ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2010, том 109, № 3, с. 476-487
ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА
УДК 535.36
РАССЕЯНИЕ СВЕТА НЕСФЕРИЧЕСКИМИ ЧАСТИЦАМИ В БЛИЖНЕМ И ДАЛЬНЕЙ ЗОНАХ: ПРИМЕНИМОСТЬ МЕТОДОВ СО СФЕРИЧЕСКИМ БАЗИСОМ
© 2010 г. В. Г. Фарафонов*, В. Б. Ильин******, А. А. Винокуров*,**
* Государственный университет аэрокосмического приборостроения, 190000 Санкт-Петербург, Россия ** Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, 196140Санкт-Петербург, Россия *** Санкт-Петербургский государственный университет, 199034 Санкт-Петербург, Россия
E-mail: ilin55@yandex.ru Поступила в редакцию 06.02.2010 г.
С единых позиций рассмотрены методы разделения переменных, расширенных граничных условий и поточечной сшивки для решения задачи рассеяния света несферическими частицами. Показаны их взаимосвязи и эквивалентность при выполнении условия математической корректности (гипотезы Релея). Анализ, обсуждение и сравнение областей применимости методов в ближней и дальней зонах проведены как с аналитической точки зрения с опорой на аналитические исследования, так и с практической, базирующейся на численных расчетах.
1. ВВЕДЕНИЕ
Эффекты рассеяния электромагнитного излучения малыми частицами играют важную роль при рассмотрении различных прикладных вопросов в физике атмосферы и океана, астрофизике, радиофизике, биофизике, экологии, медицине и многих других областях. В настоящее время данная проблема наиболее часто исследуется с помощью методов, использующих в качестве базиса для разложения полей волновые сферические функции [1—3]. Достоинства этих методов, в том числе точность и быстродействие, особенно ощутимы для частиц простых форм и структуры, в частности однородных. Однако взаимосвязи этих методов и области их применимости в ближней и дальней зонах с теоретической и практической точек зрения до сих пор не были до конца выяснены.
В данной работе рассматриваются три метода решения задачи рассеяния света несферическими частицами, а именно метод разделения переменных (Séparation of Variables Method, SVM), метод расширенных граничных условий (Extended Boundary Condition Method, EBCM) и метод поточечной сшивки (Point-Matching Method, PMM). Эти методы используют одни и те же разложения полей по сферическим волновым функциям и одинаковые формулы для расчета характеристик рассеянного излучения, однако до сих пор данные методы существовали каждый сам по себе. В разд. 2, 3 рассмотрение методов проводится в рамках единого подхода, использующего специально выбранные скалярные потенциалы [3]. Взаимосвязи методов и их эквивалентность анализируются в разд. 4. Результаты теоретических исследований и численного моделирования об-
суждаются в разд. 5. Окончательные выводы представлены в заключении.
2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
Для осесимметричных рассеивателей декартова система координат (х, у, г) вводится таким образом, чтобы ось г совпадала с осью симметрии частицы. В этом случае уравнение ее поверхности записывается в сферической системе координат (г,0,ф), связанной с декартовой, следующим образом:
г = г(9), (1)
при этом частицы должны быть звездными, т.е. радиус-вектор, проведенный в любую точку поверхности, по пути не должен ее пересекать.
Обозначим известное поле излучения, падаю-
17 (0) ц(0)
щее на частицу, как Е , Н , неизвестное поле рассеянного излучения (вне частицы) как Е(1), Н(1) и поле излучения внутри частицы как Е(2), Н(2). Будем считать, что среда вне частицы характеризуется диэлектрической проницаемостью е1 и магнитной восприимчивостью при этом
волновое число к1 = к0^ б1ц 1, где к0 = ю/с — волновое число в вакууме, ю — частота излучения, с — скорость света. Среда внутри частицы характеризуется параметрами б 2, ц 2 и к2 = к0^ б 2ц 2. В дальнейшем считаем, что = ц 2 = 1 и б1 = 1, при этом к = к.
Произвольно поляризованная плоская волна, падающая под углом а к оси вращения частицы,
может быть представлена в виде суперпозиции волн двух типов (TE- и TM-моды):
а) волна TE-типа
Eln = -iy exp[/k(xsin a + zcos a) (2)
б) волна TM-типа
Hln = i y exp [/k (x sin a + z cos a)], (3)
где (ix, i iz) — орты декартовой системы координат.
Постановка задачи рассеяния включает в себя три пункта. Во-первых, рассеянное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла вне частицы, а внутреннее поле удовлетворяет этим уравнениям внутри частицы. Во-вторых, на поверхности частицы должны выполняться граничные условия — непрерывность тангенциальных составляющих электромагнитных полей. Наконец, в-третьих, должно быть справедливо условие излучения на бесконечности — рассеянное поле должно представлять собой расходящуюся волну.
Первая особенность нашего подхода состоит в том, что поля падающего, рассеянного и внутреннего излучения представляются в виде сумм
E — E A + E n, H — H A + H
N,
(4)
где ЕА, На не зависят от азимутального угла ф, а усреднение Е№ Н^ по этому углу дает нуль. Исходная задача распадается на две — осесиммет-ричную задачу для определения полей с индексом А и неосесимметричную задачу для полей с индексом N. Независимость этих задач друг от друга следует из коммутативности оператора = д/дф и оператора Т, соответствующего проблеме рассеяния, [3]. Более того, из этого факта также следует разделение относительно переменной ф, т.е. задача рассеяния решается независимо для каждого слагаемого разложений векторов Е и Н в ряд Фурье по азимутальному углу ф.
Вторая особенность нашего подхода заключается в использовании скалярных потенциалов, специальным образом выбранных для каждой из частей. В осесимметричной задаче независимость полей от азимутального угла позволяет ввести удобные скалярные потенциалы
Р = ea,vcos ф, q = HA,„ cos ф,
(5)
где Ha,V
— ф-компоненты векторов ЕА, На. Другие компоненты полей ЕА, На выражаются через азимутальные составляющие ЕА№ Низ уравнений Максвелла. Как следует из дальнейшего, для ТЕ-моды можно использовать лишь потенциал р, а для ТМ-моды — только потенциал д. Таким образом, для осесимметричных частей полей удается свести решение векторной проблемы рассеяния к решению скалярной задачи.
В неосесимметричной задаче электромагнитные поля определяются через два потенциала — г -компонент (электрического (е) или магнитного (т)) вектора Герца и = П г и потенциал Дебая V = П г/г: а) для ТЕ-моды
Hn =Vx (Uei z + Vr), b) для TM-моды
E N = V X (UJ z + Vmr).
(6)
(7)
Отметим, что потенциалы и и V применяются при решении проблемы рассеяния света бесконечным цилиндром и шаром (теория Ми) соответственно.
Скалярные потенциалы р, д и и, V удовлетворяют скалярному уравнению Гельмгольца
Ду + к у = 0.
(8)
Потенциалы p и q могут быть представлены разложениями по сферическим функциям с индексом m = 1, поскольку зависимость этих потенциалов от азимутального угла ф задается в явном виде как cosф (i = 0, 1, 2),
п« ^ а (/)
Р va ,„«/
О = 11 ^ r)'
q(/)
(9)
а разложения потенциалов и, Vне содержат нулевого по индексу т слагаемого, поскольку усреднение по азимутальному углу дает нуль,
77« "" а(/)
Uи-л r).
m=l l=m m
(10)
Здесь
A) = h¡1)(kir)Plm(cos 0)cos тф, V m2)(r) = jl(k2r)P¡m(cos 0)cos тф, (11)
Pf(cos 0) =
_ l(2l + l)(l - m)!
(Trmff'(cos0).
где ] (кг), Л;(1)(кг) — сферические функции Бесселя и функции Ганкеля 1-го рода соответственно,
Plm(cos 0) — присоединенные функции Лежандра 1-го рода, Plm(cos 0) — соответствующие нормированные функции, ут0 получаются из у^ заменой к2 на к1.
В случае волны ТЕ-типа отличны от нуля потенциалы р, при этом коэффициенты разложений имеют вид
а/0) = -2/lP/(cosa), b¡0) = 0,
л -l-l
am =7^-Pim(cosa), b% = 0.
k1 sin a
Для волны ТМ-типа коэффициенты для осесим-метричной части меняются местами и знаком (отличны от нуля только потенциалы q), а коэффициенты для неосесимметричной части — только знаком.
В дальнейшем потребуется разложение функции Грина скалярного уравнения Гельмгольца для свободного пространства
G(r, г') =
e
ik1 г-г'|
4п|г - г'|
(13)
гральной , в которой расширенные граничные условия записываются в виде интегральных уравнений для поверхности частицы. Ниже граничные условия формулируются в терминах скалярных потенциалов подходящим образом для каждого из методов.
В дифференциальной форме для потенциала q граничные условия могут быть записаны следующим образом:
которое хорошо известно [4].
Характеристики рассеянного излучения, в частности сечения ослабления и рассеяния, зависят от коэффициентов разложений потенциалов рассеянного излучения. Таким образом, чтобы решить проблему рассеяния, необходимо лишь найти из граничных условий эти коэффициенты, поскольку остальные условия постановки задачи выполняются за счет описанного выше представления электромагнитных полей.
Эти условия могут быть заданы в двух формах: "дифференциальной", учитывающей непрерывность тангенциальных компонент электромагнитного поля на поверхности частицы, и "инте-
q(0) + q(1)
q
(2)
d(q
(0) + q(1)) _ 1 dq
dn
(2) s dn
i-1
I
2 , '2 r + ra
1 - ctg0 r
J2)
(14)
re5
где г0' = д г / 59, д / д п — производная по нормали к поверхности частицы. В такой форме граничные условия используются при применении 8УМ.
Для ЕВСМ интегральная форма граничных условий для q имеет вид
\\q В)(г') ^ -
1 dq (2)(г') 6 dn
- 1 -
1
1 --
a1 ctg0'
r ')2 + [(r ')'е] 6 D,
q 11'(г), г 6 R3\D.
q(V)
G(r, г'П ds' =
i-q (0V)
(15)
S
Граничные условия для потенциала p аналогичны — следует лишь заменить q и е на p и ц соответственно.
В рамках РММ следует рассматривать невязку при выполнении граничных условий, а именно
s: I (0) , (1)
о = q + q - q
(1) „(2)1
|2
+
II (0) , (1) 1 (2)
д \ q + q -- q
dn
+
1 -1 г
i
2 , ,2 r + ra
1 ctg0 r
,(2)
(16)
Д(а
(1), a(2)) = ]i
8 sin 9d9
min.
(17)
Обычно выполнение граничных условий и соответственно невязку (16) рассматривают как сумму невязок 5 в M точках (M > N, где N — число учитываемых в разложениях слагаемых) на поверхности рассеивателя. Наш анализ [5] показал, что лучше рассматривать интегральную невязку и определять неизвестные коэффициенты разложений из требования ее минимума,
При численном интегрировании может быть использован метод Гаусса
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.