РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ С ВНУТРЕННИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
С. В. Слипушенкоа Ь, А. В. Турс, В. В. Яновскийа Ь*
" Институт монокристаллов Национальной академии наук Украины. 61001, Харьков, Украина
ьХарьковский национальный университет им. В. Н. Каразина 61000, Харьков, Украина
€ Université de Toulouse [CPS], CNB.S, Institut de Recherche en Astrophysique et Planétologie
SI 028, Toulouse, France
Поступила в редакцию 13 февраля 2013 г.
Рассмотрено рассеяние частиц с малым числом внутренних степеней свободы. Для исследования рассеяния двух таких структурно-сложных частиц применяется биллиардный формализм. Установлены основные характеристики рассеяния. Обнаружены различные типы режимов рассеяния. В частности, найден режим, при котором скорость разлета таких частиц выше скорости их сближения до столкновения. Показано, что рассеяние таких частиц происходит после конечного числа столкновений. Предложен обобщенный ньютоновский закон для столкновения частиц с малым числом степеней свободы и установлен вид эффективного коэффициента восстановления.
DOI: 10.7868/S0044451013080105 1. ВВЕДЕНИЕ
Изучение столкновений макроскопических частиц начато достаточно давно. Собственно анализ таких столкновений позволил понять и установить основные законы взаимодействия [1] макроскопических частиц или масс. Для макроскопических частиц с гигантским числом внутренних степеней свободы столкновение, согласно гипотезе Ныотона, описывается соотношением
VI - П = -Ф1 - V2),
где V'i, Из и V/, 1'2 скорости макроскопических тел соответственно до и после столкновения, а в коэффициент восстановления, не зависящий от скорости. Для упругих материалов гипотеза Ныотона хорошо согласуется с экспериментами [1]. Для абсолютно упругих столкновений е = 1, а для абсолютно неупругих в = 0. При столкновении реальных макроскопических тел коэффициент восстановления лежит в диапазоне 0 < в < 1. Другими словами, относительная скорость макроскопической частицы при рассеянии может только уменьшаться по
* E-mail: yanovsky'fflisc.kharkov.ua
абсолютной величине. Это совершенно естественное свойство, оказывается, может нарушаться для частиц с небольшим числом внутренних степеней свободы.
Интерес к свойствам частиц с небольшим числом внутренних степеней свободы в последнее время возрастает благодаря интенсивным исследованиям на-нообъектов. Ясно, что с уменьшением размеров частиц число внутренних степеней свободы уменьшается. Поэтому важно исследовать влияние небольшого числа внутренних степеней свободы на характер столкновений таких частиц. Простейшей моделью для изучения рассеяния таких частиц является пара сталкивающихся композитных частиц. Композитная частица состоит из оболочки с несколькими точечными частицами внутри [2]. Оболочки и внутренние частицы могут двигаться только вдоль выбранного направления, абсолютно упруго сталкиваясь друг с другом. Иными словами, внутренние степени свободы взаимодействуют друг с другом и с оболочкой абсолютно упруго, диссипация энергии в такой модели отсутствует.
Несмотря на простоту выбранной модели, полученные результаты носят достаточно общий характер и в определенном приближении относятся к рас-
2Li
2 L-2
Xu
•i'k+1 —I_
XI
X2
•i'k + 2
•i-'k + n + l
Рис. 1. Две композитные частицы: хц, х/,,.+1 — положения центров оболочек; массы внутренних частиц нумеруются в соответствии с нумерацией их координат. Для примера массы внутренних частиц первой композитной частицы
приведены явно
сеянию и более сложных частиц с малым числом внутренних степеней свободы. Интересно подчеркнуть, что такие композитные частицы реализуются и экспериментально. Примером подобных структурно сложных частиц являются молекулы ротокса-нов [3] и закрытые нанотрубки с фулереном внутри (папоШЬо реароск) [4,5]. Молекула ротоксана состоит из стержневой молекулы с надетой на нее кольцевой молекулой. Кольцевая молекула может свободно двигаться вдоль стержня, отражаясь от утолщений на его концах. Таким образом, эти две молекулы оказываются объединенными в композитную частицу топологической связью. При низких температурах такая композитная частица обладает определенным числом внутренних степеней свободы, совпадающим с числом кольцевых молекул. Закрытые нанотрубки с фулереном имеют похожую структуру. Они состоят из нанотрубки, закрытой с обоих концов, в которую помещены макромолекулы фуллерена. Такие композитные частицы являются перспективными компонентами наноустройств, нанороботов [6] и запоминающих элементов [7].
