РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 4, с. 344-351
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.372;537.86;537.87
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН ВДОЛЬ РАЗМЫТОЙ ГРАНИЦЫ МЕТАМАТЕРИАЛА
© 2015 г. А. Б. Маненков
Институт физических проблем им. П.Л. Капицы РАН, Российская Федерация, 119334, Москва, ул. Косыгина, 2 E-mail: manenkov@kapitza.ras.ru Поступила в редакцию 27.05.2014 г.
Исследованы характеристики ТМ-мод, направляемых диффузной границей раздела метаматериала и обычного диэлектрика. Показано, что в переходном слое возможно сильное возрастание электрического поля. Рассчитаны зависимости волновых чисел от толщины переходной области. Рассмотрена связь характеристик мод в случае резкой и диффузной границ раздела сред.
DOI: 10.7868/S0033849415040105
ВВЕДЕНИЕ
1
Электромагнитные поверхностные моды (ПМ) длительное время являются объектом детальных исследований. Интерес к ним возник достаточно давно в связи с задачами о распространении радиоволн вдоль земной поверхности, в том числе при исследовании волн (мод) Ценнека [1, 2]. В настоящее время ПМ широко используют для физических экспериментов, а также для изучения свойств поверхностей в микроволновом (в том числе, в терагерцевом) и оптическом диапазонах волн [3—5]. В последние годы интерес к ПМ существенно возрос в связи с предложениями использовать их в устройствах интегральной оптики, в системах ближнепольной микроскопии, а также при изучении свойств различных искусственных сред (метаматериалов) [6—8]. Этот интерес обусловлен уникальными свойствами ПМ (в частности, высокой пространственной локализацией). Такие моды можно использовать не только для анализа характеристик поверхностей, но и для изучения свойств адсорбированных на них различных частиц. ПМ можно применять и для изучения нелинейных эффектов.
В данной работе рассмотрена задача о ПМ, которые могут распространяться вдоль плоской нерезкой границы раздела среды из метаматериала и обычной среды. К настоящему времени опубликовано несколько работ, где эту задачу анализировали на модели, у которой параметры сред изменялись на границе скачкообразно [6, 7]. Представляет интерес рассмотреть альтернативную модель, когда граница раздела является "раз-
1 Эти моды также называют поверхностными поляритонами, а в случае, когда одна из сред является металлом, — поверхностными плазмон-поляритонами.
мытой". В такой геометрии проницаемости непрерывно изменяются в тонком слое, который расположен между двумя однородными полубесконечными средами (модель с диффузной границей раздела сред). Кроме чисто теоретического интереса, такая система может представлять практический интерес, в частности, потому, что многие реальные структуры могут быть ближе именно к этой модели. Например, плавное (или близкое к плавному) изменение параметров в тонком слое может возникнуть при изготовлении подобных структур или из-за процессов диффузии. Промежуточный слой на границе раздела двух сред может образоваться также из-за загрязнений или окислений поверхности. Отметим, что подобную систему следует рассматривать как слоистый волновод. Однако в случае, когда толщина переходного слоя намного меньше длины волны, в первом приближении моду, распространяющуюся вдоль такой структуры, можно считать поверхностной, а не объемной.
Ниже рассмотрим характеристики ТМ-мод, которые могут распространяться вдоль структуры с диффузной границей раздела сред; геометрия задачи схематично показана на рис. 1. Предполагаем, что метаматериал расположен при у < -й; его постоянные диэлектрическую и магнитную проницаемости обозначим е1 и ц1. При у > й расположена обычная среда, параметры которой постоянны; проницаемости этой среды обозначаем е2 и ц2. Действительные части проницаемостей метаматериала отрицательные, а обычных сред — положительные [6]. В области -й < у < й расположен промежуточный (переходный) слой, в котором проницаемости е(у) и ц(у) зависят от поперечной координаты у. Ниже основное внимание уделено случаям, когда проницаемости — непрерывные
функции у, в том числе и в граничных точках у = ±й. Обобщение на случай функций с разрывами можно провести по стандартной схеме.
Следует, однако, учесть, что предельный переход от системы, у которой проницаемости являются непрерывными функциями у, к геометрии с резкой границей (или с несколькими скачками проница-емостей), обладает некоторыми особенностями, которые обсуждаются ниже. Будем исследовать случай, когда частота задана и не изменяется, т.е. рассматриваем монохроматический процесс с частотой ю. Как обычно, временной множитель ехр(-/ю г), где ю = ке, к = 2п/Х — волновое число, с — скорость света в вакууме, а X — длина волны, будет часто опущен. Предполагаем также, что все среды линейные (т.е. проницаемости не зависят от полей).
-й
Рис. 1. Геометрия задачи и система координат.
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассматриваем двумерную задачу. Для мод ТМ-типа магнитное поле имеет только одну компоненту Нх (рис. 1), а электрическое — две компоненты: Еу и Ег. Поля зависят от координат у и г, а также от времени Как указывалось выше, граничный слой предполагаем тонким, т.е. кй < 1. Считаем, что все среды имеют малые диэлектрические и магнитные потери, т.е. во всех точках пространства 1т е > 0 и 1т ц > 0, причем почти везде |1т б/б| < 1 и |1т <§ 1; эти условия будут уточнены ниже. Как будет показано в следующем разделе, наличие диссипации в средах в ряде случаев является необходимым условием для суще-
2
ствования решения рассматриваемой задачи . Метод расчета ПМ в данной структуре во многом повторяет методику, описанную в [9, 10], поэтому опишем его кратко, останавливаясь только на основных моментах.
Поля любых направляемых мод, в том числе и ПМ, имеют вид волн, бегущих вдоль оси г; все компоненты полей этих мод пропорциональны множителю ехр[/(Р, -®0], где в — комплексная константа распространения. Такое представление решений возможно, поскольку в уравнениях Максвелла для линейных сред переменные разделяются.
Уравнения Максвелла можно записать в виде
дЕ
ду
- /р Еу = гк^Нх
Н
у
(1)
= 1кеЕ,, кгЕу = -р Нх.
2
Заметим, что при исследовании подобных систем недостаточно использовать более простое условие 1тк > 0, где к — комплексное волновое число.
Уравнения (1) должны быть дополнены стандартными условиями спадания полей на бесконечности при у ^ +<». Для численного решения системы (1) удобно ввести две вспомогательные функции:
и (у) = Нх, У(у) = /Е,. (2)
Введенные функции удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
и' = к& V, V = [р7(кб) - Щи. (3)
Здесь и далее штрихами обозначены производные по координате у.
Дисперсионное уравнение (ДУ) для рассматриваемой моды получено по следующей схеме. С учетом условия на бесконечности поле вне промежуточного слоя |у| > й можно представить в виде
Н = и = в ехР[Ыу + й)], у < -й, (4) х [^2 ехр[-Р2(у - й)], у > й,
где р1 и р2 — внешние поперечные волновые числа (в общем случае комплексные), В1 и В2 — амплитуды магнитного поля моды на границах переходного слоя. Волновые числа мод связаны соотношениями
Р2 1 2 2 2 1 2 2 2 = к П1 + Р1 = к П2 + Р2,
(5)
где введены обазначения п2 = б1ц1 и = 6 2. Для вывода ДУ интегрируем систему (3) от точки у = -й до точки у = й, используя начальные значения, которые следуют из (4):
и(-й) = Бъ V(-й) = и'(-й)/(кб1),
(6)
где и'(-й) = -р1Б1. В конечной точке у = й полученные значения функций и (й) и V (й) приравнивали к тем значениям, которые также получали из (4). В результате пришли к ДУ, которое можно записать в виде
к& V (й) + р2и (й) = 0.
(7)
У
й
0
г
Напомним, что для ПМ поперечные волновые числа должны удовлетворять условиям Re1 > 0 и Re р2 > 0. При выполнении этих условий поля ПМ экспоненциально убывают при у ^ +«. В общем случае систему (3) и уравнение (7) решали численно [10].
Опишем кратко некоторые характеристики ПМ для системы с резкой границей (при й = 0). Детальный анализ этого случая представлен в [6, 7]. В такой системе ДУ имеет вид
Р1/61 = -рг/е 2 • (8)
Для простоты дополнительно предположим, что среды недиссипативные. При условии б1б2 < 0 (см. выше) предыдущее уравнение может иметь действительные положительные корни р1 > 0 и р2 > 0. Из формул (5) и (8) нетрудно получить явные выражения для решений ДУ. В частности, выражения для поперечных волновых чисел имеют вид
Р12 = к2Л21/11 - (е2/Е1)2], Р2 = -Р:(е£1),
А21 = е2^2 -е1^1-
Для рассматриваемого случая, когда среды не-диссипативные и граница раздела резкая (й = 0), ПМ существуют, если выполнены условия
(9)
или
А 21 < 0,
А 21 > 0,
6 2 > 6,
<|£
(10)
(11)
Напомним, что для прямых мод фазовые и групповые скорости направлены в одну сторону, а для обратных — в противоположные.
у0. Для рассматриваемой задачи диэлектрическая проницаемость входит в знаменатель коэффициента в правой части второго уравнения (3), поэтому этот коэффициент обращается в бесконечность при у = у0. В этом случае уравнения (3) могут иметь сингулярные решения [12, 13]. Как правило, интегралы от этих решений расходятся.
Для простоты предположим, что обе функции Яе е(у) и Яе ц(у), которые меняют знак на интервале (-й, й), обращаются в нуль в одной и той же 4
точке у = 0. В небольшой окрестности этой точки можно считать, что функции е(у) и ц(у) изменяются линейно. При отсутствии потерь уравнение для магнитного поля приближенно может быть записано в виде
й Н
йу1
1 йе е йу,
йНХ
йу
+ [к 20(у2)-
в 2]Нх = 0, (12)
При выполнении условий (10) мода будет обрат-
3
ной [1, 11], а при выполнении (11) — прямой . Для прямой ПМ (см. выше) поля спадают быстрее в первой (нижней) среде, так как в этом случае р1 > р2. Для обратной моды поля быстрее спадают во второй среде (см. рис. 1), так как р1 < р2 и поле в основном сосредоточено в метаматериале.
2. ПОЛЕ В ПЕРЕХОДНОМ СЛОЕ
Рассмотрим теперь структуру полей ПМ в области промежуточного слоя, когда граница раздела двух сред размыта (т.е. й > 0), а функции е(у) и ц(у) непрерывные. Предположим сначала, что среды недиссипативные, т.е. 1т е(у) = 1т ц(у) = 0. В такой системе проницаемости в поперечной плоско
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.