ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 4, с. 459-465
УДК 541.182.65
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ В ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТРУБАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛИ ПЛОСКОГО ТЕЧЕНИЯ
© 2009 г. А. С. Кондратьев
Московский государственный открытый университет ask@mail.ru Поступила в редакцию 21.05.2008 г.
Турбулентное течение ньютоновской жидкости в призматических трубах представляется в виде суперпозиции плоских слоев. На основе расчетного профиля скорости в плоском слое определяется коэффициент гидравлического сопротивления. При этом единственным согласующим параметром является число Рейнольдса, определенное по динамической скорости и толщине вязкого подслоя. Результаты расчетов достаточно удовлетворительно согласуются с опытными данными при течении в трубах круглого, треугольного, квадратного и прямоугольного поперечного сечения.
Расчет движения жидкости в цилиндрических трубах круглого сечения при ламинарном и турбулентном режимах течения не встречает затруднений [1, 2]. Полученные решения выражаются достаточно простыми аналитическими зависимостями, которые хорошо согласуются с опытными данными. Вместе с тем, например, при ламинарном движении жидкости с переменной по высоте вязкостью, когда течение становится двумерным и динамическая ось потока смещается относительно оси трубы при отсутствии осесимметричности течения возможно только численное решение задачи, что затрудняет проведение аналитических исследований. В еще большей мере это относится к расчету турбулентного движения потоков в условиях, когда нарушается та или иная симметрия течения. Такие потоки возникают как в различных аппаратах химической технологии с произвольным сечением проточной части, так и в соединяющих их трубопроводах (в теплообменник и классифицирующих аппаратах, вентиляционных трубах и т.п.) [3]. Известные методы расчета турбулентного течения жидкости в призматических или других каналах сложной формы достаточно хорошо согласуются с опытными данными, но требуют "настройки" расчетной схемы на конкретное поперечное сечение потока [4] или привлечения достаточно сложных расчетных моделей, например в [5] использовался модифицированный метод Сполдинга-Патанкара. В связи с этим разработка простого приближенного метода расчета, пригодного для расчета коэффициента гидравлического сопротивления в трубах произвольного поперечного сечения, представляет практический интерес.
В работе [6] рассматриваемая модель плоского течения применялась для расчета движения ньютоновских жидкостей в призматических трубах (круглого, эллиптического, треугольного, квадратного и
прямоугольного сечений) при ламинарном режиме течения. Было показано, что в случае круглого и эллиптического сечений для профиля скорости и коэффициента гидравлического сопротивления имеет место полное соответствие с точными решениями, а в остальных случаях между точными и приближенными решениями различия не превосходят 11-18%, что связано с наличием вихревых зон в углах треугольного, квадратного и прямоугольного сечений. В данной статье этот подход обобщается на случай турбулентного режима движения жидкости в призматических трубах круглого или другого (треугольного, квадратного и прямоугольного) вида сечений.
Рассмотрим турбулентное движение ньютоновской жидкости в круглой трубе. В системе координат, показанной на рис. 1, проведем сечения, параллельные вертикальному или горизонтальному диаметральному сечению. Из построения следует, что полная высота плоского слоя Н = 2Н = 2Я8та, а ширина слоя при плоском течении йх = Лап а йа. Рассмотрим диаметральное вертикальное сечение при а = п/2, т.е. при Н = Я. Напряжение трения на стенке в этом сечении при движении жидкости в круглой трубе и при плоском движении должны быть равны, т.е.
то = (дуол/2 = (Дрде (1)
Из формулы (1) следует, что
Ар, = Ар/2. (2)
Соотношения подобные (1) и (2) могут быть записаны и для диаметрального горизонтального сечения. Поэтому можно записать, что
Арр = АРа + АРа. (3)
При расчетах величины напряжения трения на стенке круглой трубы необходимо учесть, что при произвольном угле а на поверхность 1йх действу-
Рис. 1. Схема разбиения плоскими слоями круглой трубы.
ет напряжение трения тх = (Apf//)(R sin а) = = (App//)(R/2)sina = T0sinа, a на поверхность /dy действует напряжение трения ту = (Apf//)(RsinP) = = (App/l)(R/2) sinP = T0sin в, причем, как видно из построения, а+в = п/2. Суммарная величина напряжения трения, действующая на элемент поверхности круглой трубы единичной длины площадью dS = = Rda = ((dx)2 + (dy)2)1/2 равна Tf = Tx(dx/dS) + + Ty(dy/dS) = T0sin2a + T0sin2e = т0 sin2a + T0cos2e = т0. Динамические скорости при плоском течении, определенные по напряжению трения тх и ту на плоских слоях шириной dx и dy, соответственно равны
Vtx = (т/р)1/2 = (То sin а/р)1/2 = vT0 sin1/2a;
(4a)
vTy = (Ty/p)1/2 = (T0 sine/p)1/2 = vT0 sin1/2 в. (46)
Для слоистой модели плоского турбулентного течения используем модель Прандтля с длиной пути смешения заданной в виде [7]
/* = xy(1 - y/(2h)). (5)
Зависимость (5) использовалась при анализе плоского турбулентного течения Куэтта и напорного течения жидкости в кольцевых каналах с неподвижными стенками. С учетом линейного распределения напряжения трения по высоте плоского слоя получим
Тх(1 - y/h) = р l\ (du/dy)2. (6)
Интегрируя уравнение (6) с учетом граничного условия, что на границе вязкого подслоя при у = 5v скорость равна uv, получим
1/2
u = uv + ( 2 vx/%) [arth ( 1- 8V/h ) -
1/2
1/2
-arth ( 1- y/h ) + arctg ( 1- y/h ) -
(7)
-arctg ( 1- 8V/h )1/2].
Используя формулу (7), можно получить выражение для "дефекта" скорости:
( U m- U ) / V то =
1/2 1/2 (8)
= (2/х)[ arth( 1 - y/h) + arcth( 1 - y/h) ].
Приведем также аналогичные формулы Прандтля и Кармана, полученные при анализе течения в круглой трубе [1, 2]:
(Um - u)/vTo = -(1/Х) ln(y/R); (9)
(Um - u)/vTo = -(1/X)[ln(1 - (1 - y/rR)1/2 +
+ (1 - y/R)1/2]. (10)
Если воспользоваться длиной пути смешения, полученной на основе обработки опытных данных по течению в круглой трубе [2]:
/* = 0.2R[1 - (1 - y/R)2][1 - 0.3(1 - (1 - y/R)2)], (11)
то выражение для "дефекта" скорости можно записать в виде
1
(Um - u)/vt = -5 J ( 1 - y/R)1/2/{[1 - (1 - y/R)2] x
y/R
x [1 - 0.3(1 - (1 - y/R)2)]}.
После интегрирования получим [8]
(Um-U)/Vт = 2.5ln[( 1 + rm)/( 1- r1/2)] -
-5 arctg r1/2-2.5/21/2/( 7/3) 1/4ln[ r + + (7/3) 1/4(2r)1/2 + (7/3) 1/2)/(r - (7/3)1/4(2r)1/2 + (12) + ( 7/3)1/2)] + 5/21/2/( 7/3)1/4 x
x arctg[(7/3) 1/4(2r)1/2/((7/3)1/2 - r)], где r = r/R = (1 - y/R) - безразмерный радиус.
В табл. 1 представлены результаты расчетов по формулам (8)-(10) и (12), в которых принималось, что х = 0.34; 0.40 и 0.36 соответственно, при h = R в (8) и (12).
