ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2008, том 105, № 2, с. 318-331
ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА
УДК 543.424
РАССЕЯНИЕ СВЕТА МНОГОСЛОЙНЫМИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫМИ ЧАСТИЦАМИ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
© 2008 г. В. Г. Фарафонов, А. А. Винокуров
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения,
Санкт-Петербург, Россия E-mail: alexander.a.vinokurov@gmail.com Поступила в редакцию 28.02.2008 г.
Получено новое решение задачи рассеяния света изолированными многослойными частицами с осевой симметрией. Применены метод разделения переменных (Séparation of Variables Method, SVM) с разложением полей по сферическим волновым функциям и оригинальный подход с разделением полей на осесимметричную и неосесимметричную части и выбором специфических скалярных потенциалов для каждой из них. Особенностью решения является то, что размерность усеченных линейных алгебраических систем, используемых для определения неизвестных коэффициентов разложения полей, не возрастает с увеличением числа слоев. Проведено сравнение областей применимости представленного решения и решения, полученного ранее методом расширенных граничных условий (Extended Boundary Conditions Mehod, EBCM), на примере двух- и трехслойных сфероидальных и чебышевских частиц разной формы и размера. Найдено, что, исключая случай частиц, близких по форме к шарам, описанное SVM-решение предпочтительнее EBCM-решения.
PACS: 42.68.Mj
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассеяние света многослойными частицами представляет большой интерес для моделирования оптических свойств дисперсных сред, содержащих неоднородные рассеиватели и исследуемых в таких областях, как физика атмосферы и океана, биофизика, астрофизика и т.д. К таким задачам можно отнести, например, изучение оптических свойств обводненных аэрозолей [1], исследование взвесей клеток оптическими методами [2], решение проблемы "дефицита углерода" в межзвездной среде [3]. Обычно при решении подобных проблем используются слоистые сферические модельные частицы, для которых существуют эффективные алгоритмы расчета оптических характеристик [4]. Однако реальные частицы имеют несферическую форму, что влечет за собой существенные изменения в общей картине рассеяния.
В настоящее время имеется много строгих и приближенных методов решения проблемы рассеяния света [5-8]. Среди строгих методов самыми быстрыми и точными являются методы, использующие в качестве базиса волновые сферические функции. Как показал сравнительный анализ методов разделения переменных (Separation of Variables Method, SVM), расширенных граничных условий (Extended Boundary Conditions Method, EBCM) и поточечной сшивки (PMM) для однородных несферических частиц [9], каждый
из них имеет свои достоинства и недостатки. В частности, БУМ имеет более широкую область применимости по сравнению с ЕВСМ для чебышевских частиц, а по времени численных расчетов он значительно эффективнее РММ. В силу этого представляет интерес развитие данного метода для многослойных осесимметричных частиц и сравнение его с разработанным ранее методом расширенных граничных условий [10, 11].
В данной работе впервые задача рассеяния света многослойными осесимметричными частицами решается методом разделения переменных. Особенностью решения, представленного в разд. 2, 3 и 4, является то, что бесконечная система линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов разложений скалярных потенциалов решается "с конца", т.е. начиная с условий на границе ядра. Такой подход в отличие от известных ранее подходов позволяет не увеличивать размерность усеченных систем для определения коэффициентов разложений при росте количества слоев частицы. Результаты численного моделирования для многослойных частиц разных видов (софо-кусные и несофокусные сфероиды, чебышевские частицы с подобными поверхностями раздела слоев), приведенные в разд. 6, показали, что предлагаемый подход предпочтительнее известного ранее ЕВСМ.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим однократное рассеяние электромагнитного излучения многослойной частицей, ядро и оболочки которой имеют общую ось симметрии. Будем обозначать область вне частицы индексом 1, область внутри внешнего слоя частицы - индексом 2 и так далее, область внутри п-го слоя частицы - индексом (п + 1). Зададим сферическую систему координат (г, б, ф) так, чтобы ось г совпадала с осью симметрии рассеивающей частицы. Тогда внешняя поверхность ^ для г'-го слоя частицы задается уравнением
r = r¡(9), i = 1, ..., n.
(1)
E( i) = Ef) + e2° ,
h (i) = h( i) + h2° ,
(2)
n( i) „(i)
где E1 , H1 регулярны в начале координат, а
Ai)
r( i)
Е1. > Тт11}
2 , Н2 удовлетворяют условию излучения на
бесконечности. Во внешней среде такими слагаемыми могут быть выбраны падающее и рассеянное поля, а в ядре второе слагаемое равно 0, т.е.
e( 1) = E"
E(1) = e sca
E (n + 1) = e (n + 1)
h( 1) = h
H( 1) lJsca 2 = H ,
H (n +1) = н(п + 1)
E
(n +1)
2
= 0, H
(n + 1)
2
= 0.
(3)
(4)
(5)
(6)
Задача рассеяния заключается в решении уравнений Максвелла для каждой области (г = 1, ..., п + 1)
(E( °(r) + E2i)( r)) = = -(1/8,1 o )Vx( H( i)( r) + H2 i)( r)),
(7)
(H( °(r) + H2i)( r)) = = (1/i>,.ko )Vx( E(i)( r) + E2 °(r))
с граничными условиями на границах разделов сред
(E(°(r) + E2i)(r)) x n.(r) =
= (e(. + 1)(r) + E2. + 1)(r))x n..(r)
(H(°(r) + H2i)(r)) x n.(r) = = (h(. + 1)(r) + H2. + 1)(r))x n..(r)
(9)
r e S,
Векторы напряженности электрического и магнитного полей в г-й области обозначим как Е(,),
И(,), волновые числа - к = к0, здесь к0 = ю/с -волновое число в вакууме, £г, - электрическая и магнитная проницаемости, ю - частота излучения, с - скорость света в вакууме.
Поля Е(,), Н(,) представляются в виде сумм (г'=1, ..., п + 1)
где П; (г) - внешняя нормаль к поверхности ^ соответствующего слоя частицы. Кроме того, вторые слагаемые решений уравнений Максвелла должны удовлетворять условию излучения Зом-мерфельда на бесконечности
lim r (Эе2°( r) / dr - ikiE2i)( r)) = 0,
r(0
(10)
для H2 (r) справедливо такое же соотношение.
Пусть падающее излучение есть произвольно поляризованная плоская волна, распространяющаяся под углом а к оси симметрии частицы (ось z в декартовой системе координат). Такое излучение может быть представлено в виде линейной комбинации волн двух типов:
а) TE-мода
Einc = -iy exp [ ik1 (x sin а + z cos а)], (ц) Hinc = (ix cos а - iz sin а) exp [ ik1( x sin а + z cos а)];
б) TM-мода
Einc = (ix cos а - iz sin а) exp [ ik1( x sin а + z cos а)], Hinc = iy exp [ ik1 (x sin а + z cos а)], (12)
где (ix, iy, iz) - орты декартовой системы (x, y, z).
В силу коммутативности оператора T, соответствующего задаче рассеяния, и оператора L = Э/Эф задачу рассеяния можно решать независимо для каждого слагаемого разложения поля в ряд Фурье по азимутальному углу ф [8]. Представим поля в виде сумм
Es = Es, А + Es, N,
тт(0 _ тт(i) TT(i)
ns s, А + ns, N,
i = 1, ..., n +1, s =1, 2,
(13)
где Е5, а , И А не зависят от азимутального угла
т->(') тт(')
ф, а усреднение Е5, ы и И ы по этому углу дает нуль. Далее задача рассеяния решается раздельно
для первых слагаемых (eS'A , HS A) и для вторых
r( i)
(8) слагаемых (Е^, И^), при этом используются специальным образом выбранные скалярные по-
r( i)
r — ^
тенциалы. Будем называть одну часть задачи осе-симметричной, вторую - неосесимметричной.
3. РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ
Р(2)
q2 °
П(0
al, 2
X""1 l 2 (1) 1
= £ (i h (k¡r)Pt (cos9)cosф,
— b (о
l = 1 bl, 2
Л1)
где ]I(г), (г) - сферические функции Бесселя и
Для осесимметричных частей вводятся потен- Ганкеля 1-го рода, р1 (С08 б) - присоединенные циалы функции Лежандра 1-го рода (т = 1).
Отметим, что выбор сферических функций (14) Бесселя для падающего излучения и излучения внутри частицы с индексом 1 обусловлен конеч-где £А0ф и #А°ф - ф-компоненты векторов Е^ ) и ностью полей в начале координат. В то время как (;) выбор функций Ганкеля 1-го рода для потенциа-
Остальные компоненты электр°магнитных лов рассеянного излучения и излучения внутри
(i) АО (■) т-т(')
p = ЕАф cos ф, q = ИАф cos ф,
H
полей выфажаются через них
H (i) = 1 d( sin 0 E^J
A'г щ ¡k 0 k ¡r sin 0
Э9
И
(i) A, 9
-1 d( r eA, ф ) ieik0 kir dr
частицы с индексом 2 обусловлен выполнением условия излучения на бесконечности.
Потенциал для падающего излучения в случае волны ТЕ-типа записывается следующим обра-(15) зом:
Е (i) = -1 д( sin 9 И?ф) A'r i ^ik0 kir sin 9
Э9
E( o =
EA,9 =
1 d( гИА°ф)
(16)
i £,k 0 kir
Используя уравнения Максвелла, можно показать, что скалярные потенциалы удовлетворяют скалярным уравнениям Гельмгольца
A p( 0 + kf Р0 = 0, Aq(0 + k2q( 0 = 0.
В каждом слое потенциалы, как и поля, представляются в виде сумм
(i) (i) (i) (i) (i) (i) p = p1 + p2 , q = q1 + q2 ,
i = 1, ..., n +1.
(18)
(n +1) (n +1) (n + 1) (n +1)
p = p1 , q = q1 ,
(n +1) n (n + 1) n
p2 =0, q2 = 0.
p1
(i)
~ П (i) al, 1
q1
(i)
l, 1 1 = £ ('0k1r)Pl1(cos9)
— b (i) i = 1 bl, 1
cos ф,
(21)
,(1)
p1
_1_ 2 n
-2n
J( Einc( r), 1ф) йф
cos ф.
(23)
Учитывая разложение скалярной плоской волны в ряд по волновым сферическим функциям [12]
ikr
= ££
.l ( 21 +1 ) nm, ,
i —cosтфPn (cos a) x l (l +1) (24)
m = 01 = m
x P"m (cos 9) jl (kr),
получим выражения для коэффициентов разло-(17) жений (21) для ТЕ-моды
a[V = p1 (Cos a), &<? = 0. (25)
В случае TM-моды аналогично найдем
= 0, bí,1/ = il^P1 (cos a).
(26)
Очевидно, что потенциалы р^, q1') определены
(0 (0
в начале координат, а р2 , q2 удовлетворяют условию излучения на бесконечности, при этом
(19)
(20)
Граничные условия (9) для потенциалов q имеют вид
( i ) (0 ( " + 1) ( " + 1) qi + q2 = q1 + q2 ,
Э(q((i) + q2°) в, Э(q1' + " + q2 + 1)
(i +1) , J, + 1),
д n
'-i +1
dn
+
Потенциалы для каждого слоя удовлетворяют соответствующим волновым уравнениям (17), поэтому их можно представить в виде разложений по сферическим функциям
2
, . в, Л 1 - r9 /rctg 9f (i +1) (i + 1)ч
+ 1в-1-1 J лг—2 (q1 +q2 >,
r +r
9
, (27)
= r¡(9)
где г 6 - производная функции г(6) по сферическо-
му углу 6. Условия для потенциалов р полу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.