным теоретическим зависимостям и/или с опытными данными.
В данной работе предложенный метод расчета скоростей осаждения распространяется на случай осаждения полидисперсных смесей твердых частиц сферической и/или произвольной формы.
В работе [2] показано, что при расчетах осаждения твердых частиц произвольной формы, частицу 1-го вида можно охарактеризовать четырьмя эквивалентными диаметрами:
dv i = (6 V; / п)1/3; dsi = ( Ssí/k)112; 1/2
dm; = (4 Sm;/n) ; de; = (2ds; + dm;) /3;
(1)
где й^ - эквивалентный диаметр шара, определенный по объему частицы V, используемый при расчете числа Архимеда; - эквивалентный диаметр шара, определенный по площади боковой поверхности частицы используемый при расчете величины йе; йтг - эквивалентный диаметр шара, определенный по площади миделевого сечения частицы 8т, используемый при расчете величины йе1 и учета контактного взаимодействия между частицами; йег - эффективный эквивалентный диаметр частицы, используемый при расчете числа Рейнольдса.
В процессе осаждение полимодальной смеси, состоящей из частиц 1-го вида, образуются } = (г + 2) слоя. В верхней части сосуда образуется слой чистой жидкости (] = 0). Затем располагаются слои, содержащие смеси: монодисперсные с концентрацией фп, билюдальные с концентрацией ф12 и ф22, тримодальные с концентрацией ф13, ф23 и ф33. Ниже
находятся слои гидросмеси с количеством частиц в слое равным у ( < у); над осадком - полимодальная смесь твердых частиц, состоящая из исходной смеси частиц с концентрацией фу, ф2у, ф3у ... и фу. На дне сосуда образуется (у + 1) слой - осадок, состоящий из смеси частиц всех видов.
В переменных число Рейнольдса - число Архимеда - выражение для закона сопротивления при движении одиночной частицы произвольной формы может быть представлено в виде [4, 5]:
Re3 + ARe2 + B^Re^ + Cj = 0,
(2)
где А = 32 + 77/Стш; Ву = (768 - 4Аг(/7(//3)/С1пт; Су = 128АгуТу/(3Ст1п); Ст1п = 0.44 - значение минимального коэффициента гидравлического со-
3 2
противления; Агу = й^ ^р(рг - р)/- число Архимеда частиц ¡-го вида в у-ом слое; Яву = йеру]р/уцу -число Рейнольдса частиц ¡-го вида в у-ом слое; и у -скорость обтекания частиц ¡-го вида в у-ом слое.
Уравнение (2) можно решить методом последовательных приближений по рекуррентной формуле:
^ = (^, .„ + Л Ке2(, .„ + С, (,.,,)/, З^2, , _,+)
+ 2Л Яе, <_, + В,(, _,,).
Начальное значение Яею определяется с помощью выражения:
Яе.с =
= (144/C^in + 4Ari;Ti;/ (3 Cmin) )1/2- 12/Cmin).
(4)
Скорость обтекания частиц потоком жидкости вычисляют из выражения:
и,} = йе,/,}р). (5)
где /у - поправочная функция, которая в случае полимодальной смеси, приобретает вид:
fj = П( 1- п( 6 Ф,Д)2/3/4)
-1/2
(6)
Величина динамической вязкости полимодальной смеси рассчитывалась по формуле, которая является "средней" по отношению к эмпирическим зависимостям, предложенным в [6]:
/ \ N-1.715
Wi = ^
1- ^ф,7/0.62
i = 1
В полимодальном слое осаждающихся частиц учет контактного взаимодействия проводился следующим образом [4, 5]. Принимается, что частицы всех видов расположены в узлах простой кубической решетки и что контактное взаимодействие между частицами одного вида отсутствует. В этом случае, в системе координат, связанной с наблюда-
емыми частицами ¡*-го вида в у-ом слое, осаждающимися в неподвижной системе координат со скоростью и*, частицы других видов в этом же слое, осаждающиеся в неподвижной системе координат со скоростями игу5, перемещаются относительно
первых с относительными скоростями (и* - Ру). Принимается также, что при контактном взаимодействии (ударе) между частицами ¡-го вида и остальными частицами, находящимися в у-ом слое, выполняется условие равенства импульса сил взаимодействия между сталкивающимися частицами [7], с учетом того, что при нестационарном движении в жидкости, вместо истинной массы частиц используется их приведенная масса, которая превышает истинную массу частиц на половину массы равного по объему шара, состоящего из жидкости. Принимается также, что ввиду большого числа ударов между частицами и произвольном чередовании ударов между собой, во всех рассматриваемых парных взаимодействиях скорости постоянны. Тройные и столкновения более высокого порядка не учитываются. В этом случае взаимодействие частицы с частицей, имеющей больший индекс ¡, приводит к возрастанию скорости, а взаимодействие с частицей, имеющей меньший индекс ¡, наоборот, уменьшает величину скорости. В работе [5] получены выражения для величин 7у при парном взаимодействии сталкивающихся частиц. В рассматриваемом случае, с учетом допущения о возможности суммирования парных взаимодействий, выражения для величин 7у принимают вид:
)-1
Т1] = 1 + ^п(к +1))Ск,(к +1)й^(к + 1)/(Р; - Р) -
k --
i-1
(8)
^^ amjnmjCm (m + 1) d vm/(Pi p) ,
где п(к + 1)у = 6ф(к + 1)/(п¿V(к +1) ) или пту = 6фту /(пй Vт ) -
количество частиц (к + 1) или т-го видов в единице объема в у-ом слое; причем к < (у - 1), а т < ^ - 1).
