Письма в ЖЭТФ, том 90, вып. 12, с. 837-841
© 2009 г. 25 декабря
Расплывание атомных волновых пакетов и полуклассический хаос
В. Ю. Аргонов1^
Лаборатория нелинейных динамических систем, Тихоокеанский океанологический институт Дальневосточного отд. РАН, 690041 Владивосток, Россия
Поступила в редакцию 13 октября 2009
Показано соответствие между статистическими свойствами эволюции квантовой системы и ляпу-новской неустойчивостью, и хаосом её полуклассического аналога. Мы сравниваем результаты анализа движения атома в лазерном поле в полуклассическом приближении (динамика описывается несколькими нелинейными уравнениями) и без него (динамика описывается бесконечной системой линейных уравнений). В тех диапазонах параметров, в которых полуклассическая динамика точечных атомов неустойчива, наблюдается быстрое "расползание" квантованных волновых пакетов в импульсном пространстве. Мы заключаем, что детерминированный хаос "имитирует" статистику квантовых недетерминированных эффектов, несмотря на принципиальные различия полуклассических и квантовых решений.
РАСБ: 05.45.^а, 37.10.Vz
Квантово-классическое соответствие и квантовый хаос - фундаментальные проблемы квантовой механики и нелинейной динамики. Многие квантовые системы в полуклассическом приближении демонстрируют нелинейные эффекты хаоса, аномальной диффузии, фракталов и т. д. Но квантовые уравнения сами по себе линейны, поэтому в строгом смысле такие эффекты невозможны вне рамок полуклассического приближения. На практике, однако, в природе не найдено математически строгих фракталов и строго детерминированного хаоса: всегда существуют шумы и огрубления на мелких масштабах. Поэтому проблему квантового хаоса мы будем рассматривать в более прагматическом ключе: какие нелинейные эффекты, наблюдаемые при полуклассическом моделировании квантовой системы, приближенно проявляются и в реальной физической системе, а какие -лишь ошибки полуклассического приближения?
Удобной системой для исследования квантового хаоса является атом в лазерном поле. Хаотические полуклассические решения для двухуровневого атома были теоретически обнаружены в 1970-х годах [1]. Сравнению полуклассической динамики точечных атомов и квантовой эволюции волновых пакетов посвящены многие работы 1990-х годов. В [2-5] показан эффект динамической локализации, связанный с подавлением классического хаоса когерентными квантовыми эффектами. Однако если учесть эффект спонтанного излучения, который нарушает когерентность, то некоторые проявления полуклассической динамики восстанавливаются [6].
e-mail: argonovepoi.dvo.ru
В своих предыдущих работах [7, 8] мы также обнаружили детерминированный хаос, фракталы и другие неустойчивые эффекты в полуклассической динамике атомов в лазерном поле. Проявления детерминированного хаоса сохраняются и при наличии эффекта спонтанного излучения [9, 10]. В этих работах спонтанное излучение учитывается методом квантовых траекторий, но механическое движение атома рассматривается полуклассически. В работе [11] про-квантовано и механическое движение, там рассматривается динамика уже не отдельных траекторий, а волновых пакетов. В настоящей работе мы продолжаем исследование динамики квантовых волновых пакетов и сравниваем новые результаты с результатами, полученными в работе [8]. Главный результат настоящей работы состоит в обнаружении явного соответствия между хаосом полуклассических траекторий атомов и расплыванием квантованных атомных волновых пакетов.
Мы рассматриваем двухуровневый атом (с частотой межуровневого перехода u>a и массой ma), находящийся в мощной стоячей волне лазера (с частотой Wf). В системе отсчета, вращающейся с лазерной частотой, гамильтониан имеет следующий вид [8]:
Р2 1
H = ---h — u>f)âz — HQ (â- + <т+) cos kfX,
¿¡TTIq Zi
(1)
где â±tZ - операторы переходов между уровнями атома (матрицы Паули), I и Р — операторы координаты и импульса атома, О - частота Раби. Для удобства численного анализа запишем волновую функцию атома в импульсном пространстве: |Ф(¿)) = = J[A(P,t)\2) + B(P,t)\l)]dP, где A(P,t) и B(P,t) -
комплексные амплитуды вероятности нахождения атома в момент Ь в состоянии с импульсом Р на верхнем |2) и нижнем |1) энергетическом уровне, соответственно. Мы будем считать, что в системе нет потерь энергии (гамильтоново приближение), как это делалось в [8]. В реальных экспериментах потери можно подавить или исключить в следующих случаях: 1) атом помещен в высокодобротный резонатор, 2) возбужденные уровни имеют время жизни Т 1/0, 3) в многократно повторяемом эксперименте мы исключаем из рассмотрения реализации, в которых за время измерений произошел спонтанный переход. Мы исходим из О ~ ю9-10 Гц, поэтому гамильтонов режим может быть обеспечен на современном оборудовании. Из гамильтониана (1) получаем бесконечномерную систему уравнений [11], состоящую из пар:
„2
Wp = \apf
\ЬР\2. Произведя преобразование Фурье,
ШгР
%Obv\ — flu
А ^ ~2ap ~
а)гр2 А
ibp = —ьр + -bp
- ffl'
p \
bp+1]>
fflp+l].
