ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2013, том 49, № 2, с. 240-252
УДК 551.513;532.51.013.4
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ЗАХВАТ ИНЕРЦИОННО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ (ЛУЧЕВАЯ ТЕОРИЯ)
© 2013 г. М. В. Калашник
Научно-производственное объединение "Тайфун" 249038 Обнинск, Калужской обл., ул. Победы, 4 Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 119017Москва, Пыжевский пер, 3 E-mail: kalashnik-obn@mail.ru Поступила в редакцию 22.07.2011 г., после доработки 05.05.2012 г.
В приближении геометрической оптики (лучевая теория) исследован процесс распространения и захвата пакетов инерционно-гравитационных волн в сдвиговых океанических течениях. Показано, что при сильной устойчивой стратификации захват происходит в области антициклонического (горизонтального) сдвига скорости, в узком интервале частот, лежащем левее инерционной частоты. Вне этого интервала реализуется либо режим отражения пакета (луча) от слоя циклонического сдвига, либо режим свободного прохождения через сдвиговый слой. Представлен качественный анализ основных уравнений лучевой теории, получены аналитические выражения для свободных и захваченных лучей. Исследовано также влияние вертикального сдвига скорости на поведение лучей. Показано, что при убывающем с глубиной профиле скорости происходит двумерная (вертикальная) фокусировка лучей, при которой они концентрируются вдоль определенной широты.
Ключевые слова: Инерционно-гравитационные волны, сдвиговые течения, лучевая теория, геометрическая оптика, фокусировка, захват.
Б01: 10.7868/80002351513020107
1. Под инерционно-гравитационными волнами (ИГВ) понимают волны, обусловленные плот-ностной стратификацией сплошной среды и ее вращением как целого [1—4]. Подобные волны широко распространены в океане; в стандартных условиях их частоты меняются от инерционной частоты/до частоты плавучести N (частоты Брен-та). Значения этих частот в средних широтах отличаются на один-два порядка (/ = 10-4 с-1, максимальное значение частоты плавучести в термоклине N = 10-2 с-1). Волновые движения с частотой близкой к /, называют инерционными или квазиинерционными волнами. Правой границе частотного диапазона отвечают внутренние гравитационные волны (ВГВ), не подверженные влиянию фонового вращения. Важная особенность наблюдаемого частотного спектра ИГВ состоит в том, что основной вклад в полную энергию дают волны с низкими частотами. Этот факт стимулировал активное изучение динамики низкочастотных (квазиинерционных) волновых движений [1, 4].
Основным источником генерации квазиинерционных волн в океане принято считать ветровое воздействие на поверхность. Как показывают
данные наблюдений, при распространении от источника очень часто происходит концентрация волновых движений в областях с интенсивными сдвигами скорости течений - районах океанических фронтов и струйных течений. Данные, свидетельствующие о тесной связи энергии квазиинерционных колебаний с величиной горизонтального сдвига, в частности, представлены в [5, 6]. Для объяснения этого факта в работах [5-11] рассматривался гидродинамический механизм, связанный с захватом распространяющихся волновых пакетов слоем горизонтального сдвига скорости струйного течения. В упомянутых работах был исследован ряд особенностей распространения ИГВ в сдвиговом волноводе [5, 6], построены примеры точных решений для захваченных квазиинерционных волн в рамках линеаризованной системы уравнений гидродинамики [8, 10, 11].
В приближении геометрической оптики (лучевая теория [1-3]) эффект захвата пакетов квазиинерционных волн сдвиговым слоем был впервые численно обнаружен в работе [5]. Автором [5] получено дисперсионное соотношение для квазиинерционных волн в сдвиговых течениях, выполнено численное интегрирование основных урав-
нений лучевой теории. Представленные в [5] вычисления носили характер отдельных численных экспериментов и не позволили ответить на целый ряд важных вопросов. К ним относится определение диапазонов частот, для которых реализуется захват, отражение и свободное прохождение волновых пакетов, описание характерных геометрических конфигураций лучей. С целью ответа на эти и другие вопросы в настоящей работе представлен качественный анализ сформулированной в [5] гамильтоновой системы уравнений для нахождения лучевых траекторий. Выделены случаи полной интегрируемости этой системы, получены оценки диапазонов частот и аналитические выражения для свободных и захваченных лучей. Установлено, что в общем случае расположение области захвата определяется стратификацией океана и ориентацией горизонтального сдвига. Так, если частота Брента больше инерционной частоты, захват происходит в области антициклонического сдвига скорости, если меньше — в области циклонического сдвига. Соответственно в первом случае частоты захваченных волновых пакетов меньше инерционной частоты, во втором — больше.
2. ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ ИГВ В СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ. ИНЕРЦИОННЫЙ РЕЖИМ ПРИ СИЛЬНОЙ СТРАТИФИКАЦИИ
Движения вращающейся несжимаемой стратифицированной жидкости описываются системой уравнений [1—3]:
du
1
— + f[kz,u] = --Vp - gkz, ^ = 0 , div u = 0, (1)
dp _
dt
dt
где и — вектор скорости с компонентами и, V, w вдоль горизонтальных осей х, у и направленной вертикально вверх оси г соответственно, р — давление, р — плотность, / — параметр Кориолиса, g — ускорение свободного падения, кг — вертикальный орт. В рамках (1) исследуются движения в области г < 0, начало координат помещается на поверхности океана г = 0.
