научная статья по теме РАССЕЯНИЕ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА НА ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ЭКРАНЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ИМПЕДАНСОМ Физика

Текст научной статьи на тему «РАССЕЯНИЕ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА НА ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ЭКРАНЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ИМПЕДАНСОМ»

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 1, с. 13-20

УДК 534.23:537.874.6

КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН

РАССЕЯНИЕ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА НА ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ЭКРАНЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ИМПЕДАНСОМ © 2014 г. Х. Т. Алероева, А. Г. Кюркчан, С. А. Маненков

Московский технический университет связи и информатики 111024, Москва, Авиамоторная ул., 8а E-mail: mail44471@mail.ru Поступила в редакцию 23.05.2013 г.

При помощи метода продолженных граничных условий решена акустическая задача дифракции поля точечного источника на осесимметричном экране, на поверхности которого выполнены обобщенные импедансные краевые условия. Рассмотрены импедансные граничные условия двух типов, которые в случае равенства импеданса нулю переходят соответственно в условия Дирихле или Неймана. В работе рассмотрены как стационарная, так и нестационарная задачи дифракции. Получены численные результаты для экранов параболической и сферической формы.

Ключевые слова: дифракция волн, метод продолженных граничных условий, тонкие экраны. БО1: 10.7868/80320791914010018

ВВЕДЕНИЕ

Исследования вопросов дифракции волн, основанные на решении уравнения Гельмгольца при заданных граничных условиях, весьма актуальны в современной теоретической акустике (см., например, работы [1, 2]).

В данной работе рассмотрена задача дифракции поля точечного источника расположенного на оси вращения осесимметричной зеркальной антенны с переменным импедансом. Предполагается, что центральная часть экрана является идеально отражающей, а на краях задано обобщенное импедансное условие [3, 4]. При этом импеданс зависит от координат. В работе рассмотрена как стационарная, так и нестационарная задача дифракции для экранов различной формы. Стационарная задача решалась при помощи метода продолженных граничных условий (МПГУ) [5, 6]. Нестационарная — с использованием преобразования Фурье, то есть путем сведения к стационарной задаче.

Одной из целей работы было выявление эффекта снижения уровня боковых лепестков диаграммы рассеяния волнового поля при определенной зависимости импеданса экрана от координат. Точнее, если на кромке экрана (зеркальной антенны) импеданс становится равным так называемому согласованному импедансу (см. пояснения в тексте), то в этом случае наблюдается снижение уровня боковых лепестков по сравнению со случаем идеально отражающего экрана. Как показали расчеты, этот эффект проявляется сильнее для экрана параболической формы.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим зеркальную антенну в виде осе-симметричного экрана (то есть тела вращения). Предполагаем, что ось г цилиндрической системы координат направлена вдоль оси вращения тела (см. рис. 1). Будем считать, что уравнения контура осевого сечения экрана имеют вид: р = рэ($), I = гэ($), где 5 е [0,52]. Пусть на поверхности экрана выполнено одно из обобщенных импедансных условий [3]:

й+ - й_ _ 0, й _ W (дй+ дй_ к \ дп дп

где c — скорость распространения волн в среде,

(1)

либо

дй+ дй_ дп дп

Z (й+ - й_)

= 0,

1 дй к дп

(2)

ч exp(-ikRo)

й (р, z, ю) = -—,

R

(3)

й°(р, z, t) = Re jf (ю)

expftoff - R,/c))^

= — exp Ro

Ro

(t - Rolc) Г2

(4)

ЛТ7 /

f (ш) = f exp l-^f-л/п I 4

В формуле (5) Т — полуширина импульса.

