ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2009, том 47, № 1, с. 101-107
ТЕПЛОМАССООБМЕН И ФИЗИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА
УДК 532:536.24
РАСЧЕТ ТЕПЛООТДАЧИ И СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ СТАБИЛИЗИРОВАННОМ ТЕЧЕНИИ В ТРУБЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ В ПРОДОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2009 г. Е. П. Валуева
Московский энергетический институт Поступила в редакцию 07.11.2007 г.
Модель турбулентности, разработанная ранее для течения в поле массовых сил (плавучести, корио-лисовых) и нестационарного течения, применена к случаю течения жидкости в магнитном поле. Модель описывает подавление турбулентности магнитным полем и ламинаризацию турбулентного на входе в трубу потока. Результаты расчета хорошо согласуются с опытными данными по теплоотдаче и сопротивлению, полученными в области стабилизированного течения и теплообмена.
РДСБ: 65.20.-w
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследований особенностей теплоотдачи и сопротивления при течении электропроводной жидкости в магнитных полях обусловлена возможностью применения жидких металлов как перспективных теплоносителей в энергетике будущего - термоядерной энергетике. В шестидесятых годах прошлого века практически одновременно экспериментальным и теоретическим путем было установлено, что магнитное поле оказывает влияние на турбулентный перенос. Опытные данные по гидравлическому сопротивлению (см., например, [1, 2]) и теплоотдаче (см., например, [3]) свидетельствуют о том, что при наложении достаточно сильного продольного магнитного поля сопротивление и теплоотдача приближаются к величинам, соответствующим ламинарному течению. Таким образом, магнитное поле подавляет турбулентный перенос и приводит к ламинариза-ции турбулентного на входе течения. Подтверждением факта подавления турбулентности при относительно высоких значениях индукции магнитного поля может служить эффект "вытягивания" профилей скорости и температуры, полученный в опытах [4, 5].
Расчетному исследованию турбулентного МГД-течения в продольном магнитном поле посвящены работы [6-10]. Учитывающие влияние магнитного поля на турбулентный перенос модели, которые применялись в этих работах, можно разделить на следующие группы: корректировка известных алгебраических соотношений для турбулентной вязкости [10]; применение уравнения для кинетической энергии турбулентности [8]; использование уравнений для напряжений Рейнольдса [6, 7, 9]. Все эти модели являются полуэмпирическими, т.е. содержат ряд констант, значения которых
подбираются с привлечением опытных данных. В [8-10] получено хорошее соответствие результатов расчетов и измерений гидравлического сопротивления (в [10], кроме того, теплоотдачи) для области стабилизированного течения и теплообмена. Следует отметить, что наибольшей общностью обладают модели турбулентности, относящиеся к последней из указанных выше групп.
В настоящей работе также развивается подход, основанный на моделировании турбулентных напряжений и тепловых потоков, причем с учетом лишь тех эффектов, которые могут оказать значительное влияние на турбулентный перенос при наличии тех или иных осложняющих воздействий на турбулентное течение. Такой подход не предполагает детального воспроизведения характеристик турбулентности, однако позволяет достаточно точно рассчитать важные для практики величины - теплоотдачу и сопротивление. Например, турбулентное течение в поле массовых сил - силы плавучести и силы Кориолиса -успешно моделировалось в [11, 12], а нестационарное течение, в частности, при проявлении сжимаемости жидкости - в [13, 14].
Разработанная модель подобно известной модели Б.Е. Лаундера (см., например, [15]) относится к классу алгебраических моделей для турбулентных напряжений и сводится либо к уравнениям для турбулентных вязкости и напряжения (при течении в поле силы плавучести), либо к системе алгебраических уравнений для турбулентных напряжений (при течении в поле силы Кориолиса), либо к системе релаксационных уравнений для турбулентных напряжения, теплового потока и вязкости (для нестационарного течения). Примечательно, что во всех перечисленных выше случаях не выполняется гипотеза Буссинеска. Следу-
ет также отметить, что в предельном случае отсутствия осложняющих течение воздействий модель сводится к известной формуле Прандтля для турбулентной вязкости. Для длины пути перемешивания, входящей в эту формулу, В.Н. Поповым предложено соотношение, учитывающее влияние переменности свойств жидкости и изменения значения касательного напряжения на стенке [16]. В расчетах, проведенных с использованием этого соотношения, воспроизведены основные особенности теплоотдачи и сопротивления при течении капельной жидкости, газа, жидкости при сверхкритическом давлении, т.е. течении жидкостей с сильными и качественно разными зависимостями физических свойств от температуры (см., например, [11, 17]).
Представляет интерес применение разработанной ранее модели к течению в поле другого вида массовых сил - пондемоторной силы. Преимуществами развитой в настоящей работе модели являются в первую очередь ее простота и достаточная общность, обусловленные выбором ограниченного числа наиболее важных факторов, оказывающих влияние на турбулентный перенос. Известно, что чем более усложняется полуэмпирическая модель турбулентности, чем больше факторов в ней учитывается, тем более специфической, применимой лишь к конкретному виду течения она является и тем меньшей общностью обладает. Кроме того, предлагаемая модель содержит небольшое число эмпирических констант. В частности, в рассматриваемом случае, имеется лишь одна дополнительная константа при члене в уравнении для турбулентных напряжений, учитывающем диссипацию в поле пондемоторной силы.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ
Основные уравнения. Решаются уравнения движения и энергии для гидродинамически стабилизированного течения в круглой трубе жидкости с постоянными свойствами:
йр 1 й ( йи
-Т + --Гг М-т" + Т
йх гйг V йг
= 0,
гтдТ 1 Э ЛЭТ
рсри дХ = тэтг Iх дТ +1
(1)
(2)
где х, г - продольная и радиальная координаты, и - продольная скорость, Т - температура, р -давление, т, 1 - турбулентные напряжение и тепловой поток.
Граничные условия для (1), (2) - это условие прилипания на стенке и = 0 при г = г0 и условие симметрии на оси трубы йи/йг = дТ/дг = 0 при г = 0. На стенке задана постоянная плотность теплового потока -ХдТ/дг = 1с при г = г0. Решение уравне-
ния энергии проводится для области стабилизированного теплообмена (за пределами начального термического участка).
Модель турбулентности. Запишем уравнение для второго момента и V (и, V - соответственно пульсационные составляющие продольной и поперечной скоростей), оставляя лишь основные чле-
„ ~ йи
ны: порождение 11 = V — и члены, учитывающие корреляцию пульсаций давления с деформацией пульсационных скоростей (обменные), а также диссипацию в магнитном поле. Последний член представим в общепринятом виде [6-9], а обменные члены - согласно модели [18], полагая, что наличие магнитного поля слабо влияет на их вид [19]. В результате получим следующее уравнение:
2 йи -£ -„20
V -;—- с и V- - с211 - с3и vB - = 0.
йу 1 к 2 3 р
(3)
Здесь £ - диссипация энергии турбулентности к, В - индукция магнитного поля, а - коэффициент электропроводности. Значения констант в обменных членах были принятыми такими же, как в [15]: с1 = 2.2, с2 = 0.55; значение эмпирической константы с3 необходимо подобрать путем сравнения результатов расчета с опытными данными.
Определим из (3) турбулентное касательное напряжение
— "2 йи
т( = -ри V = -р с'V —, где 'г = -2 £ - некоторый временной масштаб
турбулентности, с= 1/
1+
сз —
1- с
'Да
, ', = ''V/ г2,
На = Вг0 1м - число Гартмана.
Следуя подходу, изложенному в [13], введем линейный масштаб турбулентности (длину пути перемешивания) I и турбулентную вязкость £т =
= л/ V21. В [13] было принято '' = ¡Н V2 = ¡2/£т. Тогда для турбулентного напряжения справедливо выражение
йи
т' = рс£т 07-
(4)
Таким образом, в рассматриваемом случае выполняется гипотеза Буссинеска о пропорциональности турбулентного напряжения градиенту скорости, но коэффициентом пропорциональности является не турбулентная, а эффективная вязкость £е = с£т. Безразмерный временной масштаб турбулентности, необходимый для вычисления
константы с, примем постоянным по сечению и равным г, = 0.15/П0 [13]; П0 = ^гА", V* = 7Г7Р -динамическая скорость, тс - касательное напряжение на стенке. В предельном случае отсутствия магнитного поля (На = 0) с = 1.
Уравнение для турбулентной вязкости получим так же, как и в [13], из уравнения для кинетической энергии турбулентности, сохраняя в нем лишь основные члены, учитывающие порождение, диссипацию и дополнительную диссипацию в магнитном поле:
йЕ 2п2 а п
т. —— £ - с3 V В - = 0. йг р
(5)
с£
(йЕ)2 _ £з _ £2
\йг)
г
Сз £ту
На 1гГ
= 0.
(6)
вязкости £т = I2
йЕ
йу
, которое следует из проинтегрирован-
£п.с( 1 + £п.с)
2т; ' Пс К
£+ + Н _ Н2 + С3
£ +.с (1 + £+.с ) 1 + £+
= 0'
(8)
где Н = 0.5с3На2(1/г0)2 - функция, учитывающая влияние магнитного поля на турбулентную вязкость. Длина пути перемешивания, входящая в эту функцию, рассчитывалась по (7), причем в центральной области трубы (К = 0), так же, как и в [13], согласно данным Никурадзе величина 1/г0 ограничивалась значением 0.14.
В отсутствие поля (Н = 0, с = 1) из (8) следует £+ = £+.с. При больших значениях числа Гартмана
Н
^ имеем £
Скорость диссипации £ можно считать величиной порядка к3/2/1 [8, 20]. Если положить к ~ V2, то, используя введенные ранее величины £т и I,
получим £ ~ £3 /I4. Тогда (5) записывается в виде
0, т.е. происходит ламина-
ризация течения.
Как указывалось выше, зависимость £+.с (п0, К) справедлива и для переходной области между ламинарным и турбулентным режимами течения. Влияние перехода на турбулентную вязкость учтено в [21] с помощью коэффициента перемежаемости
Заметим, что значение коэффициента пропорциональности в выражении для диссипации £ необходимо принять равным единице; тогда в предельном случае отсутствия магнитного поля из (6) следует формула Прандтля для турбулентной
у = 1 _ ехр
крч 2
П0_ По "
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.