ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 2, 2015
УДК 539.3:534.26
© 2015 г. Н. В. Ларин, Л. А. Толоконников
РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ УПРУГИМ ЦИЛИНДРОМ С ДИСКРЕТНО-СЛОИСТЫМ ПОКРЫТИЕМ
Получено аналитическое решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны однородным упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием. Представлены результаты расчетов диаграмм направленности рассеянного поля для цилиндра с непрерывно-неоднородным и дискретно-слоистыми покрытиями. Показано, что радиально-неоднородное покрытие можно моделировать системой однородных упругих слоев.
Существуют разные подходы к изменению звукоотражающих характеристик тел в определенных направлениях. Изменение характеристик рассеяния звука упругих тел можно осуществить с помощью покрытий в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя. Такое представление покрытия в ряде случаев оказывается более удобным, например, при решении обратных задач. Непрерывно-неоднородное покрытие можно реализовать с помощью многослойного покрытия — системы однородных упругих слоев с различными значениями механических параметров (плотности и упругих постоянных).
Исследованию отражения плоской звуковой волны от системы плоских однородных упругих слоев посвящено большое количество работ, например, [1]. Рассеяние звуковых волн на однородных изотропных упругих цилиндрах рассматривалось в ряде работ. Например, исследовался случай нормального падения плоской волны [2] и случай наклонного падения [3]. Решена задача о рассеянии плоских звуковых волн на неоднородном упругом цилиндре [4, 5]. Исследовалось рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем [6]. Рассмотрена дифракция плоской звуковой волны на неоднородном анизотропном полом цилиндре в общем случае анизотропии [7]. Получено решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости [8]. Изучена дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями [9]. Рассмотрено рассеяние звуковых волн абсолютно жестким цилиндром с неоднородным упругим покрытием [10]. Решена задача о рассеянии наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с радиально-не-однородным покрытием [11].
Ниже решается задача о рассеянии плоской монохроматической звуковой волны, падающей наклонно на упругий круговой цилиндр с дискретно-слоистым покрытием. Обсуждается возможность моделирования непрерывно-неоднородного покрытия системой однородных упругих слоев.
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечный однородный изотропный упругий цилиндр радиуса г0, материал которого характеризуется плотностью р0 и упругими постоянными А,0 и ц0. Цилиндр имеет покрытие в виде системы N тонких коаксиальных цилиндрических слоев радиусов г. ( = 1, 2, ..., Каждыйу-й однородный изотропный упругий слой имеет плотность р. и модули упругости X. и Окружающая тело жидкость — идеальная, ее равновесная плотность р, скорость звука с.
Цилиндрическая система координат г, ф, £ выбрана таким образом, что координатная ось £ является осью вращения цилиндра.
Пусть из внешнего пространства на цилиндр произвольным образом падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой равен
¥0 = Аехр {¡к[г8ш00ео8(ф - ф0) + гсоз00] - IюI}
где A — амплитуда волны, 90 и ф0 — полярный и азимутальный углы падения волны, к = ю/с — волновое число во внешней области, ю — круговая частота. В дальнейшем временной множитель е-""' будем опускать.
2. Определение волновых полей. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [12]
Д^ + ! + k2VN + ! = 0
где +1 = + — потенциал скоростей полного акустического поля во внешней области, — потенциал скоростей рассеянной волны. При этом скорость частиц v и акустическое давлениеp в жидкости определяются по формулам
v = gard +1, p = i pro^N +1
Потенциал скоростей наклонно падающей плоской волны представим в виде [13] (r, ф, z) = Aeiaz^inJn(pr)emФо); а = kcos0О, р = ksin0О
где Jn(x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка п.
Здесь и всюду далее, если не оговорено иное, суммирование ведется по п от —да до да. С учетом условий излучения на бесконечности функцию будем искать в виде
Ч,(г,ф, z) = ^^ЛЯН„(Рr)eln(* *о) (2.1)
где Hn(x) — цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка п.
Рассмотрим теперь уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругом цилиндре и дискретно-слоистом покрытии.
Представим вектор смещения uw частиц j-го упругого изотропного однородного слоя в виде
u- = gradЧа) + гс*Фа), j = 0, 1, ..., N
где и Ф^ — скалярный и векторный потенциалы смещения в j-м слоев (j = 0 соответствует цилиндру радиуса r0). В случае гармонического движения потенциалы смещения — решения волновых уравнений Гельмгольца [12]
Д^ + j Ч0) = 0, ДФа) + kj 2Фа) = 0 (2.2)
где kf = ю/ cj , kj = ю/cj и cj = JCkj + ) / pj, c(j = Vjpj - волновые числа и скорости продольных и поперечных упругих волн в j-м слое, соответственно. Представим вектор Фу) в виде [14]
Фа) = rot(L01 ez) + k(j)MJ)ez, j = 0, 1, ..., N
где Lj и M(j) — скалярные функции пространственных координат r, ф, z, ez — единичный вектор оси z. Тогда векторное уравнение (2.2) заменится двумя скалярными уравнениями Гельмгольца относительно функций Lj и M^
Д LJ + J L(J) = 0, M + j MJ = 0, j = 0, 1.....N
Функции Ь(/ и М7 (/ = 0, 1,..., N будем искать в виде
^ (г,ф, г) = е'аг X [ ВЦ ^ (к? г) + вРмп( к? г)] ет(1р — ^
ЬР)(г, ф,г) = е**X[СЙ/.(+ (к2Р)г)]в"-(2.3) ^(г,ф, г) = е1а*£ [Б?^(к?г) + М(к2Р)г)]е1п—^ где
к? = Тр^О2, кР = /Jkрг—а2
Жи(х) — цилиндрическая функция Неймана порядка п.
С учетом условия ограниченности функций ^(0), Х(0) и М(0) будем иметь
<> = с^ = БО) = о
Коэффициенты разложений (2.1) и (2.3) подлежат определению из граничных условий. Граничные условия на внешней поверхности тела заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений
(М) _ (Ж) _ п (Ж) _ п
г = гМ. — гюиг = иг, сгг = —р, стгф = о, сгг = о (2.4)
При переходе через границу раздела 7-го и / + 1-го упругих слоев (/ = 0, 1, ..., N — 1) должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения
(2.5)
Соотношения между компонентами тензора напряжений срг , с^, с^ и компонентами вектора смещения u(/) в 7-м слое записываются в виде [15]
г = г. И? = ига+1), = а +1) < , и(г ) = а +1) "г ,
с0) = _(/ +1) гг гг с0) Сг(р = са +1) Сг(р , с0) сгг с(/ + 1) = сгг
Сгг =
01 , /я„01 ..л диа)
"ди? 1 Гд"? ди?
—г- + - —+ и;'\ + — . дг г V дф ; дг
+2„>1Т
с«) = „.Г 1дИ--+дИ-—Иг-
гф ^г дф дг г ? Гд"? ди?
сг* = „V аГ + -дг-
Компоненты вектора смещения и^, записанные через функции Ь(/ и М' в цилиндрической системе координат, имеют вид
ду? д2ьи) к(Т)дыи)
и? -
+
д г дгдг
+
,01
1 д2 Ь?
и? - 1 дУ- +
г дф гдфдг
г дф
,(?) д М?
- к?
дг
(2.6)
и? =
дУ
(?)
д г дг2
~22Т (?)
д ь + кГ)21у)
Используя приведенные выше формулы, выразим компоненты тензора напряжений стГ?, и О) через функции У«, Ь' и М)
а
(?)
- - Х?к()2Уи) + 2ц?.
д2 у? дг2
дЬ- + к-- е_ V дМ- -1 ?
дг2дг г дф^ дг г ;
?) = 2^(1 (дУ- - - у (?)
агф = _
г дф^ дг г дгдг г дг
у?' + дь---дЬ- - к?)(дМ- --дМ- - 1 дМ
? т V дг2 г дг -2
г2 ф2
гт? - ,,
агг - М?
( а2уУ д3Ь» л/)2дь{?\ к?д2М')Л + кт
2У(
2(-У- + 2-
дгдг
+
дгдг
дг г дфдг
(2.7)
Прямой путь решения задачи состоит в построении с помощью всех граничных условий 6Ы + 4 линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложений (2.1) и (2.3), а затем в решении этой системы. Однако более предпочтительным для решения рассматриваемой задачи является матричный метод [16, 17].
Компоненты вектора смещения и' и компоненты тензора напряжений а? — периодические функции координаты ф с периодом 2п. Поэтому функции
„СО „СО „СО Л!) „О) „0). ,• _ а 1 \т
иг , и<? > иг , агг , аг^ агг ; ? - 0 ^ • ■ Я
будем искать в виде
(„(?) „(?) „(?) а(?) а(?) а(?)) Т(г- ф ^ - (гЛаЩ<9 - ^
(иг , ич , иг , агг, аг<р> агг ) (г, ф, г) - е > \ (г)е
(2.8)
?г) - (и?(г), и21(г), и3„}(г), а?(г), а? (г), а?(г))T
Здесь для каждого у'-го слоя (/' = 1, 2, ..., N и цилиндра радиуса г0 (/' = 0) введен в рассмотрение вектор смещения—напряжения ЬП' (г). Введем также вектор коэффициентов
К?) - (в(?) в(?) г(?) с?) п(л п(?) )Т
Кп - \п1юп2 юс1 юс2юп1 ю и2 п)
Связь между этими векторами определяется формулой
? г) = !?( г)К°, ]= о, 1.....N (2.9)
где Т°„) (г) — матрица шестого порядка с элементами /Ц = к (г) (г,_ 1 < г < г, г_х = 0). С учетом выражений (2.6)—(2.8) получаем
О _ уУ) /(?') - /(?') - У)\и)
'1д = у11 , '1, д + 2 = ^^12 , '1, д + 4 = " кт 1 02
,(/')_ /п^у) ,У) _ п а^М) У) /ДЛу?
'2д = _ 101 , '2, д + 2 =--у 02 , '2, д + 4 = —кт у 12
гг
/Л = га уУ) .У) = кУ)2 уУ) .У) = .У) = 0
'3д = ^у01 , '3, д + 2 = к2 102 , '35 = '36 = 0
= — ^ + 2„УУ21, '4,)д + 2 = 2/„^У^й , ^д + 4 = „укх ) V У12 — 1 У02^)
У) _ 2 /п„ ^уУ) 1 ууЛ
'5д = "Т" „VУ11 — - У01)
„Г уУ) - уУ)^ /Л = „ кУ)Г уУ) - уУ) + п- уУ) „Vу 12 — у 02) , '5, д + 4 = —V122 — у 12 + 2 у02
,У) _ 2 п а
'5, д + 2 =--
г
'бд = 2 /а„у), '6,)д + 2 = „(кТ)2 — 2а2) ^ , ^д + 4 = —п^ „у? где
у0?и = ¿п( ктг), у1?и = кт^п(ктг), ^т = кт ктг); т = 1 2
Здесь ^П(х) = /п(х) при д = 1 и ^(х) = Nn(x) при д = 2. Элементы /Ц должны быть снабжены индексом п, который для простоты записи опускаем.
Рассмотрим произвольный/-й слой (/ = 1, 2, ..., N). На его границах при г = г, _: и г = г из равенств (2.9) получаем соотношения
?о—1) = ?о—1К, ^ (о) = Т?(г)К?
Воспользовавшись постоянством вектора Кп) внутри/-го слоя, находим
^(0) = тПХг^ Тп)(г]— 1)]—1 ^(г,— 1) (2.10)
Подставляя выражения (2.10) в граничные условия (2.5), при г = ^_: будем иметь
?0 — 1) = $ —1)(г — 1), ]= 1, 2.....N
Тогда соотношение (2.10) перепишется в виде
?г) = Р?$ 1 (?!), ] = 1, 2, N ^ = ТП](0)[??!)]-1 (2.11)
Последовательное применение формулы (2.11) позволяет связат
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.