Сравнение расчетных значений "дефекта" скорости с экспериментальными данными, приведенными в работе [2], показывает, что лучшее соответствие имеют: при y/R < 0.05 формулы (9), (10) и (12); при 0.1 < y/R <0.5 формулы (8), (9) и (12); при 0.6 < y/R < 0.8 формулы (8), (9), (10) и (12); а при 0.9 < y/R < 1 формулы (10) и (12). Поскольку формула (12) может рассматриваться как наиболее точная, то вблизи стенки при y/R < 0.3 с ней лучше согласуется формула (8), а при 0.3 < y/R < 1 формула (10).
Если, используя выражение u = Um+(v/%)ln(y/R), провести интегрирование по площади круглой трубы, то получим [1]
Uc = Um - 3.75 V. (13)
Воспользуемся тем же выражением для профиля скорости (9) для слоистой модели с учетом того, что величина Um в этом случае соответствует максимальному значению скорости в середине плоско-
Таблица 1. Сравнение величин "дефекта" скорости (ит - u)/vт, рассчитанных по формулам (8), (10) и (12), в зависимости от расстояния от стенки трубы
y/h 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
№ (8) 13.0 8.27 6.23 4.20 3.02 2.19 1.56 1.07 0.67 0.36 0.13
(9) 11.5 7.49 5.76 4.02 3.01 2.29 1.73 1.28 0.89 0.56 0.26
(10) 11.9 7.50 5.61 3.76 2.71 1.99 1.45 1.02 0.68 0.40 0.18
(12) 12.3 8.18 6.37 4.49 3.34 2.49 1.81 1.26 0.80 0.43 0.15
го слоя. При этом величина динамической скорости на плоской стенке vтx, в соответствии с формулой (4а) будет равна vтx = ^08т1/2а.
Определим величину средней скорости в плоском слое между сечениями у = 0 и у = Явт а выражением
uca = (1/R sin a)x
С 1/2
х I [ U ma + 2.5vTüsin a ln (y/R sin a)] dy = (14)
R sin a
= Um
1/2
-2.5 vT0sin a.
В поперечном слое, направленном вдоль оси х, величина максимальной скорости на оси трубы ит и локального максимального значения скорости ита связаны выражением
Uma = Um + 2.5vT0ln (1 - cos a) - 2.5^т0 sin1/2 a. (15)
Подставляя (15) в (14) и интегрируя по углу a, определим величину средней по поперечному сечению трубы скорости:
п/2
Uc = (4/п)| [ Um + 2.5 0ln(1 — cos a) -
O
— 2.5 vT0sin1/2a ]sin2a da = U m — (10/n) 0 х
n/2
Г( 1.75 )Г(0.5)/2/Г(2.25) — | ln(1 — cos a)x
(16)
x sin a da
= U m —4.09 V T 0.
X-1/2 = A lg (Reg X1/2) - B.
(17)
ответствие с опытными данными имеет место при А = 2.0 и В = 0.8. Таким образом, лучшее соответствие с опытными данными формулы (16) не обеспечивает лучшего соответствия для величины X несмотря на то, что при выводе формулы (17) в [1, 2] используют эмпирическую зависимость, определяющую максимальное значение скорости на оси потока:
ит = ^[2.5 1п(^тД0 + 5.5]. (18)
Даже при использовании этой дополнительной опытной зависимости приходится корректировать численные значения коэффициентов А и В в выражении для X. Можно показать, что в рамках двухслойной модели Прандтля величина ит определяется выражением
ит = ^[Кек - 2.51п Кек + 2.51п(Я ^0^)]. (19)
Подставляя последнее выражение в формулу (16), а ее в (17) получим, что при = 12.15:
Х-1/2 = 2.035 lg (Reg Х1/2) - 0.889
(20)
Полученное выражение практически совпадает с опытным значением ис = ит - 4.07 приведенным в [1, 2].
Как показано в [2], использование формул (13) или (16) приводит к одному виду универсального закона для коэффициента гидравлического сопротивления для гладких труб при турбулентном режиме течения, а именно
Из формулы (13) следует, что A = 2.035, В = 0.91, а из формулы (16) A = 2.035, В = 1.03.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.