научная статья по теме РАССЕЯНИЕ СВЕТА МНОГОСЛОЙНЫМИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫМИ ЧАСТИЦАМИ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ Физика

Текст научной статьи на тему «РАССЕЯНИЕ СВЕТА МНОГОСЛОЙНЫМИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫМИ ЧАСТИЦАМИ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2008, том 105, № 2, с. 318-331

ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА

УДК 543.424

РАССЕЯНИЕ СВЕТА МНОГОСЛОЙНЫМИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫМИ ЧАСТИЦАМИ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

© 2008 г. В. Г. Фарафонов, А. А. Винокуров

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения,

Санкт-Петербург, Россия E-mail: alexander.a.vinokurov@gmail.com Поступила в редакцию 28.02.2008 г.

Получено новое решение задачи рассеяния света изолированными многослойными частицами с осевой симметрией. Применены метод разделения переменных (Séparation of Variables Method, SVM) с разложением полей по сферическим волновым функциям и оригинальный подход с разделением полей на осесимметричную и неосесимметричную части и выбором специфических скалярных потенциалов для каждой из них. Особенностью решения является то, что размерность усеченных линейных алгебраических систем, используемых для определения неизвестных коэффициентов разложения полей, не возрастает с увеличением числа слоев. Проведено сравнение областей применимости представленного решения и решения, полученного ранее методом расширенных граничных условий (Extended Boundary Conditions Mehod, EBCM), на примере двух- и трехслойных сфероидальных и чебышевских частиц разной формы и размера. Найдено, что, исключая случай частиц, близких по форме к шарам, описанное SVM-решение предпочтительнее EBCM-решения.

PACS: 42.68.Mj

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассеяние света многослойными частицами представляет большой интерес для моделирования оптических свойств дисперсных сред, содержащих неоднородные рассеиватели и исследуемых в таких областях, как физика атмосферы и океана, биофизика, астрофизика и т.д. К таким задачам можно отнести, например, изучение оптических свойств обводненных аэрозолей [1], исследование взвесей клеток оптическими методами [2], решение проблемы "дефицита углерода" в межзвездной среде [3]. Обычно при решении подобных проблем используются слоистые сферические модельные частицы, для которых существуют эффективные алгоритмы расчета оптических характеристик [4]. Однако реальные частицы имеют несферическую форму, что влечет за собой существенные изменения в общей картине рассеяния.

В настоящее время имеется много строгих и приближенных методов решения проблемы рассеяния света [5-8]. Среди строгих методов самыми быстрыми и точными являются методы, использующие в качестве базиса волновые сферические функции. Как показал сравнительный анализ методов разделения переменных (Separation of Variables Method, SVM), расширенных граничных условий (Extended Boundary Conditions Method, EBCM) и поточечной сшивки (PMM) для однородных несферических частиц [9], каждый

из них имеет свои достоинства и недостатки. В частности, БУМ имеет более широкую область применимости по сравнению с ЕВСМ для чебышевских частиц, а по времени численных расчетов он значительно эффективнее РММ. В силу этого представляет интерес развитие данного метода для многослойных осесимметричных частиц и сравнение его с разработанным ранее методом расширенных граничных условий [10, 11].

В данной работе впервые задача рассеяния света многослойными осесимметричными частицами решается методом разделения переменных. Особенностью решения, представленного в разд. 2, 3 и 4, является то, что бесконечная система линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов разложений скалярных потенциалов решается "с конца", т.е. начиная с условий на границе ядра. Такой подход в отличие от известных ранее подходов позволяет не увеличивать размерность усеченных систем для определения коэффициентов разложений при росте количества слоев частицы. Результаты численного моделирования для многослойных частиц разных видов (софо-кусные и несофокусные сфероиды, чебышевские частицы с подобными поверхностями раздела слоев), приведенные в разд. 6, показали, что предлагаемый подход предпочтительнее известного ранее ЕВСМ.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим однократное рассеяние электромагнитного излучения многослойной частицей, ядро и оболочки которой имеют общую ось симметрии. Будем обозначать область вне частицы индексом 1, область внутри внешнего слоя частицы - индексом 2 и так далее, область внутри п-го слоя частицы - индексом (п + 1). Зададим сферическую систему координат (г, б, ф) так, чтобы ось г совпадала с осью симметрии рассеивающей частицы. Тогда внешняя поверхность ^ для г'-го слоя частицы задается уравнением

r = r¡(9), i = 1, ..., n.

(1)

E( i) = Ef) + e2° ,

h (i) = h( i) + h2° ,

(2)

n( i) „(i)

где E1 , H1 регулярны в начале координат, а

Ai)

r( i)

Е1. > Тт11}

2 , Н2 удовлетворяют условию излучения на

бесконечности. Во внешней среде такими слагаемыми могут быть выбраны падающее и рассеянное поля, а в ядре второе слагаемое равно 0, т.е.

e( 1) = E"

E(1) = e sca

E (n + 1) = e (n + 1)

h( 1) = h

H( 1) lJsca 2 = H ,

H (n +1) = н(п + 1)

E

(n +1)

2

= 0, H

(n + 1)

2

= 0.

(3)

(4)

(5)

(6)

Задача рассеяния заключается в решении уравнений Максвелла для каждой области (г = 1, ..., п + 1)

(E( °(r) + E2i)( r)) = = -(1/8,1 o )Vx( H( i)( r) + H2 i)( r)),

(7)

(H( °(r) + H2i)( r)) = = (1/i>,.ko )Vx( E(i)( r) + E2 °(r))

с граничными условиями на границах разделов сред

(E(°(r) + E2i)(r)) x n.(r) =

= (e(. + 1)(r) + E2. + 1)(r))x n..(r)

(H(°(r) + H2i)(r)) x n.(r) = = (h(. + 1)(r) + H2. + 1)(r))x n..(r)

(9)

r e S,

Векторы напряженности электрического и магнитного полей в г-й области обозначим как Е(,),

И(,), волновые числа - к = к0, здесь к0 = ю/с -волновое число в вакууме, £г, - электрическая и магнитная проницаемости, ю - частота излучения, с - скорость света в вакууме.

Поля Е(,), Н(,) представляются в виде сумм (г'=1, ..., п + 1)

где П; (г) - внешняя нормаль к поверхности ^ соответствующего слоя частицы. Кроме того, вторые слагаемые решений уравнений Максвелла должны удовлетворять условию излучения Зом-мерфельда на бесконечности

lim r (Эе2°( r) / dr - ikiE2i)( r)) = 0,

r(0

(10)

для H2 (r) справедливо такое же соотношение.

Пусть падающее излучение есть произвольно поляризованная плоская волна, распространяющаяся под углом а к оси симметрии частицы (ось z в декартовой системе координат). Такое излучение может быть представлено в виде линейной комбинации волн двух типов:

а) TE-мода

Einc = -iy exp [ ik1 (x sin а + z cos а)], (ц) Hinc = (ix cos а - iz sin а) exp [ ik1( x sin а + z cos а)];

б) TM-мода

Einc = (ix cos а - iz sin а) exp [ ik1( x sin а + z cos а)], Hinc = iy exp [ ik1 (x sin а + z cos а)], (12)

где (ix, iy, iz) - орты декартовой системы (x, y, z).

В силу коммутативности оператора T, соответствующего задаче рассеяния, и оператора L = Э/Эф задачу рассеяния можно решать независимо для каждого слагаемого разложения поля в ряд Фурье по азимутальному углу ф [8]. Представим поля в виде сумм

Es = Es, А + Es, N,

тт(0 _ тт(i) TT(i)

ns s, А + ns, N,

i = 1, ..., n +1, s =1, 2,

(13)

где Е5, а , И А не зависят от азимутального угла

т->(') тт(')

ф, а усреднение Е5, ы и И ы по этому углу дает нуль. Далее задача рассеяния решается раздельно

для первых слагаемых (eS'A , HS A) и для вторых

r( i)

(8) слагаемых (Е^, И^), при этом используются специальным образом выбранные скалярные по-

r( i)

r — ^

тенциалы. Будем называть одну часть задачи осе-симметричной, вторую - неосесимметричной.

3. РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ

Р(2)

q2 °

П(0

al, 2

X""1 l 2 (1) 1

= £ (i h (k¡r)Pt (cos9)cosф,

— b (о

l = 1 bl, 2

Л1)

где ]I(г), (г) - сферические функции Бесселя и

Для осесимметричных частей вводятся потен- Ганкеля 1-го рода, р1 (С08 б) - присоединенные циалы функции Лежандра 1-го рода (т = 1).

Отметим, что выбор сферических функций (14) Бесселя для падающего излучения и излучения внутри частицы с индексом 1 обусловлен конеч-где £А0ф и #А°ф - ф-компоненты векторов Е^ ) и ностью полей в начале координат. В то время как (;) выбор функций Ганкеля 1-го рода для потенциа-

Остальные компоненты электр°магнитных лов рассеянного излучения и излучения внутри

(i) АО (■) т-т(')

p = ЕАф cos ф, q = ИАф cos ф,

H

полей выфажаются через них

H (i) = 1 d( sin 0 E^J

A'г щ ¡k 0 k ¡r sin 0

Э9

И

(i) A, 9

-1 d( r eA, ф ) ieik0 kir dr

частицы с индексом 2 обусловлен выполнением условия излучения на бесконечности.

Потенциал для падающего излучения в случае волны ТЕ-типа записывается следующим обра-(15) зом:

Е (i) = -1 д( sin 9 И?ф) A'r i ^ik0 kir sin 9

Э9

E( o =

EA,9 =

1 d( гИА°ф)

(16)

i £,k 0 kir

Используя уравнения Максвелла, можно показать, что скалярные потенциалы удовлетворяют скалярным уравнениям Гельмгольца

A p( 0 + kf Р0 = 0, Aq(0 + k2q( 0 = 0.

В каждом слое потенциалы, как и поля, представляются в виде сумм

(i) (i) (i) (i) (i) (i) p = p1 + p2 , q = q1 + q2 ,

i = 1, ..., n +1.

(18)

(n +1) (n +1) (n + 1) (n +1)

p = p1 , q = q1 ,

(n +1) n (n + 1) n

p2 =0, q2 = 0.

p1

(i)

~ П (i) al, 1

q1

(i)

l, 1 1 = £ ('0k1r)Pl1(cos9)

— b (i) i = 1 bl, 1

cos ф,

(21)

,(1)

p1

_1_ 2 n

-2n

J( Einc( r), 1ф) йф

cos ф.

(23)

Учитывая разложение скалярной плоской волны в ряд по волновым сферическим функциям [12]

ikr

= ££

.l ( 21 +1 ) nm, ,

i —cosтфPn (cos a) x l (l +1) (24)

m = 01 = m

x P"m (cos 9) jl (kr),

получим выражения для коэффициентов разло-(17) жений (21) для ТЕ-моды

a[V = p1 (Cos a), &<? = 0. (25)

В случае TM-моды аналогично найдем

= 0, bí,1/ = il^P1 (cos a).

(26)

Очевидно, что потенциалы р^, q1') определены

(0 (0

в начале координат, а р2 , q2 удовлетворяют условию излучения на бесконечности, при этом

(19)

(20)

Граничные условия (9) для потенциалов q имеют вид

( i ) (0 ( " + 1) ( " + 1) qi + q2 = q1 + q2 ,

Э(q((i) + q2°) в, Э(q1' + " + q2 + 1)

(i +1) , J, + 1),

д n

'-i +1

dn

+

Потенциалы для каждого слоя удовлетворяют соответствующим волновым уравнениям (17), поэтому их можно представить в виде разложений по сферическим функциям

2

, . в, Л 1 - r9 /rctg 9f (i +1) (i + 1)ч

+ 1в-1-1 J лг—2 (q1 +q2 >,

r +r

9

, (27)

= r¡(9)

где г 6 - производная функции г(6) по сферическо-

му углу 6. Условия для потенциалов р полу

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком