КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 76, № 5, с. 573-577
УДК 532.64
РАСКЛИНИВАЮЩЕЕ ДАВЛЕНИЕ В СИММЕТРИЧНОЙ КРУГЛОЙ ЩЕЛИ
© 2014 г. Е. Н. Бродская, А. И. Русанов
Менделеевский центр, Санкт-Петербургский государственный университет 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., 7 E-mail: elena_brodskaya@mail.ru Поступила в редакцию 11.03.2014 г.
Проведен расчет локального расклинивающего давления внутри симметричной круговой плоскопараллельной пустой щели для дисперсионных сил. В отличие от несимметричного случая локальное расклинивающее давление в симметричной щели определяется однозначно. Показано, что в случае симметричной щели краевые эффекты значительно больше, чем в несимметричной. Проведено сравнение с имеющимися в литературе данными приближенного расчета усредненного расклинивающего давления. Приближенный подход занижает абсолютную величину поправки в усредненное значение расклинивающего давления примерно на 10%.
Б01: 10.7868/8002329121405005Х
ВВЕДЕНИЕ
Конечная щель может отличаться от идеального случая бесконечной плоскопараллельной щели как размерами и формой сечения стенок, так и их взаимным расположением. При большом разнообразии таких систем их можно условно разделить на симметричные и несимметричные щели. Несимметричная плоскопараллельная щель между бесконечной твердой поверхностью и цилиндром наноразмерного сечения была рассмотрена авторами в [1, 2]. Там было показано, что локальное давление на противоположных стенках щели будет различным, хотя интегральные величины сил для каждой из поверхностей, естественно, будут совпадать. Конкретные расчеты локального нормального давления показали, что поправки к нему из-за ограниченного размера щели на бесконечной стенке превышают соответствующие величины на противоположной конечной обкладке [2]. В таком случае возникает вопрос об однозначном определении локального расклинивающего давления. В [1] было предложено в качестве характеристики расклинивающего давления в несимметричной щели взять локальные значения нормального давления на конечной обкладке. Если же обкладки одинаковы по размеру, то мы имеем простой случай симметричной щели. В работе [3] модель симметричной щели между торцами одинаковых цилиндров с дисперсионными силами использовалась нами для расчета линейного натяжения твердых цилиндрических ребер. Были изучены зависимости локального поверхностного натяжения твердой стенки щели ст(г) и линейного натяжения ребер к от радиуса щели а, то есть от радиуса кривизны ребра. При этом за-
висимость поверхностного натяжения от расстояния г до оси симметрии становится заметной только при приближении к границе щели. Установлено, что линейное натяжение цилиндрических ребер отрицательно, а его абсолютное значение уменьшается вместе с радиусом а. Хотя поверхностное натяжение определялось через интеграл от расклинивающего давления по всему интервалу изменения ширины щели, анализ зависимости расклинивающего давления от размеров щели не проводился. Данная работа имеет целью восполнить этот пробел. Будет представлено подробное рассмотрение локального нормального давления в пустой симметричной щели с круглым сечением и дано определение локального расклинивающего давления.
Согласно работам [4—6], в щелях с симметрией расклинивающее давление становится локальной величиной и определяется нормальной компонентой тензора давления в данной точке поверхности, которое одинаково для обеих поверхностей. В пустой щели нормальное давление на стенку и есть локальное расклинивающее давление П = рм (Н, г, а), которое в данной задаче будет зависеть не только от ширины щели Н, но и от радиуса сечения а и от расстояния г до его центра. На рис. 1 представлена поверхность одной из обкладок щели с рассматриваемой точкой г, в которой ищется локальная нормальная компонента тензора давления. Выберем рассматриваемую точку на нижней поверхности. Для определения давления будем исходить из тензора напряжений Ирвинга—Кирквуда [7]. Методика его использования и исходные выражения для него в терминах тензора давления р для дисперсионного взаимо-
р = - 3 42qc2 J dr J dz
Zi
2 (Zi - Z2)5'
(1)
РкЛф) = -r cos ф + -JÄ
2 2 • 2 - r sin ф.
(2)
и z2 будут следующими: H< z1 < да и 0 > z2 > —f (z1) = = -Z1p2aM гДе
Рис. 1. Сечение круговой щели. О — начало цилиндрической системы координат. рга и р2а — предельные значения полярного радиуса р.
действия даны в приложении с подробным описанием его преобразования для рассматриваемой системы из двух твердых цилиндров с объемами
V и У2.
В качестве исходной возьмем формулу (П.9)
р2а(ф) = r cos ф + 7a2 - r2 sin2 ф. (3)
В случае бесконечного протяженного нижнего диска мы имели бы р2а = да. Тогда мы возвращаемся к случаю несимметричной щели [2], когда на нижней поверхности r может быть больше a.
С учетом всего сказанного выражение (1) можно преобразовать к виду
Ф2 Pia <» 0
р (H, r, a) = -6A12c1c2 Jd9 J pdpJdz1 J dz2 x
Ф1 о h -f(p,zi) (4)
4
,, I x ri Zi
x 45 *
(p2 + Zi2) (Zi - Z2)
В данной работе мы проведем анализ нормальной составляющей
Ф2 Pia m 0
Pn
(H, r, a) = -6A12c1c2 Jdq J pdp JdZi J dZ2
Ф1 о H -f (p,Zi) 6 Zi
(5)
где А12 — силовая постоянная, сг и с2 — постоянные плотности твердых тел.
