МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2010
УДК 532.516
© 2010 г. В. В. КОЛЕСОВ, М. Н. РОМАНОВ
РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ, ПЕРИОДИЧЕСКИХ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ПРОНИЦАЕМЫМИ ЦИЛИНДРАМИ
Методами теории бифуркаций коразмерности два гидродинамических течений с цилиндрической симметрией с применением компьютерных вычислений исследуются движения жидкости между вращающимися проницаемыми концентрическими цилиндрами вблизи пересечения бифуркаций возникновения стационарного режима типа вихрей Тейлора и автоколебаний с азимутальными волнами.
Ключевые слова: проницаемые цилиндры, вихри Тейлора, азимутальные волны, устойчивость бифуркации, амплитудная система.
Расчеты нейтральных кривых в задаче Куэтта—Тейлора для проницаемых цилиндров показали, что при определенных значениях параметров нейтральные кривые, соответствующие монотонной вращательно-симметричной и колебательной трехмерной неустойчивости, пересекаются [1—4].
В середине 80 гг. XX в. В.И. Юдовичем в России, а также Ж. Йоссом и П. Шосса во Франции была развита теория бифуркаций коразмерности два гидродинамических течений с цилиндрической симметрией. Она позволила исследовать различные режимы движения жидкости, которые существуют вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн [5, 6].
В данной работе эта теория применяется для расчета движений жидкости в задаче Куэтта—Тейлора для проницаемых цилиндров.
1. Постановка задачи. Вязкая однородная несжимаемая жидкость заполняет полость между двумя твердыми бесконечными проницаемыми концентрическими цилиндрами с радиусами В- и В^ (В- < К), вращающимися с угловыми скоростями П- и П2_ Предположим, что внешние массовые силы отсутствуют. За масштабы длины, скорости, времени примем соответственно В-, П-В-, 1 /П-.
В цилиндрических координатах г, ф £ (ось £ направлена вдоль оси цилиндров) безразмерные уравнения Навье—Стокса и неразрывности имеют вид
(1.1)
дг
г г дф X ф г2 г2 дф
(
\
^ + (V', У) и' +— = - Аи' ШуУ' = 0
дг дг X г
Здесь V' = {u^u^uj} — вектор скорости, П' — давление, t — время, X = QR^/v — число Рейнольдса, v — коэффициент кинематической вязкости.
Предположим, что количество жидкости, втекающей через поверхность одного цилиндра, совпадает с количеством жидкости, вытекающей через поверхность другого цилиндра. Тогда краевые условия для системы (1.1) имеют вид
К = Хo, = 1, uz = 0, г = 1 иг =хо/R и; =ПЯ, v'z = 0, r = R
Здесь х0 = S/QR2 — безразмерный коэффициент, характеризующий поток жидкости сквозь цилиндры, S — размерный коэффициент, определяющий интенсивность поступления жидкости через поверхность одного цилиндра и вытекания ее через поверхность другого цилиндра, R = R2/R1, Q = Q2/Q1.
Задача (1.1)—(1.2) обладает группой симметрий G, она инвариантна относительно
вращений Z® около оси цилиндров на произвольный угол 8, сдвигов l\ вдоль этой оси на произвольное расстояние h и преобразования инверсии J, действующих на поле скоростей по правилам
(Lj,V')(t, r ,ф, z) = V '(t, г,Ф + 5, z)
(LhV ')(t, r ,ф, z) = V '(t, r ,ф, z + h) (1.3)
(JV ')(t, г,ф, z) = {u r(t, r, ф, -z),v'<?( t, r, ф, -z), -u Z(t, r, ф, -z)}
для любых вещественных 8 и h.
Задача (1.1)—(1.2) допускает точное решение [1, 2], представляющее собой течение Куэтта с ненулевой радиальной компонентой вектора скорости
г (2 2 N
Vo = { Uor, иоф,0}, По = \ + 20 ds + const, Оог =Хо
11 s s J r
x +1 b ^ 0 fl1ln r + 1
Vov = ar + -, % Ф -2; = --, % = -2 (1.4)
rr
DR2 -1 , , DR2 -1 x a = -, b = 1 - a, a, = -, x0 = ^
Rx +2 _ i ' 1 lnR Л0 X
Здесь x = S/v — радиальное число Рейнольдса. При х > 0 радиальный поток жидкости направлен от внутреннего цилиндра к внешнему, а при х < 0 — наоборот.