Величина Ск(к + 1) также определяется с помощью трансформации выражения, полученного в работе [5]:
Ск(к+1) = £к(к+1)( 1 + Кк(к+1)Жрк + р/2 )(рк+1 +
(7) + p/2)/[(Pk + p/2)dVk + (Pk + 1 + P/2)dV(k +1)]}x (9)
x( U (k + 1) js- Ukjs)2/(2 g),
где Kk(k + j) - коэффициент восстановления кинетической энергии после удара частиц k-го и (к + 1)-го видов; Kk(k + 1) = 1 при абсолютно упругом ударе; 0 < Kk, к + 1 < 1 при частично упругом ударе; Sy = = n(dmy + dm(i + 1)y)2/4 - сечение парного взаимодействия частиц (площадь поперечного сечения, на
m
котором находящиеся в 7-ом слое частицы г-го вида взаимодействуют с одиночной частицей (г + 1)-го вида. Формула (9) используется и для расчета величин Ст(т+1) с заменой индекса "к" на индекс "ж".
Величины а«, характеризующие частоту соударений частиц различных видов, по аналогии с выражением, полученным в [4], принимают вид:
2/3
2/3
aij = (nij Su) , при («¡+1)jsiji;
Ыц = (n
(¡+1) j"4j
2/3 2/3
:/Пц) , при ( n
(¡ + 1) j^ij
Sj)> 1.
(10)
В монослое скорость осаждения частиц первого вида и118, рассчитываются по формулам (3)-(7), в которых величина Тп = 1.
Исходя из условия сохранения расхода частиц г-го вида на границе раздела у-го слоя, уравнение, определяющее объемную концентрацию ф^х), имеет вид:
1) js - Ui(j -1)s) .(11)
Ф;(}-1) = ф;/ии + 1)- и^)/(и(;
Выражение (11) позволяет итеративным путем определить концентрацию частиц в вышерасположенном слое гидросмеси при заданных концентрациях частиц в нижнем слое гидросмеси.
Выражения, связывающие скорости обтекания частиц жидкостью и«, скорости осаждения частиц и¡р и скорости противотока жидкости в «-ом слое полимодальной смеси и«, имеют вид;
U
fj
1- ¿Фу = Ё
Uij = Uj + Uj
(12)
i = 1
Соотношения (3)-(12) позволяют рассчитать скорости осаждения и« и концентрации фу при заданных значениях: , ёжг, рг, р, ц, К¡« и исходных значениях концентрации частиц в самом нижнем слое гидросмеси ф«.
В случае полидисперсных смесей сферических частиц величины ё5г, ёжг и ёег определяются следующим образом.
Если полидисперсная смесь образована смесью монодисперсных частиц ¡-го вида диаметром ёг, то из определения величин ё^, ёжг и ёег следует, что = = йжг = 4
Если полидисперсная смесь сферических частиц представляет собой непрерывное распределение частиц по размерам у = у(ёг), то необходимо весь диапазон диаметров частиц (ёг тах - т1п) разбить на г интервалов. При этом каждый интервал должен содержать достаточно большое количество частиц, то есть был представительным, и, в то же
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.