ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2013
УДК 533.6:621.822.5
© 2013 г. Григорьев Б.С., Смирнов Д.Б.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК УПОРНЫХ ПОДШИПНИКОВ СО СПИРАЛЬНЫМИ КАНАВКАМИ В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ЧИСЕЛ
СЖИМАЕМОСТИ
Предлагается численный метод расчета характеристик подшипников со спиральными канавками, работающих на газовой смазке, на основе интегрирования уравнения Рейнольдса методом конечных элементов. Разработанный метод может быть применен к подшипникам любой геометрии и формы канавок. В качестве конкретного примера рассматривается упорный подшипник. Приводятся данные по зависимости несущей способности от числа сжимаемости и числа канавок. Проводится сравнение с асимптотической теорией узких канавок.
Подшипники со спиральными канавками на газовой смазке находят большое применение в различных технических устройствах. В последнее время они стали широко использоваться в так называемых микроэлектромеханических изделиях (компрессоры, турбины, моторы, генераторы и др.), размеры которых составляют несколько миллиметров. Для того чтобы подобные микроустройства были достаточно эффективны, их роторы должны вращаться с высокой скоростью. В работе [1] описывается турбина с плоским ротором диаметром 4,2 мм и толщиной 0,3 мм, вращающимся со скоростью 450000 об/мин. При этом первоначально в качестве упорных подшипников для поддержания ротора использовали подшипники с наддувом, но затем они были заменены на подшипники со спиральными канавками. При конструировании подшипника опирались на теорию узких канавок, ссылаясь на работы [2, 3]. Однако ожидаемые и фактические характеристики подшипника оказались сильно различными.
Основываясь на теории, авторы работ [2, 3] рассчитывали разогнать ротор до 812000 об/мин, что оказалось почти в два раза больше достигнутого, примерно такие же различия обнаружились для несущей способности и жесткости. Среди возможных причин отмеченных расхождений можно предположить и следствие несовершенства использованной теории. Более содержательные теории, в которых учитывается и количество канавок, были построены в работах [4, 5].
Однако самые полные сведения о характеристиках подшипников со спиральными канавками могут быть получены при численном решении уравнения Рейнольдса газовой смазки. В последнее время появляется все больше работ на эту тему. В частности, численному расчету упорных подшипников и уплотнений со спиральными канавками посвящены статьи [6, 7]. Из более ранних работ следует выделить статью [8], в которой численно решалось обобщенное уравнение Рейнольдса с учетом эффекта проскальзывания первого и второго порядков. Отметим, что в условиях ограниченности имевшихся на то время вычислительных ресурсов удалось получить достаточно точные результаты за счет использования экстраполяции на последовательности сеток.
Стационарное уравнение Рейнольдса для сжимаемой смазки в безразмерной записи в произвольной ортогональной системе координат имеет вид
Шу(к^га^Р - ЛУкл/Р) = 0.
(1)
Уравнение (1) записано относительно квадрата давления Р = р2 (р — давление), где к — толщина смазочного слоя; V — вектор скорости одной из смазываемых поверхностей (другая
Д,
Рис. 1
предполагается неподвижной); Л = 6циЬ/(к0ра) —
безразмерный комплекс, называемый числом сжимаемости; ц — динамическая вязкость используемого для смазки газа; масштабные величины ра — для давления, к0 — для толщины смазочного слоя, и — скорости, Ь — для продольных длин подшипника.
Отличительной особенностью уравнения (1) является наличие слагаемого, пропорционального Л, которое отсутствует в аналогичном уравнении для жидкостной смазки. В вычислительной математике уравнения такого вида называются уравнениями конвекции-диффузии [9], а слагаемое с Л конвективным слагаемым. Численное решение подобных уравнений при доминировании конвективных членов представляет серьезную проблему. Применительно к уравнению Рейнольдса (1) эти трудности проявляются в том, что при больших величинах параметра Л в решении появляются значительные градиенты давления в окрестностях скачкообразного изменения толщины смазочной пленки, а также на внешних границах смазочного слоя, расположенных вниз по потоку. Для правильной передачи таких резких изменений давления требуется локально измельчать разностную сетку в тем большей степени, чем больше величина Л. Это приводит к значительному увеличению числа разностных уравнений и соответственно к увеличению времени счета. Для уравнения Рейнольдса (1) ситуация усугубляется еще его нелинейностью. В то же время при интерактивном проектировании газовых подшипников хотелось бы получать быстрый ответ компьютера на изменения конструктивных параметров. Для этого необходимы эффективные численные методы решения уравнения (1).
Одной из самых трудных задач газовой смазки является расчет подшипников со спиральными канавками. В настоящей статье на основе метода конечных элементов строится численный метод решения уравнения Рейнольдса для исследования характеристик подшипников и уплотнений со спиральными канавками в широком диапазоне чисел сжимаемости и чисел канавок. Метод можно применить к подшипникам любой геометрии с произвольной формой канавок в поперечном и продольном направлениях. В качестве конкретного примера рассмотрим упорный подшипник со спиральными канавками (рис. 1).