Для исследования столкновений композитных частиц в работе предложен метод построения эквивалентного биллиарда. Движение точечной частицы в таком биллиарде полностью определяет движение и взаимодействие всех компонент или составных элементов композитных частиц. Другими словами, показано, что рассеяние композитных частиц можно рассматривать как движение точечной частицы в специальном открытом биллиарде. Применение такого подхода позволяет относительно просто установить ряд общих свойств столкновений композитных частиц. Так, была найдена полная матрица рассеяния композитных частиц, определяющая скорости всех компонент таких частиц после рассеяния по их скоростям до столкновения. Установле-
ны общие свойства матрицы рассеяния. Обнаружено, что, несмотря на абсолютно упругий характер взаимодействия всех элементов таких частиц, рассеяние заканчивается после конечного числа столкновений композитных частиц. Для небольшого числа внутренних степеней свободы максимально возможное число столкновений удается получить точно. В случае более сложных композитных частиц удается оцепить число и время столкновений при их рассеянии. Кроме того, обнаружены необычные режимы рассеяния, при которых происходит обмен между внутренними и поступательными степенями свободы. Установлены эффекты, связанные с наличием у частиц небольшого числа внутренних степеней свободы.
2. БИЛЛИАРДНЫЙ ПОДХОД К СТОЛКНОВЕНИЮ ДВУХ КОМПОЗИТНЫХ ЧАСТИЦ
Рассмотрим столкновение двух композитных частиц в рамках биллиардного подхода. Под композитной частицей, следуя работе [2], будем понимать цилиндрическую оболочку с закрытыми торцами. Внутри оболочки находятся внутренние частицы, число которых соответствует числу внутренних степеней свободы такой сложной частицы. Разумеется, внутренние степени свободы взаимодействуют, или сталкиваются как друг с другом, так и с оболочкой. Будем предполагать, что столкновения между ними абсолютно упругие. В соответствии с этим первая частица характеризуется массой оболочки т0. ее длиной 2Li и положением Xq центра оболочки, а также массами и положениями внутренних точечных частиц, in, и .L'i (рис. 1). Целочисленный индекс г нумерует внутренние частицы и для первой компо-
зитной частицы принимает значения г = 1,2,... , к. Вторая частица характеризуется подобным набором величин. Обозначим массу оболочки второй частицы тк+1, положение ее центра и ее длину 2Ь-2-Число внутренних частиц во второй композитной частице обозначим целым числом п. В общем случае число внутренних степеней свободы частиц может но совпадать. Координаты внутренних частиц второй частицы обозначим хд,+2. -'Ч+з , • • •, •''л+в+1 • Обратим внимание, что нумерация элементов каждой композитной частицы начинается с оболочки, а внутренние частицы нумеруются последовательно слева направо. Полная масса системы двух частиц
к+п+1
М = ">'■
■1=0
Положение всех компонент двух композитных частиц однозначно определяется вектором х = = (.(;0, XI,... , хк, Жк+1, Хк+2.....хЛ+„+1) в евклидовом пространстве размерности к + п + 2.
Теперь обсудим конфигурационное пространство двух композитных частиц. Конфигурационное пространство такой системы состоит из всех возможных положений композитных частиц и составляющих их компонент. Основное физическое ограничение заключается в непроницаемости всех компонент, образующих эти две композитные частицы. В одномерном случае, который и рассматривается в работе, это означает невозможность изменить первоначальный порядок расположения элементов или компонент вдоль одномерной оси их положений и движений (см. рис. 1).
Сформулируем условия, определяющие конфигурационное пространство. В первую очередь, это условие непроницаемости оболочек друг для друга:
Хд._|_1 — Хо > Ь\ + Ь-2- (1)
Геометрически это условие означает деление евкли-дового пространства Кл+"+2 гиперплоскостью размерности к + п + 1 на две части. Конфигурационное пространство принадлежит только одной из частей, соответствующей неравенству (1). Часть гиперплоскости хд,+1 — х0 = ¿1 + Ь-2 образует его границу. Теперь учтем, что внутренние частицы каждой композитной частицы не могут ни покинуть оболочку, ни изменить порядок расположения внутри оболочки. Это приводит к следующим неравенствам:
XI — Х0 > —1*1, Х-2 — XI > 0,
: (2) Хк - ¿к — 1 > 0, Хо - Хк > -¿1-
Эта система неравенств определяет ограничения, возникающие для первой композитной частицы. Так, первое неравенство соответствует невозможности первой внутренней частицы выйти за пределы оболочки, т.е. стать левее ее. Следующие неравенства означают, что соответствующая внутренняя частица не может проникнуть через ближайшую внутреннюю частицу, расположенную левее ее. Наконец, последнее неравенство отражает невозможность самой правой внутренней частицы выйти за пределы оболочки и стать правее ее. Аналогичная система неравенств связана со второй композитной частицей:
Х/о+2 — ХД.+1 > —1*2.
Хд.+З - ХД.+2 > 0,
: (3)
Х/о+п+1 — ХЛ+„ > 0,
Х/о+1 —X к+п+1 > —1,2.
Таким образом, возникает к + п + 3 условий или неравенств, определяющих конфигурационное пространство. Каждое из приведенных неравенств представляет собой гиперплоскость в евклидовом пространстве Кл+"+2. В целом они ограничивают область пространства Кл+"+2, которая и является конфигурационным пространством двух композитных частиц. Другими словами, конфигурационное пространство это открытый выпуклый многогранник нлн полиэдр с границами, составленными из частей приведенных выше гиперплоскостей.
Разумеется, для описания динамики таких частиц следует задать не только положения, но и скорости движения оболочек и всех вн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.