ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 74. Вып. 4, 2010
УДК 539.3:534.26
© 2010 г. Н. В. Ларин, Л. А. Толоконников
РАССЕЯНИЕ ЗВУКА
НЕОДНОРОДНЫМ ТЕРМОУПРУГИМ СФЕРИЧЕСКИМ СЛОЕМ
Рассматривается дифракция звука на радиально-слоистой изотропной термоупругой сферической оболочке. Система уравнений для малых возмущений полого термоупругого шара сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, краевая задача для которой решена методом сплайн-коллокации. Получены выражения, описывающие волновые поля вне сферического слоя. Представлены результаты расчетов частотной и угловой зависимостей амплитуды рассеянного звукового поля в дальней зоне.
Задача о рассеянии звука неоднородной изотропной упругой сферой решена ранее [1]. Исследовано рассеяние плоской звуковой волны неоднородным трансверсально-изотропным упругим сферическим слоем [2]. В указанных работах тепловые процессы в упругих неоднородных телах не учитывались.
1. Постановка задачи. Рассмотрим неоднородный изотропный термоупругий шаровой слой с внешним радиусом r и внутренним r2, имеющий в невозмущенном состоянии постоянную температуру T0. Источники тепла в сферическом слое отсутствуют. Сферическая система координат r, 0, ф выбрана таким образом, что ее начало совпадает с центром шара. Модули упругости, температурный коэффициент линейного расширения и коэффициент теплопроводности материала слоя описываются дифференцируемыми функциями координаты r; плотность материала слоя и его объемная теплоемкость — непрерывными функциями координаты r. Полагаем, что жидкость, окружающая сферическую оболочку, и жидкость в ее полости невязкие, теплопроводные, однородные и имеют температуру T0, плотности р{ и р2 и скорости звука q и c2 соответственно.
Пусть из внешнего пространства на термоупругий сферический слой падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой равен Wi = Afexp[i(kпг -Ш)], где A — амплитуда падающей волны, kn — волновой вектор, г — радиус — вектор, ш — круговая частота. Временной множитель exp(-mi) в дальнейшем опускаем. Без ограничения общности полагаем, что волна распространяется в направлении 0 = 0.
В сферической системе координат потенциал скоростей падающей волны представим в виде [3]
^ i = X 4nJn (knr)Pn (cos 0); Пп = A (2n + 1)in (1.1)
n=0
где кц — волновое число звуковых волн в окружающей жидкости, jn (х) — сферическая функция Бесселя, Pn (х) — многочлен Лежандра степени п.
Определим отраженные от сферы и возбужденные в полости волны, а также найдем поля смещений и температуры в термоупругом сферическом слое.
2. Уравнения волновых полей. Ввиду осевой симметрии задачи и свойств материала слоя возбуждаемые волновые поля не будут зависеть от азимутальной координаты ф. Малые возмущения изотропного термоупругого сферического слоя описываются общими уравнениями движения сплошной среды [4] в сферической системе координат
darr , 1 дагв , 2
-f1- + + -(2arr - G00 - + o,-eCtg8) = -рю ur dr r 58 r
^ +1 + %Oee - ow)ctg8 + З^е] = -рю2и0 or r 58 r
и уравнением притока тепла [5]
d2 dr
(2.1)
XT + (xfT + ^ + LT + iraydivu = -mcvT; L = ^ + ctg^-^. T ~ 2 [ T r I dr r2 ' v 5e2 6 59
(.2)
Компоненты тензора напряжений агг, Оее, — в сферических координатах связаны с компонентами тензора деформаций егг, Едд, — и изменением температуры Т возмущенного слоя соотношениями Дюамеля—Неймана [5] скк = 2цекк + ХШуи - вТ, к = г,0,ф, сг0 = 2цегв
= dU, £00 = 1 (df + ur)' £ ФФ = 1 (ur + uectg0)' £ re = 2
И dHr - J + due
А 59
dr _
(2.3)
divu = £ rr + £00 + £„
Здесь ur и u0 — радиальная и тангенциальная составляющие вектора смещения u, р = p(r) — плотность материала слоя, X = X (r) и ц = ц(г) — модули упругости материала слоя, в = p(r) = 3aTK, aT = aT (r) — температурный коэффициент линейного расширения материала слоя, K = Х + (2/3) ц — изотермический модуль объемного расширения, XT =XT (r) — коэффициент теплопроводности, си = си (r) — объемная теплоемкость материала слоя, у = T0p. Штрихом обозначена производная по координате r.
Для разделения переменных в системе уравнений (2.1), (2.2) введем вспомогательную функцию u2 [6, 7], такую, что
u0 = 5u2/59. (2.4)
С использованием выражений (2.3) и (2.4) уравнения (2.1) и (2.2) можно привести к виду
(Я. + 2,)4 Л+ 2,4 \Э+ - * l + рЮ2
V 'dr2 I r )dr r r2 r2
ur +
+1
(Я. ++ -ШН'
dr r .
ч д , 2(X + 2u) dr r
Lu2 -
dur 59
pf- + P'
. dr
T = 0
dr
XT & + (XT + 2XT) d + L + mcv dr \ r /dr r
+ (+-
•+ 1) + +
r ! \dr r.
L -
2 i + P® sin 9v
dui-вдГ = 0
59 r 59
T + ;'юу
dr r.
ur + ^^ Lu2 = 0 r
(2.5)
(2.6) (2.7)
Будем искать функции Ur, «2 и T в виде разложений по многочленам Лежандра ( (r,e),«2 (r ,0),T (г,0)) = X ( (r),Um (r),U3n (r))Pn (cos 0) (2.8)
Введем безразмерные величины
„* - r tt* - Uin тт* - U 2n tt* - U 3n i * _ r > U in - TT' U 2n -~rr > U 3n - ~ZT' X =
U 2
U 3
H
H
H
x_
x 0
,,* _ P „* _ p „* _ aT X * = XT c* _ cv Ц --> p -— > aT , XT - 7"q" ' cu -_Q
XT
Ц о Ро ат лг
Здесь Н = (г1 - г2) — толщина сферического слоя, верхним или нижним нулевым индексом помечены характерные величины. Звездочку в дальнейшем опускаем.
Подставим ряды (2.8) в уравнения (2.5)—(2.7). Используя дифференциальные уравнения для многочленов Лежандра степени п, для присоединенных многочленов Лежандра степени п порядка единицы и, учитывая условие ортогональности многочленов, получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в безразмерных величинах относительно функций иап (а = 1,2,3) для каждого значения п = 0,1,2,...
А и''+ В и'+ СИ = 0
где
и = (ищ,и2п,изп)Т, А = Ш^Ц^азз}. В = ¡¿ар||, С = ||с вр||; а ,р = 1,2,3
а11 = 1х + 2ц, а22 = М- > а33 = 'хт
¿11 = /X' + 2ц'+ 2 (1Х + 2 , ¿12 = -п (/Х + ц), ¿13 =-/1р г г
¿21 = + ¿22 = Ц' + —, ¿23 = ¿32 = 0, ¿31 = -в, ¿33 = Х'т + —
(2.9)
c11 = ---12[2(IX + 2ц) + п1ц] + q0p, c12 = -n /X'- 1(1Х + 3ц)
r r
, ci3 = -/iP'
c21 =■
ц'+ 2(IX + 2ц) , c-2 = -Ц - n(IX + 2ц) + qоp, c-з = -/i
r r
= -Л
r
2sB sB XT
c31 = —, c32 = —ni , c33 = -ni-T + qicu
r r r
e = 3aT (&+ 2ц), / = ^, /i = a0To, s = iюН T ^0
\ 3 ! ц 0 X0
„2 2 „2 0
P0H ю .иН c„ /
qo = —-, qi = i 0 u, ni = n(n +1)
Ц0 xt
Штрихом обозначена производная по безразмерной координате г.
Скорость частиц жидкости снаружи (у = 1) и в полости (у = 2) сферической оболочки представим в виде
v у = grad(y . + ФД у = i,2
n=0
0
Потенциалы скоростей звуковых ¥ у и тепловых Фу волн — решения следующих уравнений:
у + к]^ у = 0, ДФу- + кдФ] = 0; у = 1,2
где = ¥ 1 + ^ 5, ¥ 5 — потенциал скоростей отраженной звуковой волны, ку1 и ку2 — волновые числа звуковых и тепловых волн соответственно. При этом
1 2
кА =
-М, - (-Г^М2 + 4ХЩ
Щ
где
Ьу - 2 ^J,
М =
1 -
У],
у У
],1 = 1,2
Щу = ^
ю
У] — отношение удельных теплоемкостей жидкости при постоянных давлении и объеме, х ] — коэффициент температуропроводности жидкости.
