научная статья по теме РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ДВУХСЛОЙНЫМ НЕКОНФОКАЛЬНЫМ СФЕРОИДОМ, МАЛЫМ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ Физика

Текст научной статьи на тему «РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ДВУХСЛОЙНЫМ НЕКОНФОКАЛЬНЫМ СФЕРОИДОМ, МАЛЫМ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2013, том 114, № 1, с. 133-143

ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА

УДК 537.874.4

РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ДВУХСЛОЙНЫМ НЕКОНФОКАЛЬНЫМ СФЕРОИДОМ, МАЛЫМ ПО СРАВНЕНИЮ

С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ © 2013 г. В. Г. Фарафонов, М. В. Соколовская

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения,

190000 Санкт-Петербург, Россия

E-mail: far@aanet.ru Поступила в редакцию 24.04.2012 г.

Рассмотрена электростатическая задача для двухслойного неконфокального сфероида. Подход базируется на поверхностных интегральных уравнениях аналогичных уравнениям в рамках метода расширенных граничных условий (ЕВСМ) для волновых задач. Электростатические поля связаны со скалярными потенциалами, которые представляются в виде разложений по собственным функциям уравнения Лапласа в двух сфероидальных системах координат, а неизвестные коэффициенты разложений определяются из бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Построенное строгое решение задачи совпадает с известным решением в частном случае конфокального двухслойного сфероида. Кроме того, для неконфокального двухслойного сфероида построено явное приближенное решение в предположении постоянного поля внутри ядра частицы, которое совпадает с точным при выполнении условия конфокальности оболочек рассеивателя. Данная формула для поляризуемости двухслойного неконфокального сфероида имеет очень простой вид по сравнению с ранее предложенным громоздким алгоритмом (Posselt В. et al. Measur. Sci. Technol. 2002. V. 13. P. 256) и численно более эффективна.

DOI: 10.7868/S0030403413010091

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассеяние электромагнитного излучения частицами, малыми по сравнению с длиной волны, обычно описываются с помощью приближения Релея [1—5]. В рамках этого приближения должны выполняться следующие условия:

/ < X, |т|/< X, (1)

где I — максимальный размер частицы, т — комплексный показатель преломления вещества рас-сеивателя, X — длина волны излучения. Здесь основополагающим понятием, определяющим свойства рассеянного излучения, является поляризуемость частицы а. Дело в том, что в дальней зоне поле излучения, рассеянного малой частицей, представляет собой поле некоторого диполя. Момент этого диполя p связан с напряженностью падающего электрического поля E0 (для малой эллипсоидальной частицы в приближении Релея его можно считать постоянным) как раз через поляризуемость:

р = аЕо. (2)

Таким образом, при построении приближения Релея исходной является электростатическая задача возбуждения малой частицы постоянным электрическим полем. Дальше рассеянное малой

частицей поле как поле диполя находится стандартным способом.

В общем случае для произвольной частицы ее поляризуемость представляет собой тензор, так как направления векторов момента p и напряженности внешнего электрического поля E0 могут не совпадать (см. соотношение (2)). В этом случае для определения поляризуемости можно использовать интегральные уравнения, которые содержат напряженность поля внутри возбужденной частицы [5]. Однако ниже будет использован другой подход, использующий разложения полей в ряды по собственным функциям уравнения Лапласа

ДФ = 0, (3)

которому удовлетворяют скалярные потенциалы, связанные с напряженностями электрических полей соотношениями

Е = УФ. (4)

Достоинством такого подхода является тот факт, что здесь дипольная составляющая "рассеянного" поля в дальней зоне будет определяться одним слагаемым в разложении для соответствующего потенциала: Ф8са —- 1/г2 при г —»- да.

Явное решение подобной электростатической задачи имеется только для эллипсоидальной ча-

стицы, включая частные случаи вытянутого и сплюснутого сфероидов, а также шара [2, 3]. Если постоянное внешнее поле направлено вдоль одной из осей эллипсоида, например, вдоль оси г, то поляризуемость частицы вычисляется следующим образом:

а = ^^ , г 1 + (б - 1) Ь/

(5)

где б = ш2 — диэлектрическая проницаемость вещества частицы, V = 4паЬс/3 — объем эллипсоида с осями а, Ь и с, а геометрический фактор имеет следующий вид:

Ь =

аЬс г

(г+с2 )л/(7+а2)(7+Ь2)(7+С1)

(6)

Отметим, что геометрические факторы для других ориентации эллипсоида Ьх и Ьу вычисляются аналогично, причем справедливо соотношение

Ьх + Ьу + Ь, = 1,

(7)

которое можно использовать для контроля правильности расчетов геометрических факторов. Из соотношений (5), (6) следует, что поляризуемость частицы зависит от ее размера (прямо пропорционально объему), ее формы через геометрические факторы и ориентации относительно внешнего поля, а также диэлектрической проницаемости вещества частицы. Здесь предполагается, что рас-сеиватель находится в вакууме, поэтому диэлектрическая проницаемость внешней среды б0 = 1, в противном случае следует рассматривать относительную диэлектрическую проницаемость.

Для частиц других форм явного решения электростатической задачи в виде (5) не существует. Однако для конечного кругового цилиндра в работе [6] предложено аппроксимировать его экви-объемным сфероидом (т.е. одинакового объема) с отношением полуосей а/Ь, равным отношению длины цилиндра Ь к его диаметру Б, тем самым учитывая форму частицы. Затем с помощью метода наименьших квадратов были найдены значения дополнительных параметров зависимости а/Ь от Ь/Б. В результате удалось построить сфероидальную модель поляризуемости конечного кругового цилиндра, имеющую весьма высокую точность. В других работах было предложено приближение постоянного внутреннего поля [7, 8]. В этом случае для поляризуемости частицы получена формула типа (5), где для осесимметричных рассеивателей геометрический параметр формы Ьг представлен в виде одномерного интеграла

т 11 г (0) £

Ь7 = - + - —-—- СОБ 0

г 3 2 Л г(0)

БШ 0 (0.

(8)

Здесь поверхность частицы задается уравнением г = г(0). Два других параметра определяются с помощью формулы (7): Ьх = Ьу = 1/2(1 — Ьг). В работе [7] подробно исследуется данное приближение для чебышевских сферических частиц, для которых возмущение сферической поверхности описывается полиномом Чебышева. Отметим, что в рамках приближения постоянного внутреннего поля осесимметричная частица по существу аппроксимируется некоторым сфероидом, так как здесь имеет место соотношение (5).

Для неоднородных частиц явное решение электростатической задачи известно только для конфокальных эллипсоидов (случай двух слоев см. [2], обобщение на случай многих слоев см. [9]). Попытку построения приближения Релея для неконфокальных многослойных эллипсоидов [10, 11] нельзя признать слишком удачной. Этот алгоритм неудовлетворительно работает даже для двухслойных сфероидов с отношениями а/Ь > 2. Точно так же и строгое решение задачи рассеяния света многослойными осесимметричными частицами с использованием сферического базиса [12] дает приемлемые по точности численные результаты для двух-трехслойных неконфокальных сфероидов при а/Ь < 1.5—2.0.

Применение сфероидального базиса, т.е. использование разложений полей по волновым сфероидальным функциям, ограничивается только конфокальными двухслойными сфероидами (метод разделения переменных [13]) и конфокальными многослойными сфероидами (метод расширенных граничных условий [14]). Следует отметить, что применение сфероидального базиса в этих случаях дает отличные результаты, а "ложкой дегтя" является отсутствие в настоящее время надежных и эффективных алгоритмов расчета волновых сфероидальных функций в широкой области изменения параметров, особенно для поглощающих частиц.

В настоящей работе мы обобщаем подход, развитый в недавней работе [15] для построения ре-леевского приближения для сфероидальных че-бышевских частиц, на случай неконфокальных двухслойных сфероидов. Постановка задачи для двухслойной частицы излагается в разд. 2, при этом получены поверхностные интегральные уравнения для скалярных потенциалов. В следующем разделе скалярные потенциалы представляются в виде разложений по собственным функциям уравнения Лапласа в двух сфероидальных системах координат, поскольку поверхности оболочки являются координатными в разных системах из-за неконфокальности. Вывод бесконечных систем линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов разложений потенциалов приводится в разд. 4. Там же рассматриваются вопросы сшивки двух

со

0

разложений в разных системах для потенциалов внутри оболочки. В последнем разделе строится явное приближенное решение, когда поле внутри ядра частицы предполагается постоянным. Внешне оно совпадает с соответствующим решением для конфокального двухслойного сфероида, который является частным случаем для рассматриваемой задачи. Тем не менее данной простой формулой для поляризуемости можно пользоваться при условии, что степень неконфокальности двухслойной частицы не слишком велика.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНОЙ ЧАСТИЦЫ

Рассмотрим двухслойную частицу в постоянном электрическом поле. В сферической системе координат (г, 0, ф) уравнение поверхности внешней оболочки частицы записывается следующим образом:

г = гх(0, ф),

(9)

при этом внутреннюю область для этой оболочки обозначим через Б^ Аналогично уравнение поверхности ядра имеет вид

г = г2(0, ф) ,

(10)

пласа (4), удовлетворяют интегральным соотношениям [16]

при этом Б2 — область, занимаемая ядром частицы.

В электростатике электрическое поле можно описывать с помощью скалярного потенциала Ф, который связан с напряженностью E соотношением (4). Для двухслойной частицы обозначим

„л

потенциал внешнего поля через Фх , потенциал поля, возникающего из-за наличия частицы, т.е. "рассеянного" поля — ф2 . Для поля внутри оболочки потенциал записывается в виде суммы двух

22

слагаемых Фх + Ф2. Наконец, для поля внутри ядра потенциал записывается в виде Ф;. Здесь потенциал внешнего поля Ф1 , а также потенциалы Ф^ с нижним индексом 1 регулярны (т.е. конечны) в начале координат и, следовательно, в области Б, ограниченной поверхностью ¿у соответствующего у-го слоя (у = 1, 2). Потенциал рас-

„Л _/

сеянного поля Ф2, а также потенциалы Ф2 с нижним индексом 2 убывают к нулю на бесконечности, при этом они имеют особенность в начале координат, увеличиваясь п

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком