ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2014
УДК 51:621:891
© 2014 г. Ахвердиев К.С., Флек Б.М., Ванеев К.А.
РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩЕЙ СМАЗКИ
УПОРНЫХ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ХАРАКТЕРЕ ИЗМЕНЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Ростовский государственный университет путей сообщения, г. Ростов-на-Дону
Произведена попытка формирования точного автомодельного решения упорных подшипников скольжения, работающих на сжимаемой вязкой электропроводящей смазке, при гармоническом характере изменения составляющей вектора магнитной индукции By = ^ + Ь^тюх.
Подшипники скольжения с жидкостной смазкой широко используются в машиностроении и приборостроении [1, 2]. В последнее время стали использовать электропроводящие смазки, однако их применение в подшипниках скольжения стало появляться лишь недавно. Анализ существующих работ [3, 4] показывает, что электропроводящие смазочные жидкости, применяемые в подшипниках скольжения, являются несжимаемыми. Если учесть, что на входе в подшипник смазка может содержать растворенный газ и в процессе работы подшипника этот газ выходит из раствора, в результате чего образуется "пузырчатая" газожидкостная смесь [5], то смазка приобретает сжимаемые свойства. В этом случае зависимость гидродинамического давления смазки от ее плотности необходимо задавать по формуле Вейсбаха—Дарси [6]. Представляет значительный интерес определить влияние электропроводящих свойств смазки на основные рабочие характеристики подшипника.
Постановка задачи. Рассмотрим установившееся движение сжимаемой вязкой смазки в зазоре упорного подшипника (между ползуном и направляющей (рис. 1)).
Ползун с предполагается неподвижным, а направляющая движется со скоростью и* в сторону сужения зазора.
В качестве исходных уравнений берем уравнение движения вязкой сжимаемой смазки, уравнение неразрывности и уравнение состояния
2
- мв2и + АВ = , д (ри) + д (р и) = 0, р = р, (1)
ду1 Л ах дх ду
где их-, иу — компоненты вектора скорости; р — гидродинамическое давление; E = {0, 0, Е^} — вектор напряжения электрического поля; В = {0, By., 0} — вектор маг-
22 нитной индукции; Л = и*рЬ/Н0ра — параметр сжимаемости газа; A = аБ*Е^ /ры* —
22
параметр, характеризующий напряженность электрического поля; N = h0 а В* /р — число Гартмана; р — вязкость; а — электропроводимость газа; р' — плотность; и* — скорость движения направляющей.
Поскольку скорость движения направляющей считается достаточно большой, а поверхности рассматриваемой пары трения являются шероховатыми, то ситуация соот-
Рис. 1 Рис. 4
Рис. 4. Зависимость безразмерной несущей способности от числа Гартмана М, параметра А, характеризующего напряженность электрического поля, и параметра сжимаемости Л в случае Л — да; 1 — Л = 0,1; 2 - Л = 0,12
ветствует так называемой квадратичной области течения жидкости, в которой потери давления на трение пропорциональны квадрату скорости. Таким образом, зависимость давления от плотности задаем по формуле Вейсбаха—Дарси
2
р' = ХЬи* р'/2к0,
где Ь — длина ползуна (в случае ползуна бесконечной длины, Ь — единичная длина); X — коэффициент потерь на трение.
Коэффициент потерь на трение X находим по формуле Шифринсона [7] X = 0,118*й0, где 8* — абсолютный размер шероховатости поверхности ползуна. Эту величину определяем экспериментально. Расчеты показывают, что удовлетворительное согласие с полученными из независимых источников данными имеет место при 8* = 0,005 мм.
В формуле (1) размерные величины их., иу, р', X, у', р', Ву, Е^ связаны с безразмерными и, и, р, х, у, р, В, Е соотношениями
их = и * и, иу' = и * ем, е = к0/Ь; х' = Ьх, у' = к0у, р' = рар,
р' = р*р, р * = , р = р, Ву = В*В.
X Ьи*
К системе уравнений (1) необходимо добавить уравнения Максвелла В = 0, тог Е = 0.
Систему уравнений (1) решаем при следующих граничных условиях;
и = 0, и = 0 при у = 0, п = ; и = 1, и = 0 при у = к( х);
к0 (2)
к (х) = 1 + п х, р (0) = р (1) = 1.
Уравнение составляющей вектора магнитной индукции в безразмерных переменных будет следующим:
B = 1 + s sin юх, где s = b1 /В*.
При малых значениях ст (электропроводимости сжимаемой смазки) слагаемые, обуславливающие наличие магнитного и электрического полей, можно усреднить по зазору
h
D = 1 J(NvB2 - AB)dy. (3)
0
Интегрируя первое уравнение системы (1) с учетом (2) и (3), получим
2 2
= y_dp - yhdp + y_D - hyD + y (4)
2Л dx 2 Л dx 2 2 h
Подставляя уравнение (4) в (3) найдем выражение для D
NB2h2Лdp - 6NB2 + 12AB
D =--—-. (5)
22 NB h + 12
В системе уравнений (1) интегрируя уравнение неразрывности от 0 до h(x), с учетом (6), приходим к следующему уравнению:
3 3
d ( h dp h D h] n
—--p--L -p-+ p- = 0. (6)
dxV 12Л dx 12 2/
Однократным интегрированием уравнения (6), получим
dp = 12 Л
dx = ph3
p h - Dh p 2 12
где c — константа интегрирования.
При больших угловых скоростях вращения вала, таких как Q ^ да, градиент гидродинамического давления считается ограниченным при условии
(h Dh3] ч „
pt 2- Dh/- с ^0.
Тогда, используя граничные условия p(0) = p(2n) = 1, с учетом (5) выражение для гидродинамического давления с точностью до 0(sn), 0(n2) примет вид
= 1 + 2 N( n x + s sin K>x) 6x + 3 Ax + A sin юx
P = 12 + N 6TA .
Точное автомодельное решение задачи. При промежуточных значениях Л (Л ^ да)
точное автомодельное решение системы (1), удовлетворяющее граничным условиям (2), ищем в виде [8]
рu = - ^ + U(x, y), pu = ^ + V(x, y), dx dy
U = U , V = ü(^), ^ = j-jL-, У = <¥ .
Подставляя (12) в (1) и (4) с учетом (7) получим следующие выражения:
р ^ + р D = Ц + Ц, p = р, ^F'C 0) = О, Ч" (1) = О, u (О) = о,
лdx h2 h3
1
с (1) = О, u( О) = О, u( 1) = p, Jud^ = О, p( О) = p( 2п).
2~ 2 - 3 - 3
где = d и/^ , с2 = d /^ .
Решение задачи (8) легко найти непосредственным интегрированием. В результате будем иметь
? = С22 (^ - §), и = и1 ^ + (p -Ц^
(9)
где = 6р, а с2 в дальнейшем определяется из условияр(0) = р(2п) = 1.
Для определения гидродинамического давления приходим к следующему нелинейному дифференциальному уравнению:
Р<к = б£ + сЛ -pD. Л dx h2 h3
(10)
Подставляя (5) в (10) будем иметь
pdp = 7 2p + cj_ Лdx 12h2
cNB
2
2
+ — + pBA. 12 h h3
(11)
Уравнение (11) решаем методом последовательных приближений, полагая в качестве первого приближения р1 = 1
1 + Л
x / - 2 -' 72 c2NB с,
72 + ^-+ -2 + BAI dx.
О
V 12h
2
12h h3
(12)
Из условия p(0) = p(2n) = 1 найдем с2 с точностью до 0(sn)
С = 24 (A s + бю - 6n (о + Аю - As cos ю )
2 4Ns + 2No - 4Nscosю - Nno + 24ю - Збпю'
Интегрируя уравнение (12) с точностью до 0(sn), 0(n2), получим
p = 1 + Л 6x - 6nx2 + (x - 2 s c os ox - 1 nx2J L 12 V ю 2 J.
+ Л
I 3 2J ( s cos ю xJ'
С2 Vx - 2 nx J +A Vx -
Определение основных рабочих характеристик подшипника. Безразмерную несущую способность, безразмерную силу трения и безразмерный расход смазочного вещества определяем выражениями
W = J(p -1) * Ы
pu*L Jdy
j"d22| dx, _
y = О
О
О
О
В экстремальном случае (Л ^ да) выражения для несущей способности и силы трения с точностью до 0(еп), 0(п2) примут вид
W _ N( 2 s + п ю - 2 s cos ю ) 2A + 6 ю + 3Aю - 2A c os (а _ ю ( N + 12 ) 2 ю( 6 + A) '
j Q Ns - Nscosю - п + — - 1
LmpQ _ 6 s (A - N) ( 1 - cos ю ) + 6 (N - 2A)_2 2
- u*L ю ю( N + 12)
В случае промежуточных значений Л (Л ^ да) выражения для несущей способности и силы трения примут вид с точностью до 0(sn), 0(п2)
W_ -W- _ -Л — (36с2п - 3c2N + c2Nn - 216 + 144п - 36c2 - 36A) -P*Pa 72
- Л —1— (72As sin ю + 12c2Ns sin ю), 72ю2
-L^fQ _ -(72с2 + 144 - 288п - 180Лс2п + 4Лс^- 144ЛAп + 48Лс2) -- Ш (48 Л A - 1008Лп + 288 Л - 72с2п - 13Лс2 Nп) +
+ —!— (288 Л A s + 48 Лс2^ - 48Лс2 Ns cos ю - 288 ЛA s cos ю). 144ю3 2 2
Выражение расхода смазочного вещества с точностью до 0^п) примет вид п _ , * * 2(As - As cosю + 6ю + Aю - 6пю)
Q — hoU р -'
0 4Ns - 36пю + 24ю + 2Nb^ - Nsю - 4Nscosю
Выводы. Результаты численного анализа аналитических выражений для упорного подшипника, приведенные на рис. 2—6, показывают:
1. В предельном случае (Л ^ да) значение несущей способности подшипника в десятки раз выше, чем при промежуточных значениях Л (Л ^ да).
3
2. При ю = -п несущая способность подшипника имеет максимум, при этом имеет
значение выше, чем при ю = 0.
3. В экстремальном случае (Л ^ да) параметр сжимаемости Л оказывает существенное влияние на несущую способность упорного подшипника. С возрастанием параметра сжимаемости несущая способность значительно увеличивается.
Рис. 5 Рис. 6
Рис. 5. Зависимость безразмерной силы трения от числа Гартмана М, параметра А, характеризующего напряженность электрического поля, и параметра сжимаемости Л в случае Л — да: 1 — Л = 0,1, 2 — Л = 0,5 Рис. 6. Зависимость безразмерного расхода смазочного вещества от числа Гартмана N и параметра А, характеризующего напряженность электрического поля
4. В обоих случаях параметр A, характеризующий напряженность электрического поля, и число Гартмана имеют существенное влияние на несущую способность подшипника. С увеличением параметра A, характеризующего напряженность электрического поля, несущая способность упорного подшипника увеличивается. С увеличением числа Гартмана несущая способность незначительно уменьшается.
5. В предельном случае (Л А да) значение силы трения несколько выше, чем при промежуточных значениях Л (Л ¡А да). В обоих случаях существенное влияние на силу трения подшипника оказывают параметр A, характеризующий напряженность электрического поля, и число Гартмана. С увеличением параметра A сила трения увеличивается, а с увеличением числа Гартмана — уменьшается. Параметр сжимаемости Л оказывает незначительное влияние на силу трения. С увеличением параметра сжимаемости сила трения незначительно увеличивается. При ю = 3 п сила трения максимальна.
6. Расход смазочного вещества существенно зависит от числа Гартмана N и от параметра A, характеризующего напряженность электрического поля. С увеличением параметра A расход смазочного вещества повышается, а с увеличением числа Гартмана — снижается.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Равикович Ю.А., Ермилов Ю.И., Холобцев Д.П. и др. Эксперимент
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.