Следуя работе [4], будем считать, что импеданс экрана зависит от координат следующим образом:

W =

где W и Z — заданные величины. При этом на центральной части экрана, то есть при s е [0,sx], волновое поле удовлетворяет условию Дирихле или Неймана, то есть либо W = 0, либо Z = 0, а на оставшейся части экрана (при s е [sb s2]) выполнено краевое условие (1) или (2) с ненулевым значением Wлибо Z. В формулах (1) и (2) й — полное

волновое поле (здесь и далее символом " " будем обозначать величины, зависящие от круговой частоты ю), й = й + й , причем и — первичное (падающее), й1 — вторичное (рассеянное) поле. Величины й+, й_ в формулах (1) и (2) — это значения волнового поля на двух сторонах экрана. Таким образом, имеется скачок нормальной производной или волнового поля на поверхности экрана. Далее, в формулах (1) и (2) к — волновое число в среде, окружающей рассеиватель, д/дп означает дифференцирование по нормали к поверхности антенны, направленной в сторону источника поля. Отметим, что величины Wи Zявляются функциями координат, то есть импеданс различен в различных точках экрана (W и Z являются функциями параметра s).

В качестве первичного поля рассмотрим поле точечного источника, расположенного на оси экрана. Будем исследовать как монохроматическое падающее поле, так и импульсное возбуждение рассматриваемой структуры. В первом случае падающее поле имеет вид (зависимость от времени опускаем)

(Р - Pi)

+ B

(Р - Pi)

Pi < Р < P2,

(6)

(Р2 - Р1> (Р2 - Р1> 0, иначе,

где р12 = рэ($12), а постоянные А и В определяются из физических соображений (см. ниже). В случае граничных условий (2) величину Ж в формуле (6) нужно заменить на Z. Таким образом, для упрощения формул мы считаем, что на всем экране задано обобщенное импедансное краевое условие (1) либо (2).

РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ

В соответствии с МПГУ граничное условие (1) либо (2) переносится с поверхности экрана на вспомогательную поверхность вращения уравнения контура осевого сечения которой имеют вид

p8(s) = p3(s) + z^s, z8(s) = z3(s) - ^5.

h(s) h(s)

(7)

Здесь 8 — малый положительный параметр,

й($) = -\/р2 + ¿1, причем точка означает производную по параметру ж. Представим волновое поле в виде (зависимость от частоты не указываем)

й(г) = й°(г) - 4П JG(r, rV(rW

либо в виде

й(г) = й0(г) + к i^XrW

4п J дп

S

(8)

(9)

соответственно в случае граничных условий (1)

или (2). В формулах (8) и (9) G(r, г') = exp(-ikR),

kR

в формуле (8)

R = |г - г'. Величина у(г') = 1

к

дй .дп.

где Я0 = ¿0)2 ((Р, Ф, ¿) - цилиндрические

координаты, ¿0 — координата источника). В случае нестационарной дифракции падающее поле соответствует гауссову импульсу и имеет вид

и „/(г) = [и] 5 в формуле (9), причем квадратные скобки означают скачок нормальной производной либо поля. Далее получим интегральное

уравнение для неизвестной функции /г'). Для этого опустим точку наблюдения в формуле (8) на вспомогательную поверхность и воспользуемся условием (1) на поверхности экрана. В соответствии с МПГУ [5, 6] мы можем считать, что это условие выполнено на поверхности Бъ. В случае граничных условий (2) необходимо вначале продифференцировать по нормали равенство (9), а затем опустить точку наблюдения на

S

0

поверхность £8, воспользовавшись условиями (2). В результате получим следующее интегральное уравнение второго рода:

Ж(г)Дг) + £ jG(r, r)j(r')ia' = /0(г), г

S5, (10)

либо

2

Дг)Дг) - f Г^ ЛгУст': J dndn

S

1 du k dn

г e S8, (11)

либо

Z(s)j(s) -1 fd SolP,5'P'/(s')p'hds' = F2(s), (13) 2 J dndn

где

2п

So(p,z,p',z) = ^ feXPf-—)dV ^ = Ф-Ф'. 2я J kR

kR

(14)

ri \ »о r . ч 1 du. F(s) = u, F2(s) = --—.

k dn

s\ = (n - 0.5)-S^, n = 1,2,...,Nb Ni

(15)

s2 = si + (n - 0.5), n = 1,2,...,N2. (16)

