ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 4, 2014
УДК 539.3:534.26
© 2014 г. Л. А. Толоконников
РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ УПРУГИМ ШАРОМ С НЕОДНОРОДНЫМ ПОКРЫТИЕМ
Рассматривается задача о рассеянии плоской звуковой волны однородным упругим шаром с радиально-неоднородным покрытием. Получено аналитическое описание акустического поля, рассеянного телом. Представлены результаты расчетов диаграмм направленности рассеянного поля.
Изменение характеристик рассеяния звука упругих тел можно осуществить с помощью покрытий с требуемыми звукоотражающими свойствами. Представляет интерес исследовать зву-коотражающие свойства тел с покрытиями в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя. Такой слой легко реализовать с помощью системы тонких однородных упругих слоев, имеющих различные значения механических параметров (плотности и упругие постоянные).
Рассеяние звуковых волн на однородных изотропных упругих сферических телах рассматривалось в ряде работ (например, [1]). Исследовалось рассеяние гармонических звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным полым шаром [2]. Решена задача дифракции гармонических упругих волн на неоднородной трансверсально-изотропной сфере [3]. Изучалось рассеяние звука неоднородным термоупругим сферическим слоем [4].
1. Постановка задачи. Рассмотрим изотропный однородный упругий шар радиуса r2, плотность материала которого р2, упругие постоянные X2 и ц2. Шар имеет покрытие в виде неоднородного изотропного упругого слоя, внешний радиус которого равен r1. Полагаем, что модули упругости X и ц материала слоя описываются дифференцируемыми функциями радиальной координаты r сферической системы координат r, 0, ф, а плотность р — непрерывной функцией координаты r. Окружающая тело жидкость — идеальная, ее плотность р1, скорость звука с.
Пусть из внешнего пространства на шар падает плоская звуковая волна. Без ограничения общности будем полагать, что волна распространяется в направлении 0 = 0. Тогда в сферической системе координат потенциал скоростей падающей волны запишется в виде
W0 = A0exp [ i(krcos 0 - ю t)]
где A0 — амплитуда волны, к = ш/с — волновое число в окружающей жидкости, ш — круговая частота. В дальнейшем временной множитель в~ш будем опускать.
Определим отраженную от тела волну, а также найдем поля смещений в упругом шаре и неоднородном слое.
2. Определение волновых полей. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [5]
ДУ( 1) + k2 W(1} = 0
где ^(1) = + Ws, — потенциал скоростей рассеянной волны. При этом скорость частиц v и акустическое давление р в жидкости определяются по формулам
v = gradW( 1), p = ip 1 ю¥( 1)
Очевидно, что ввиду осевой симметрии задачи и свойств упругого материала слоя возбуждаемые волновые поля не будут зависеть от координаты ф.
Потенциал скоростей падающей плоской волны представим в виде [6]
да
Ч (r,0) = X Yj (kr) Pn ( cos 0), Yn = Ao in( 2n + 1)
n = 0
где jn(x) — сферическая функция Бесселя порядка n, Рп(х) — многочлен Лежандра степени n.
Учитывая условия излучения на бесконечности, функцию будем искать в виде
да
Ч,(r, 0) = X Anhn(kr)Pn(cos0) (2.1)
n = 0
где hn(x) — сферическая функция Ганкеля первого рода порядка п.
Уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругом однородном шаре, в случае установившегося режима движения имеют вид [4]
ДЧ(2) + k2 Ч(2) = 0, А Ф + k2 Ф = 0
k = ^, kT = , c = , ст = II2 (2'2)
cl Ст А/ р2 V Р2
где и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения, k, kT и c, ст — волновые числа и скорости продольных (индекс l) и поперечных (индекс т) волн. Вектор смещения u(2) частиц упругого изотропного однородного шара определяется выражением
u(2) = grad Ч(2) + rot Ф, div Ф = 0
Так как рассматриваемая задача осесимметричная, то Ф = Ф(г, 9)еф, где еф — единичный вектор оси ф. Тогда векторное уравнение (2.2) сведется к одному скалярному уравнению относительно функции Ф(г, 9), которое в в сферической системе координат имеет вид
Дф + (k2- т1г0)ф = 0
r sin 0
Запишем соотношения между компонентами тензора напряжений а^2) и вектора смещения u(2) в однородном упругом шаре
(2) _ л „(2К 0м дur „(2) _ л j;v11(2K 2М2(„(2) „(2) 0) rr = ^2diVU + 2М2^ , „mm = Л2diVU + -(Ur + U0 ctg0)
д r r
(2.3)
„(2) = 1 divu(2) + 2М2(дu ) + „(2)) „(2) = м Г2 (дuf ) Í2)) +
„00 = Mivu + — ( + ur J , „re = м2 ~r ( - ue J +
д г
При этом компоненты вектора и(2) записываются через функции и Ф в виде
(2) дЧ(2' 1 д ( . 0Ф) (2) 1 ur = + ~2 sin 0Ф), ue = 2 д r r sin 0д0 r
дЧ(2) д
д0 дr
--( r Ф)
Учитывая условия ограниченности, функции ^(2) и Ф будем искать в виде
¥(2) ( r,0) = £ Bjn ( kr) Pn ( cos 0)
(2.4)
j = о
Ф(r, 0) = £ Cnjn(Кr)d-Pn(cos0)
(2.5)
n = 0
Распространение малых возмущений в упругом неоднородном сферическом слое описывается общими уравнениями движения сплошной среды [7, 8]. В сферической системе координат для установившегося режима колебаний они имеют вид [8]
ÖCTrr , 1 ÖCTrO , . Q4
~дг + ~rl& + 2(2arr- 000 - + arectg0) = -ю р(r)ur
Ч^ + + 1 [(000 - ctg0 + 30r0] = -®2p(r)u0
r r 0 r
где ur и ue — компоненты вектора смещения u в неоднородном слое, aij — компоненты тензора напряжений в неоднородном слое.
Соотношения между компонентами тензора напряжений aij и вектора смещения u в неоднородном упругом сферическом слое имеют вид (2.3), где упругие постоянные X2 и ц2 следует заменить функциями X = X(r) и ц = ц(г).
Используя эти соотношения, запишем уравнения распространения упругих волн в неоднородном слое через компоненты вектора смещения u:
d2ur
(X + 2ц) —r + r
X' + 2 ц' + 2 ( X + 2 ц У
+
2 X' 2(X + 2ц) 2
----—--—^rr + юр
du- + Ц d_uur + ц ctg 0 dJUr +
r r2 02 r2 0
ctg 0 ^ + 1 fx' - ^
r dr rf r J d0
+
А + 1 (V - ctg0u0 = 0
r drd 0 rf r J
(2.6)
цd2u_0 + х_±2ц+ Гц' + ^ cu- + Х-+-2Цctg0^ -
r
r2 02
•J dr
r
0
2
■У , X + 2ц 2 ^ X + цд ur 1
- I — + --rr - Ю р u0 + -Z-r + r
r r2sin2 0 r drd 0 r
ц' + 2 ( x + 2 ц ) -
r
^ = 0 0
Штрих означает дифференцирование по г.
Функции ur(r, 9) и ^(г, 9) будем искать в виде разложений
ur(r, 0) = £ uin(r)Pn(cos0), u0(r, 0) = £ u2n(r)£Pn(COS0)
J = 0
d 0
(2.7)
GO
эи
ur +
r
TO
30
0
n
Подставляя выражения (2.7) в уравнения (2.6) и используя дифференциальное уравнение для полинома Лежандра [9]
1 —
БШ 0 —0
БШ 0 — Рп( СОБ 0) —0 п .
+ п (п + 1) Рп ( СОБ 0) = 0
получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и1п(г) и и2п(г) для каждого п:
апип + Впип + СпУп = 0, ип = («1п, Ы2п)т
(2.8)
А п =
X + 2 ц 0 0 ц
Вп =
X' + 2ц' + 2Сх±2ц) -п(п + 1)^
X -I- ц г
ц' + ^
г
СВ =
п
2-Х' 2 ( X + 2 ц) + п (п + 1) ц + ^2 п (п + 1 X - 3 ц^
г »2 г V Г '
ц' + 2 ( х + 2 ц У г
ц' ( , 1 \Х + 2 ц , 2 - -I- - п (п + 1)-—-- + юр
г
Коэффициенты Ап, Вп и Сп разложений (2.1), (2.4) и (2.5) и функции и1п(г) и и2п(г) из разложений (2.7) подлежат определению из граничных условий.
Граничные условия на внешней поверхности слоя заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения. На внутренней поверхности слоя при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения. Имеем
г = г1: -Iю иг = иг, стгг = -р,
г = г1: ы„ = и
(2)
иа = и
(2)
СТг0 = 0
__.(2)
гт - 2)
стг0 = стг0
Из условия равенства нормальных скоростей при г = г1 находим коэффициенты Ап, выраженные через величины и1п(г1):
А = -
у„к/„ ( кг1 ) + I ю и1 в ( г1 ) кк'п( кг1)
Здесь и далее штрихи означают дифференцирование по аргументу.
Из условий непрерывности составляющих вектора смещения при г = г2 находим коэффициенты Вп и Сп, выраженные через величины и2п(г2):
Вп = [и2п(г2)п(п + 1 Уп(ктг2) - и1п(г2)ап]г2<Тп
Сп = [и2п(г2)к1г2]'п(к1г2) - и1 п(г2Уп(к1г2)]г2<Тп
где
= п (п + 1 )]п (к,г2 ук( к% г2)- к,г2/'п( к,г2 )[/„( к% г2) + кТг2/'п (к%г2)] А« = /П( кт Г2 ) + кт г2//п (ктГ2 )
Из оставшихся неиспользованными граничных условий при учете выражения для вронскиана[9]
2
/«(х)(х) -/п(х)¿«(х) = г/х
получаем четыре краевых условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (2.8):
( A nU'„ + EnU„ )
Г =
= D„
(A KV„ + F„Un )r — r2 = 0
(2.9)
где
En —
( 2 4
2X ш pxhn(kr) X — + —-1 n -—- — n ( n + 1 ) r kh'n(kr) r
v
Dn —
ц r
Yn шР1
-i
-i
( kri ) 2 h'n( kri )
цг
Fn —
y
/ Л
/il /12
v /2i /22 y
/ii — {2 X + [ anbn + cnin(. kir)] q-i}r~2
fi2 — -{Xn( n +i ) +[ bnn ( n +i )jn( kxr) + cnkiiïn( kir)] q-i}
fi\ — ц{+ [andn + e,j'n(kir)]q~n }
/22 — -ц{ +[ dnn( n +i )jn( Кr) + enkirj'n( kir)] qn1}
bn — (X + 2ц)k2lr2j"n(kir) + 2Xktrj'n(k,r) -Xn(n + iXjXkir)
Cn — n(n + i)[(X + 2ц)'(kTr) - 2цkTг'«(kTr)]
dn — 2[ kj'n( kir) - г~Л( kir)]
en — [ 2 - n ( n + i )\jn ( kT r) r~2 - kT r)
Коэффициенты Вп и Сп могут быть вычислены лишь после решения краевой задачи (2.8), (2.9).
3. Решение краевой задачи. Найдем решение краевой задачи (2.8), (2.9) методом сведения ее к задачам с начальными условиями.
Построим фундаментальную систему решений уравнений (2.8). Необходимым и достаточным условием существования фундаментальной системы решений, определенных и непрерывных на интервале (г2, г1), является непрерывность функции р(г) и дифференцируемость функций Х(г), ц(г) [10].
Тогда в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать любые четыре
решения задачи Коши и"^ (г) (I = 1, 2, 3, 4) для системы (2.8) с начальными условиями, являющимися линейно независимыми. Начальной точкой может быть любая точка отрезка [г2, г1]. Однако удобнее в качестве начальной точки процесса интегрирования выбрать граничную точку отрезка. Возьмем следующие начальные условия:
г = : и« = (5и,52г)т, и!0' = (5зг,54/, 1 = 1, 2, 3, 4; и" = (иЦ ^)Т
где I— порядковый номер задачи Коши, Ьу — символ Кронекера.
Решения задач Коши найдем методом Рунге—Кутты четвертого порядка точности. Отметим, что все коэффицие
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.