Наложим на основной режим (1.4) возмущения скорости V и давления П, т. е. будем искать решение задачи (1.1)—(1.2) в виде
V' = V0 + V, П' = П0 +П/X (1.5)
Подставляя (1.5) в (1.1)—(1.2) получаем нелинейную задачу для возмущений
п и2 1 дп 1 (п , ur 2 диЛ Прг —^ + -— = -I r + X-—-г11 + r Xdr ХУ r2 r дф)
г X г <Эф X
А-, + ^ + ^ = Х (^, -х* + 4 ^ | + «иг
5ф
А О, +1 = 11 »ю( + Ц, \, й1УУ = 0
г
X д, X
(1.6)
иг = и<р = и, = 0, г = 1,К
» _ <- + ю А + (V, V), в2 _ А - ^ -1 о1 5ф г д г г2
ю
_
, Л ^ 1,
_ - — + - и.
Лг г
у0<р
Компоненты поля скорости и давление будем считать периодическими по ф и , с известными периодами соответственно 2п/т и 2п/а, где т, а — азимутальное и аксиальное волновые числа.
Для любых V = и и = {ы„ ы^, и,} определим дифференциальные выражения
+ (х- 1)^2 - -2 ^
[ г дг г г дф
д и „-Х^ - (х + 1)Ц2 + 4 ^ ,д„,-Х^1 г дг г г дф г дг )
^ = Ю|ф + {-2 &иг, 0}
Ь(V, и) = {(V, У)ыг - ^, (V, УН + ^, (V, V)и,} Х0^, и)=Х^, и) + Х(и, V)
Тогда нелинейная задача для возмущений примет вид
= 1 мv - т -1 уп - ку, V)
д1 X X (1.7)
divV = 0, иг = и<р = и, = 0, г = 1, К
Выполненные в [3, 4] вычисления показали, что с ростом числа Рейнольдса течение (1.4) может потерять устойчивость двумя способами. В результате его монотонной вращательно-симметричной неустойчивости возникает стационарный вторичный режим типа вихрей Тейлора (его расчет путем прямого численного интегрирования задачи (1.6) выполнен в [7]). Колебательная трехмерная неустойчивость порождает автоколебательный режим с бегущими в азимутальном направлении волнами. Соответствующие нейтральные кривые при определенных значениях параметров задачи могут пересекаться. Вблизи таких бикритических точек нелинейное взаимодействие тейлоровской и азимутальной мод может приводить к образованию различных режимов движения жидкости [4]. Цель данной работы — отыскание таких режимов, а также исследование их устойчивости и бифуркаций.
2. Амплитудная система. Пусть — точка на плоскости параметров (0,Х), от-
вечающая пересечению нейтральных кривых монотонной вращательно-симметрич-ной и колебательной трехмерной потери устойчивости течения (1.4). Предположим,
что X близко к X*, а О — к О*, так что 51 = Х - Х* и 52 = О - О* — малые параметры одного порядка.
Следуя [5], решение нелинейной задачи для возмущений (1.7) ищем в виде
V = лШФ + Ф*), П = Щр + Р*) (2.1)
Ф = по( г) + ^'Н^Ф^ф, г) + П2(^)Ф2(г,Ф, г)] +... Р = По(^)Ро(г, г) + е'с'\ П\(^,)Р\(Г ,Ф, г) + П2(^)Р2(г,ф, г)] +...
Здесь п0, П1, П2 — неизвестные комплексные амплитуды — функции "медленного" времени Е, = 15^; с* — неизвестная циклическая частота (фазовая скорость азимутальных волн), найденная при X = X* и О = О*; Ф0, р0 — собственное решение линеаризованной задачи устойчивости для монотонных вращательно-симметричных возмущений; Ф, р1 и Ф, р2 — независимые собственные решения линеаризованной задачи устойчивости для колебательных трехмерных возмущений. При этом вектор Ф2 получается инверсией (1.3) из вектора Ф, так что Ф2 = JФ^• Величины порядка 81, 82 и выше в (2.1) опущены.
Амплитуды по, П1, П2 разложений (2.1) удовлетворяют системе с кубическими ведущими нелинейными членами [5, 6]
^ = (^ + Л|по!2 + ^Ы2 + Я*|п/)По + ЯП*П*П2
^ = (Ц + ^Ы2 + е!П1|2 + + (2.2)
^ = (ц + ^!по|2 + Л|П1|2 + еЬ/)П2 +
Коэффициенты системы (2.2) выражаются явно через решения серии линейных краевых задач. При этом коэффициенты А, Б вещественные, а В, Р, Q, Я, S — комплексные.
Вещественный декремент а и комплексный декремент ц = ц г + /ц,- при заданных 81 и 82 тоже могут быть вычислены. При этом оказывается одного порядка малости с 8Х и 82. Учитывая это, будем далее считать а и цг свободными параметрами.
Знаки параметров а и цг определяют положение точки (ОД), в которой строятся разложения, относительно нейтральных кривых монотонной и колебательной потери устойчивости основного режима.
Если а > о, то значения отношения угловых скоростей цилиндров О и числа Рей-нольдса X таковы, что точка (ОД) расположена выше нейтральной кривой, соответствующей монотонной потере устойчивости, а если а < о, то ниже.
Если цг > о, то точка (ОД) расположена выше нейтральной кривой, соответствующей колебательной потере устойчивости, а если цг < о, то ниже.
3. Расчет коэффициентов амплитудной системы. Вычисления проводились для фиксированных значений следующих трех параметров: отношения радиусов цилиндров Я, аксиального и азимутального волновых чисел а и т.
На первом этапе вычисления коэффициентов амплитудной системы (2.2) на плоскости параметров О, X строятся нейтральные кривые монотонной вращательно-сим-метричной и колебательной трехмерной потери устойчивости течения (1.4).
Нейтральная кривая, соответствующая бифуркации возникновения вихрей Тейлора, находится путем решения линеаризованной задачи устойчивости, отвечающей (1.7) для случая, когда возмущения монотонные и вращательно-симметричные. Решение этой задачи ищем в виде
V = {(г),^),'^)}, П = д0(г)е'а*
После разделения переменных получаем вещественную спектральную задачу для определения критического значения Х0 числа Рейнольдса X
[ й2 +1 %йг -Х й г йг 1 - 2 г X 2 ^ А - а „0 = ¿9° - 2Хюи0 йг
[ й2 +1 %йг -Х й г йг 1 + 2 г X 2 А - а ^0 = -^„0 (3.1)
[ й2 +1 йг -Х й г йг 2 - а ^0 = а#0, йи0 + Щ0-а^0 = 0 йг г
и0 = и0 = ^о = 0, г = 1, Я
Для расчета нейтральной кривой, соответствующей бифуркации возникновения азимутальных волн, предполагаем возмущения колебательными и трехмерными. Решение линеаризованной задачи устойчивости ищем в виде
V = (м1(г),и1(г),^(г)}еп = д(г)е-'(т^-с')
После разделения переменных получаем комплексную спектральную задачу для определения критического значения Xс числа Рейнольдса X и частоты нейтральной азимутальной моды с
^ А +Х.^ „1 = ^ - 2Хюи1 - ^
[ а у=- ^ -*. „+2'т„1
I п ,1 I . йщ щ 'т п, /т оч
I В3 +~2 Iщ =-1адъ —1 + —--и1 -Iащ = 0 (3.2)
V г ) йг г г и1 = и1 = щ = 0, г = 1, Я
2 2 п й ,1 - х й 1 т 2 .л / ч
В3 =—2 +------2--Т -а -'Х (с - тю)
йг г йг г г
Спектральные задачи (3.1), (3.2) решаются методом пристрелки. Результат данного расчета — зависимости критических значений Х0, Xс числа Рейнольдса X и частоты нейтральной колебательной моды с от отношения угловых скоростей цилиндров
На следующем шаге ищется точка пересечения нейтральных кривых Она
определяется численно путем минимизации разницы между найденными значени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.