N2

Неизвестную функцию разлагаем по базису из кусочно-постоянных функций xi(s), X2„(s):

j(s) =

X Cnln^ s e [0, sl],

n=1 N 2

(17)

X c«X^ s e [S1, s2]

n=1

соответственно для граничных условий (1) либо (2). В силу принципа продолженных граничных условий в уравнениях (10) и (11) мы полагаем, что у(г) ~ 7(г'^. Зафиксировав какую-либо систему координат, мы получим, что область определения функций Дг)|5 и ./(г)^ одна и та же

(например, в сферической системе координат 0 < 0,0' < п, 0 < ф,ф' < 2п). Отметим, что в отличие от интегральных уравнений, приведенных в работе [6], не возникает множителя 1/2 перед функцией у'(г), так как подынтегральные выражения в (10) и (11) содержат нулевую и вторую производные функции Грина.

Учитывая, что в рассматриваемой задаче отсутствует зависимость волнового поля от угловой координаты, из (10) или (11) можно получить одномерные интегральные уравнения относительно неизвестной функции / вида

s2

2 2

W(s)j(s) + k- jS0(p,z, p', zW)p'hds = Fi(s), (12)

В результате подстановки (17) в (12) или (13) и приравнивания правой и левой частей полученного равенства в точках коллокации получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

^ м2

X+ X= т = 1,2...^ъ 2=1 2=1 /104 N N2 (18)

X+х^=^ т=1,2...N2, 2=1 2=1 в которой

Apq =

^mn

либо

sq+AJ 2

S2qSmnW(sFm) + 2 j S0(pm, zF, p'(s"), z'(s'))

sq -Aq/2

X p'(s)h(s')ds', bF = Fi(sF),

( 19)

sq+Aq/2 2 p p , , ,

pq p 1 Г д2S0(p p'(s'), z'(s'))

Amn = °2q°mnZ (sm) + " I ГТ"! ,

2 J dndn (

sq-Aq/2

X (20)

хр'^щ^', ьт=/2($т),

где р,д = 1,2, Д1 = в^/N1, А2 = ($2 - в^)/N2.

Основной трудностью при численной реализации рассмотренного алгоритма является вычисление матричных элементов СЛАУ (18), а точнее функций £0 и ее производных. Как известно [7], производные функции £0 выражаются через величины

2п

SI =

1*(1 + ikR) 2п j (kR)3

exp(-ikR - ijy)d\\r, (21)

2п

Уравнения (12) и (13) решались численно методом коллокации. Для этого разбивали интервал [0, в2] на два интервала [0, в1] и [в1, в2], где импеданс равен нулю и отличен от нуля соответственно. Далее на каждом интервале выбираем точки

п = X Г(3 - (кЯ) + шя) м-гтч, ( 22)

2п ' (кЯ)5

где } = 0,1. Мы не приводим соотношений для производных функции S0, так как они подробно описаны в [7]. Подынтегральные выражения в (21) и (22) являются быстроменяющимися функциями переменной у в случае, если точка наблюдения и точка "источника" находятся близко друг к другу. Такая ситуация имеет место при вычислении элементов матрицы СЛАУ, расположенных вблизи диагонали. В результате при численной оценке матричных элементов затрачивается очень

S

0

0

0

большое время на вычисление указанных выше интегралов (как видно из (19) и (20), приходится вычислять двойные интегралы). Для ускорения счета мы преобразовали данные интегралы следующим образом. Величины Б-, Б/ и ^1 могут быть записаны в виде

Б/ = Б/ + Б/,

^1 = Б/ + Б/,

б У = Б У + Б«,

где

Б/ = 11/ 2,

<?1 - 1 Г! Т! - 011/2 13/2,

$11 - 11/

1/2

-II/

3/2

31/ 2,

Г =

1

008 /у

тс (а - Ь 008 у)

ёу, / = 0,1,

(23)

(24)

(25)

причем а = к 2(р2 + р'2

гралы Б,, Б ■ и

V = 1/2, 3/2,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»