Подшипник состоит из двух кольцевых поверхностей, на одной из которых нанесены спиральные канавки (на рисунке затенены), а другая является гладкой. Будем полагать, что гладкая поверхность вращается с постоянной угловой скоростью ю в направлении, показанном стрелкой, а профилированная неподвижна. Уравнение Рей-нольдса запишем в безразмерной форме в полярной системе координат г, ф с началом в центре подшипника
д (кЩ + ± (к. д-р - 2Лгк4-р
дг( дгдф( г дф
(2)
к
г
Здесь выбраны следующие масштабные величины: для длин — внешний радиус подшипника; скорости юЯ0; толщины смазочного слоя кг — его минимальная толщина; давления ра — давление окружающей среды. При этом число сжимаемости запи-
2 2
шем в виде Л = 6цюЛ0/(Нгра).
В предположении параллельности смазываемых поверхностей данное уравнение достаточно решить в пределах одной неподвижной секции канавка — выступ. При этом по краям секции ставится условие периодичности, а на внешнем и внутреннем радиусах условие равенства давления давлению окружающей среды. Для подшипника эти давления одинаковы, для уплотнения — различны.
Уравнение (2) нелинейное и для его решения необходимы итерации. С этой целью возможны два варианта представления нелинейного слагаемого на текущей итерации (к — итерационный индекс)
I--гк I--гк гк -1
1) !Рк = -Р=, 2) & = . (3)
Первая формула приводит к методу простой итерации, вторая — к методу Ньютона. На каждом шаге итерационного процесса получается линейное уравнение, которое решали методом конечных элементов. В результате проведенных вычислительных экспериментов было установлено, что метод Ньютона дает более быструю сходимость.
Стандартная процедура дискретизации по методу конечных элементов для больших чисел сжимаемости Л (так же, как метод конечных разностей и конечных объемов) приводит к системе алгебраических уравнений с немонотонной матрицей, вследствие чего в решении возникают осцилляции. Это отмечается и в статье [8]. Одним из способов преодоления данной проблемы является применение подхода Петрова — Галер-кина, когда базисные и пробные функции выбираются различным образом. Такой подход был использован в работах [6, 7].
Получить систему с монотонной матрицей в рамках метода Галеркина позволяет схема осреднения по ребрам, предложенная в [9]. Ее и использовали в настоящей статье. Метод Галеркина с учетом второй формулы (3) приводит к следующему интегральному тождеству
^дРдф +
дг дг
дР Лгк р |Ф| аа = Л ^н^1 дфст. (4)
г Зф ^рк - - ) дф) п ^ дф
Здесь интегрирование проводится по всей области смазочного слоя О, Ф — базисные функции, индекс текущей итерации к опущен, чтобы не загромождать запись. Триангуляцию области и выбор базисных функций осуществляли аналогично [10]. Так как матрица получающейся системы уравнений не симметрична, то для ее решения использовали обобщенный метод минимизации невязки, предобусловленный многосеточным методом [11].
Для верификации метода остановимся на сравнении с данными, полученными по методу конечных элементов в [6, 7]. Рассмотрим газодинамическое уплотнение со следующими параметрами [7]: = 0,05842 м, Яь = 0,069 м, Я0 = 0,07778 м, угол наклона канавок в = 15°, относительная ширина канавок а = 0,5, глубина канавок 5 мк, число канавок п = 10, скорость вращения ю = 28600 об/мин. Параметры окружающей среды: ц = 18 ■ 10-6 Ра ■ с, р1 = ра = 0,1013 МРа, р0 = 4,5852 МРа. На рис. 2 в качестве примера для сравнения показана зависимость несущей способности от величины зазора.
Число сжимаемости здесь изменяется в пределах от 749 до 4688. Пунктирной линией показан график, взятый из работы [7], сплошной линией — результаты настоящей статьи, значками выделены расчетные точки. Видно, что расхождение между двумя
п
W(H) 45000
35000
25000 20000
_l_I_I_L_
2 3 4 5 hr, мк
Рис. 2
W 16
12
8
4
20 40 60 80 100 n
Рис. 3
W
20
15 10 5
800
Рис. 4
1600 Л
графиками невелико. Примерно такое же расхождение обнаруживается и при сравнении с результатами работы [6].
В итоге проведенных расчетов были получены новые данные о свойствах подшипников со спиральными канавками. Проиллюстрируем их, рассматривая подшипник с параметрами: R0 = 1,0, Rb = 0,4204, R = 0,25, ß = 20°, a = 0,5, hg/hr = 3,2.
На рис. 3 построена зависимость безразмерной несущей способности (отнесенной к произведению paR0) от количества канавок для различных значений числа сжимаемости (1 — Л = 200; 2 — Л = 1000). Пунктирными горизонтальными линиями отмечены значения, вычисленные по асимптотической теории узких канавок [2]. Из этих графиков следует, что решение уравнения Рейнольдса сходится к решению уравнения теории узких канавок, но скорость сходимости существенно зависит от величины числа сжимаемости.
На рис. 4 построены зависимости несущей способности от числа сжимаем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.