Отраженные волны должны удовлетворять условиям излучения на бесконечности, а волны в полости — условию ограниченности, поэтому функции ^, Ф1, Ф2 будем искать в виде
(„У2,Фу) = Е (( (г), А-2п]'п (к21Г),В]п1]п (к]2Г)]^,(С080) , у = 1,2
(2.10)
п=0
где кп (х) — сферическая функция Ганкеля первого рода порядка п, цп (х) = кп (х),
%2п (х) = уп (х).
Коэффициенты Ауп, Вуп (у = 1,2) подлежат определению из граничных условий, заключающихся в равенстве нормальных скоростей частиц термоупругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях сферического слоя, в отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений, в равенстве на них нормального напряжения и акустического давления, в непрерывности акустической температуры и теплового потока на поверхностях слоя:
Сге = ° агг = -ру
(2.11)
Т = Т,
Хт дТ = Х1дТ-; у = 1,2
Здесь
дг
д г
иуг = £ ((у + фу)' ру = (Ф + Фу^ Т = -
ог а,-
(j+фj) +1А (у+фу)
ю
; у = 1,2
где иуг — нормальные компоненты скоростей частиц жидкости, ру — акустические давления, Ту — акустические температуры, а у и Ху — коэффициенты температурного расширения и теплопроводности снаружи (у = 1) и в полости (у = 2) сферической оболочки.
Подставляя выражения (1.1), (2.3), (2.4), (2.8), (2.10) в граничные условия (2.11) и используя условие ортогональности многочленов Лежандра степени п и присоединенных многочленов Лежандра степени п порядка единицы, для каждого индекса п = 0,1,2,... получим систему десяти уравнений, из которых находим выражения для коэффициентов Ауп, Вуп (у = 1,2):
Х,и,= Е^, ] = 1,2
(.12)
Х} = [А]п,Б]п)Т, У,- = (^„,5у)Г, Е 1 = ||4||, / = 1,2, / = 1,2,3
и шесть условий для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (2.9):
(Аи' + ви)\г= V-, - = 1,2; Ь- = (уД^/, О- = Ц^рЦ. а ,Р = 1,2,3 (2.13) Здесь
- —£ЮР1 ^Пп-п (Хц) + е^зЬп (Хц) + е^зНп (Х12 )]
й -—-
Цо
йз = - ^
^11Х11Пп/П (Х11) + е^з^цХцк'п (хп) + е^з^12Х12^П (Х12)
е- _ Г-Ъ-Я-п (Х-2) е- £а-Т0Х-2?.}п (Х-2) е- _ е11 ---, е12 --, е1з _ '
V;
7п (Хи) £§11Х12К (Х12) К (Х11) ^ Х2пН'п (Х11)
е- _н г-^-15-п(Хи) / _ ^Мп5;■ п(хП) е _ ¿^11 _
е21 _-, е22 _--, е2з _--Пп
V;
V;
Х11^1
Хп = = = ^-—; / = 1,2
а ТоХт
с- ю
V/ - \-2Х-15-п(Ху2}п(Х-1) - ^-1Х-25-п(Ху1)5)п(х-2)
[е/1г-п (Х-1) + е215-п С-} я/2 = -—
/ _ 2/Х + 'юр-Гв-
Я11 _ —+ — г Цо
Я1з = -ДО + —^¿г-п (Х-1) + е221-п{Х-2)\ ^0
я 21 = -, Я22 = -821' Я 2з = Яз2 = 0
Г
-
Яз1 = — г
еП^]1Х]15 )п (х]\) + е21^-2Х-25 )п {Х-2)
-
, Яззз = —
г
е{тЬ]1Х]1?.)п (х-1) + е22^-2Х-25)п (х-2)
бу — символ Кронекера.
Из системы (2.12) следует, что коэффициенты А-п, Б-п могут быть вычислены лишь
после определения значений функций и1п(г), изп(г) на поверхностях сферической оболочки.
3. Решение краевой задачи методом сплайн-коллокации. Для нахождения функций и1п(г), изп(г) необходимо решить краевую задачу (2.9), (2.13). Решение этой задачи найдем методом сплайн-коллокации [8]. Введем на отрезке ^г2,г1^ равномерную сетку г2 = Хо < Х1 < ... < xN = г1 с шагом К. Будем искать приближенное решение крае-
вой задачи в виде кубических сплайнов San(r) (а = 1,2,3) дефекта 1 с узлами на сетке.
Здесь San(r) — сплайн-функции, приближающие функции Uan(r) соответственно. Представим кубические сплайны в виде разл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.