Опишем кратко процедуру дальнейших вычислений в (1). Будем интегрировать только по положительным значениям г1, а полученный результат умножать на два. Для системы с аксиальной симметрией интегрирование по хг и уг удобно выполнять в полярных координатах р и ф. Далее следует выбрать пределы интегрирования. Для ф это, очевидно, 0 и 2я, и нужно лишь условиться, что ф отсчитывается от прямой линии, проходящей через расчетную точку О (являющуюся началом координат) и центральную точку щели С на твердой поверхности. Нижний предел для р равен нулю, а верхний предел (обозначим его р1а) зависит от ф и, согласно геометрии рис. 1, дается выражением
(р2 + г2) (*1 - г2)5
поскольку именно она определяет интересующее нас расклинивающее давление. Начнем расчет нормального давления (5) с интегрирования по z2, что дает в результате два слагаемых
0 Л>1)
dZ2 _ Г dZ2
Г dZ2 = Г
-L ( - z2)5 0 ( + z2)5
(6)
1
1
1
P
4г4 4 ( + /М4 4г4 4г4 ( + Р2а4
второе из которых исчезает для случая бесконечного радиуса нижнего диска.
Тогда можем представить (5) в виде двух слагаемых
Pn = ai pzz + а 2 pzz,
(7)
где с учетом интервала интегрирования для полярного угла
2п р1а ш 2
Ргг (Н Г, а) = - ^ | рф 4(8)
(р + г1)
0 0 H
Заметим, что в этом случае при г = а (когда расчетная точка лежит на краю диска), функция р1а (ф) обращается в нуль в интервале -я/2 < ф < я/2, но отлична от нуля для доступных значений углов я/2 < ф < 3я/2. Для случая, когда диск 2 имеет конечный радиус а , области изменения координат z1
и
Ä2Pzz (h, ^ a) =
2п Pia m 2 4
Zi P
Jdф J pdpJdz1
0 0 H
(P2 + Zi2) (P + P2a )4
X
В выражении (8) легко выполнить интегрирование по р и по z1, что дает в результате
2п
А1р, (Н, г, а) = -^¡Т1 + ^ [(Р1а(Ф)), (10) 6Н 3 2
где
2H
f (Р) -H
_(р2 + H2)2
Р2(Р2 + H2) 2р
+ -J^rctg H
(11)
При вычислении интеграла в формуле (9) нетрудно провести интегрирование по z1 , результат которого записывается в виде
H
H
6(р2 + H2)3 24р 2(р2 + H2)2
-4 H-г + _^--arctg H.
16р4(р2 + H2) 32р5 16р5 р
(12)
После его подстановки в (9) интеграл по р может быть взят аналитически, но результирующая формула будет чрезвычайно громоздкой. Поэтому она не приводится, тем более что последующее интегрирование по полярному углу все равно может быть осуществлено только численно.
Наконец, суммируя все промежуточные результаты и вводя обозначения х = r/a и y = H/a, локальное нормальное давление может быть представлено в виде
Pn (H, x, y) = -
nAv
6H3
-[1 - fN(x, y)]. (13)
Первый член в правой части (13) представляет собой главный асимптотический вклад в нормальное давление для бесконечной плоскопараллельной пустой щели [8]
Pn
ПА12С1С2
+ O
1
(14)
6Н3 \НЧ В работах [9, 10] были установлены более точные соотношения (с учетом следующего асимптотического члена разложения), но для целей данной работы хватает точности соотношения (14), и мы будем использовать его для сравнения.
Функция/^(х, у), характеризующая поправку к давлению по сравнению с бесконечной щелью, представлена на рис. 2 с несколькими ее сечениями в области г< а и Н< 2а. Из рисунка видно, что краевые эффекты незначительны вдали от границы в достаточно узких щелях: г < 0.8а и Н < 0.5а (рис. 2а). Вблизи оси (г < а) поправочный член во всех случаях достаточно слабо зависит от расстояния до оси дисков (рис. 2б). Следовательно, как и в несимметричной щели, при г < 0.4а можно использовать оценки краевых эффектов на оси дисков (рис. 2в, кривая 1). В более широких ще-
f(x)
1.0
0.8 0.6 0.4 0.2
0
(б)
, /
5 ' ■ '
"4 '
3
2
=п
0
0.2 0.4
0.6 0.8 1.0 r/a
(в)
0.4 0.8
Рис. 2. Зависимости поправки fN(x, y) (a) в расклинивающее давление и ее сечения для отношения H/a, равного 0.1 (1), 0.5 (2), 1.0 (3), 1.5 (4), 2.0 (5) (б); и отношения r/a, равного 0 (1), 0.2 (2), 0.4 (3), 0.6 (4), 0.8 (5), 0.98 (6) (в) на стенке симметричной круглой щели.
лях вклад поправочного члена становится значительным даже вдали от края щели (рис. 2б). Очевидно, что при приближении к краю такой щели давление должно исчезать, то есть поправочный член /п(х, у) ^ 1 при г ^ а при любых значениях Н (рис. 2в). Если сравнивать поведение локального давления в симметричной и несимметричной
0
0
дп/п 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
Рис. 3. Зависимости относительной поправки в среднее нормальное давление от отношения ширины щели к радиусу сечения у = Н/а в симметричной (1) и несимметричной (2) щели и для симметричной щели по данным работы [11] (3).
щелях [1, 2], то в симметричном случае оно будет ближе к давлению на большей обкладке щели и, следовательно, заметно меньше по абсолютной величине соответствующего локального давления на меньшей по площади стенке щели.
Наконец, если усреднить поправку по площади диска, то можно получить оценку среднего отклонения расклинивающего давления от его значения для бесконечной щели. Эта величина представлена на рис.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.