Система (1) имеет точное решение, описывающее стационарное зональное геострофическое течение
u = U(y, z)kх, p = p(y, z), p = p(y, z),
(2)
возмущений течения (2) описывается линеаризованной на течении системой уравнений
Du Dt
+ vUy + wU - fv = -
1 dp'
D = ^ + U-d
Dv , , --+ fu = -
Dt p* dy
Dp' ^
P*
dp_ Dw , Dt
dx Dt dt
= _ 1 d£- g p!
P*dz P
dx
(3)
du , dv , dw
Dt
+ vp y + wp z = 0, — + — + — = 0.
дх ду dz
Здесь штрихами отмечены возмущения давления и плотности, буквенными индексами внизу — соответствующие частные производные фоновых распределений. При записи системы (3) использовано приближение Буссинеска, т.е. в слагаемых с градиентом давления вместо р подставлено постоянное среднее значение плотности р^ [1, 2].
Формулировка дисперсионного соотношения для ИГВ связана с отысканием волновых решений системы (3). Рассмотрим вначале случай так называемых симметричных возмущений, не зависящих от координаты х вдоль потока. Для таких возмущений система (3) сильно упрощается. Вводя функцию тока V = —''г, w = 'х и плавучесть а =
= -gp'/р, из (3) получим систему
(Ay)t - Сту - fUz = 0, fut + F Vz + S Vy = 0, ст t + S V z + N V y = 0,
(4)
содержащую три параметра с размерностью квадрата частоты
N2 = -Шр, 52 = /и, = ШРу, (5)
г2 = / (/ - иу).
Если пространственный масштаб возмущений много меньше масштаба течения, параметры (5) в системе (4) можно считать локально постоянными. Отыскивая волновые решения системы (4) вида ' = '0ехр/(/у + тг — (аналогично для каждой переменной) и обозначая через к = (I, т) соответствующий двумерный волновой вектор, для частоты ю симметричных колебаний получим
2 (Ак, к) N 2l2 + F 2m2 + 2S 2lm
Ю = --- =-2-2-,
(к, к) l2 + m
A =
С N2 S2 ^
v S2 F2 у
(6)
или в другой записи
ю =
N 2l2 + f(f - Uy )m2 + 2fUJm
/2 , 2 l + m
(7)
где стационарные распределения удовлетворяют соотношениям геострофики и гидростатики: fp U = -dp/dy, gp = -dp/dz. Поведение малых
Формулы (6), (7) дают искомое дисперсионное соотношение для симметричных ИГВ в сдвиговом геострофическом течении. Подчеркнем, что
такие волны распространяются в плоскости (у, перпендикулярной потоку.
Отметим важную роль дисперсионного соотношения (6) в теории симметричной устойчивости сдвиговых геострофических течений [12—14]. Из (6) следует, что относительно симметричных возмущений сдвиговый поток устойчив (ю2 > 0), если выполнены условия Ы2 > 0, Р2Ы2 - > 0. Для гладких океанических течений синоптического масштаба (Ы2 = 10-4 с-2, Р = 10-8 с-2, ^ = 2 х 10-8 с-2) эти условия выполняются с большим запасом.
Используя соотношение (7), выделим режим инерционных колебаний (с частотой, близкой к/) в характерном случае сильной устойчивой стратификации Ы2 >у2. Это осуществляется в два этапа. С учетом последнего условия, запишем (7) в длинноволновом приближении I2 < т2:
» = / 1 - ^ + 2^1 + *2 12
/ /ш /2 ш2'
(8)
Далее рассматриваем волновые движения, удовлетворяющие условиям
иу// < 1, {и^/){Цш) < 1, (( V /2)((V ш2 ) 1.
(9)
I N2 I2 ю = / - 0.5иу + и7- + 0.5—-Ц-
^ у I г 2
ш / ш
(10)
Соотношение (11), участвующее в формулировке уравнений лучевой теории, лежит в основе последующего рассмотрения.
Обсудим выполнимость условий (9) для океанических течений. Распределение скорости течения будем представлять в виде
и = иоУ(у1Ь, 1/Н),
(12)
Используя асимптотическое разложение квадратного корня в ряд Тейлора и удерживая первые два члена разложения, с учетом этих условий из (8) получим дисперсионное соотношение для квазиинерционных симметричных ИГВ
В отсутствие сдвигового течения соотношение (10) аналогично дисперсионному соотношению для длинных квазиинерционных волн в неподвижной среде.
Приведенное рассмотрение обобщается на случай общих волновых движений вида у = = у0ехр/(кх + 1у + т1 — ю?). Подстановка последних выражений (для каждой из переменных) в систему (3) приводит к кубическому уравнению относительно частоты ю. Нахождение дисперсионного соотношения для квазиинерционных волн сводится к вычислению асимптотик корней этого уравнения в длинноволновом пределе к ^ 0 при условиях, аналогичных (9). Для случая Ы2 > у2 такие достаточно громоздкие вычисления были выполнены в упомянутой работе [5]. Найденное в [5] дисперсионное соотношение получается из (10) заменой I2 на I2 + к2 и добавлением соответствующей доплеровской поправки к частоте
ю = / - 0.5иу + + 0.5^12 2 + ки. (11)
ш
/
ш
где и0, Ь, Н — соответственно характерная скорость, горизонтальный и вертикальный масштабы течения. При этом иу// = RoFу', где Ro = и0//Ь — число Россби, у' = у/Ь. Первое условие (9), таким образо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.