(2)
Здесь р = Р/Пк{ - перенормированный импульс. Для каждого значения р есть своя пара (2) для своих переменных ар и Ьр - амплитуд вероятности, что атом имеет импульс р и при этом находится в возбужденном или основном состояниях, соответственно. Точка обозначает дифференцирование по перенормированному времени т = Ш. Также использованы обозначения шг = НЩ/таП и А = (шf — ша)/О. Последние члены в уравнениях связывают состояния с перенормированными импульсами, различающимися на единицу. Атом при вынужденном излучении меняет импульс Р строго на величину импульса фотона hkf в направлении оси лазера, что соответствует единичному изменению р. Поэтому для получения замкнутой системы достаточно целочисленных р. Можно рассматривать и дробные р, но для каждого значения нецелой части р будет своя замкнутая система уравнений вида (2). В системе существует закон сохранения энергии, поэтому при поиске решений (2) можно ограничиться конечным числом уравнений, занулив ар и Ьр при больших р.
Получив решения в импульсном представлении, можно найти вероятности нахождения атома в основном и в возбужденном состояниях (с произвольным импульсом)
%> = Е1М2' ^|2) = ЕМ2 р р
и вероятность нахождения атома состоянии с импульсом р (в произвольном электронном состоянии)
можно получить и волновую функцию системы в координатном представлении. В отличие от импульса, координата может принимать любые значения.
Уравнения движения (2) описывают динамику квантовых волновых пакетов. В полуклассическом приближении можно ограничиться рассмотрением динамики средних значений физических величин. Ее описывает нелинейная система уравнений [8]:
(х)=шг(р), (р) = —и sin (ж), ii = Av, v = —Au + 2zcos (ж), z=— 2« cos (ж),
(3)
где (ж) и (р) - средние значения перенормированных координаты ж = kfX и импульса р. Елоховские переменные и, V, г определяются как и = = 2/хх Пе(аЬ*)>1р, V = -2/^1т (аЬ*)ф, г = = (1а|2 — Н2)Ф- При выводе системы (3) использовано приближение, при котором средние значения произведений физических величин равны произведениям средних значений. Одним из условий справедливости полуклассического подхода является большой атомный импульс в сравнении с импульсом фотона (р 1). Наша задача - сравнение результатов анализа приближенных уравнений (3) с результатами анализа уравнений (2) и установление квантово-классического соответствия.
Для численного исследования выберем значения параметров и начальных условий. Мы фиксируем шг = Ю-5, что по порядку величины соответствует экспериментам с атомами Се [12, 13] и № [14]. Второй параметр, расстройка резонанса Д, будет варьироваться в широком диапазоне. Начальная координата центра тяжести атома равна (ж(0)) = 0, начальное значение среднего импульса (р(0)) будет принимать различные значения, удовлетворяющие р 1. Начальный волновой пакет, находящийся в начале координат, имеет простейшую гауссову форму
%(0) = МО) =
Ф2
: ехр ■
~(р ~ (Р(О)))2
(4)
что соответствует значениям блоховских переменных м(0) = 1, «(0) = z(0) = 0. dp - стандартное отклонение импульса атома (по порядку величины равное полуширине пакета). При т = 0 зафиксируем его значением сгр(0) = 5/л/2- Поэтому, в соответствии с соотношением Гейзенберга, стандартное отклонение начальной координаты ax{Q) = 1/2сгр(0) = 0.1л/2 (это значительно меньше длины световой волны, которая
р
в наших обозначениях равна 2-тг). Дальнейшую динамику волнового пакета (4) (эволюционирующего согласно ур. (2)) можно сравнивать с динамикой облаков точечных полуклассических атомов (эволюционирующих согласно ур. (3)), распределенных в импульсном и координатном пространствах в начальный момент времени по Гауссу с такими же сгр и ах.
И полуклассические облака, и квантовые волновые пакеты со временем расплываются. Разбега-ние полуклассических траекторий особенно ярко вы-раженно при наличии динамической неустойчивости. На рис.1а для среднего начального импульса
0.008 0.006 0.004 0.002 0
з 500 зр 400 300 200 100 0
з 500 р 400 300 200 100 0
1.0
LZ
0.5
Г,
- s—^s , (b)
, /\/\/\ (c)
—1 (d) , i —
-0.2
-0.1
0 А
0.1
0.2
Рис.1. Зависимости классических и квантовых характеристик движения от расстройки атомно-полевого резонанса Д: (а) максимальный показатель Ляпунова полуклассической системы (3), (Ь) стандартное отклонение импульса полуклассических атомов в облаке газа при т = 6000, (с) стандартное отклонение импульса квантованного атома в тот же момент, (d) вероятность туннелирования атома между потенциалами при пересечении узла стоячей волны: точки - численные результаты, линии - аналитические (7). Везде (р(0)} = 600
(р(0)) = 600 (соответствует ультрахолодным атомам со скоростями порядка 1м/с) построен график максимального показателя Ляпунова А как функции расстройки атомно-полевого резонанса. При 0 < |Д| < < 0.2 решения неустойчивы по Ляпунову (А > 0): близкие траектории экспоненциально расходятся со временем, что приводит к быстрому расширению об-
лаков атомов. На рис.1Ь и с изображены графики зависимости сгр от расстройки в момент т = 6000 для полуклассического и квантового случ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.