научная статья по теме РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НЕОДНОРОДНЫМ ТЕРМОУПРУГИМ СФЕРИЧЕСКИМ СЛОЕМ Математика

Текст научной статьи на тему «РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НЕОДНОРОДНЫМ ТЕРМОУПРУГИМ СФЕРИЧЕСКИМ СЛОЕМ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 74. Вып. 4, 2010

УДК 539.3:534.26

© 2010 г. Н. В. Ларин, Л. А. Толоконников

РАССЕЯНИЕ ЗВУКА

НЕОДНОРОДНЫМ ТЕРМОУПРУГИМ СФЕРИЧЕСКИМ СЛОЕМ

Рассматривается дифракция звука на радиально-слоистой изотропной термоупругой сферической оболочке. Система уравнений для малых возмущений полого термоупругого шара сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, краевая задача для которой решена методом сплайн-коллокации. Получены выражения, описывающие волновые поля вне сферического слоя. Представлены результаты расчетов частотной и угловой зависимостей амплитуды рассеянного звукового поля в дальней зоне.

Задача о рассеянии звука неоднородной изотропной упругой сферой решена ранее [1]. Исследовано рассеяние плоской звуковой волны неоднородным трансверсально-изотропным упругим сферическим слоем [2]. В указанных работах тепловые процессы в упругих неоднородных телах не учитывались.

1. Постановка задачи. Рассмотрим неоднородный изотропный термоупругий шаровой слой с внешним радиусом r и внутренним r2, имеющий в невозмущенном состоянии постоянную температуру T0. Источники тепла в сферическом слое отсутствуют. Сферическая система координат r, 0, ф выбрана таким образом, что ее начало совпадает с центром шара. Модули упругости, температурный коэффициент линейного расширения и коэффициент теплопроводности материала слоя описываются дифференцируемыми функциями координаты r; плотность материала слоя и его объемная теплоемкость — непрерывными функциями координаты r. Полагаем, что жидкость, окружающая сферическую оболочку, и жидкость в ее полости невязкие, теплопроводные, однородные и имеют температуру T0, плотности р{ и р2 и скорости звука q и c2 соответственно.

Пусть из внешнего пространства на термоупругий сферический слой падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой равен Wi = Afexp[i(kпг -Ш)], где A — амплитуда падающей волны, kn — волновой вектор, г — радиус — вектор, ш — круговая частота. Временной множитель exp(-mi) в дальнейшем опускаем. Без ограничения общности полагаем, что волна распространяется в направлении 0 = 0.

В сферической системе координат потенциал скоростей падающей волны представим в виде [3]

^ i = X 4nJn (knr)Pn (cos 0); Пп = A (2n + 1)in (1.1)

n=0

где кц — волновое число звуковых волн в окружающей жидкости, jn (х) — сферическая функция Бесселя, Pn (х) — многочлен Лежандра степени п.

Определим отраженные от сферы и возбужденные в полости волны, а также найдем поля смещений и температуры в термоупругом сферическом слое.

2. Уравнения волновых полей. Ввиду осевой симметрии задачи и свойств материала слоя возбуждаемые волновые поля не будут зависеть от азимутальной координаты ф. Малые возмущения изотропного термоупругого сферического слоя описываются общими уравнениями движения сплошной среды [4] в сферической системе координат

darr , 1 дагв , 2

-f1- + + -(2arr - G00 - + o,-eCtg8) = -рю ur dr r 58 r

^ +1 + %Oee - ow)ctg8 + З^е] = -рю2и0 or r 58 r

и уравнением притока тепла [5]

d2 dr

(2.1)

XT + (xfT + ^ + LT + iraydivu = -mcvT; L = ^ + ctg^-^. T ~ 2 [ T r I dr r2 ' v 5e2 6 59

(.2)

Компоненты тензора напряжений агг, Оее, — в сферических координатах связаны с компонентами тензора деформаций егг, Едд, — и изменением температуры Т возмущенного слоя соотношениями Дюамеля—Неймана [5] скк = 2цекк + ХШуи - вТ, к = г,0,ф, сг0 = 2цегв

= dU, £00 = 1 (df + ur)' £ ФФ = 1 (ur + uectg0)' £ re = 2

И dHr - J + due

А 59

dr _

(2.3)

divu = £ rr + £00 + £„

Здесь ur и u0 — радиальная и тангенциальная составляющие вектора смещения u, р = p(r) — плотность материала слоя, X = X (r) и ц = ц(г) — модули упругости материала слоя, в = p(r) = 3aTK, aT = aT (r) — температурный коэффициент линейного расширения материала слоя, K = Х + (2/3) ц — изотермический модуль объемного расширения, XT =XT (r) — коэффициент теплопроводности, си = си (r) — объемная теплоемкость материала слоя, у = T0p. Штрихом обозначена производная по координате r.

Для разделения переменных в системе уравнений (2.1), (2.2) введем вспомогательную функцию u2 [6, 7], такую, что

u0 = 5u2/59. (2.4)

С использованием выражений (2.3) и (2.4) уравнения (2.1) и (2.2) можно привести к виду

(Я. + 2,)4 Л+ 2,4 \Э+ - * l + рЮ2

V 'dr2 I r )dr r r2 r2

ur +

+1

(Я. ++ -ШН'

dr r .

ч д , 2(X + 2u) dr r

Lu2 -

dur 59

pf- + P'

. dr

T = 0

dr

XT & + (XT + 2XT) d + L + mcv dr \ r /dr r

+ (+-

•+ 1) + +

r ! \dr r.

L -

2 i + P® sin 9v

dui-вдГ = 0

59 r 59

T + ;'юу

dr r.

ur + ^^ Lu2 = 0 r

(2.5)

(2.6) (2.7)

Будем искать функции Ur, «2 и T в виде разложений по многочленам Лежандра ( (r,e),«2 (r ,0),T (г,0)) = X ( (r),Um (r),U3n (r))Pn (cos 0) (2.8)

Введем безразмерные величины

„* - r tt* - Uin тт* - U 2n tt* - U 3n i * _ r > U in - TT' U 2n -~rr > U 3n - ~ZT' X =

U 2

U 3

H

H

H

x_

x 0

,,* _ P „* _ p „* _ aT X * = XT c* _ cv Ц --> p -— > aT , XT - 7"q" ' cu -_Q

XT

Ц о Ро ат лг

Здесь Н = (г1 - г2) — толщина сферического слоя, верхним или нижним нулевым индексом помечены характерные величины. Звездочку в дальнейшем опускаем.

Подставим ряды (2.8) в уравнения (2.5)—(2.7). Используя дифференциальные уравнения для многочленов Лежандра степени п, для присоединенных многочленов Лежандра степени п порядка единицы и, учитывая условие ортогональности многочленов, получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в безразмерных величинах относительно функций иап (а = 1,2,3) для каждого значения п = 0,1,2,...

А и''+ В и'+ СИ = 0

где

и = (ищ,и2п,изп)Т, А = Ш^Ц^азз}. В = ¡¿ар||, С = ||с вр||; а ,р = 1,2,3

а11 = 1х + 2ц, а22 = М- > а33 = 'хт

¿11 = /X' + 2ц'+ 2 (1Х + 2 , ¿12 = -п (/Х + ц), ¿13 =-/1р г г

¿21 = + ¿22 = Ц' + —, ¿23 = ¿32 = 0, ¿31 = -в, ¿33 = Х'т + —

(2.9)

c11 = ---12[2(IX + 2ц) + п1ц] + q0p, c12 = -n /X'- 1(1Х + 3ц)

r r

, ci3 = -/iP'

c21 =■

ц'+ 2(IX + 2ц) , c-2 = -Ц - n(IX + 2ц) + qоp, c-з = -/i

r r

= -Л

r

2sB sB XT

c31 = —, c32 = —ni , c33 = -ni-T + qicu

r r r

e = 3aT (&+ 2ц), / = ^, /i = a0To, s = iюН T ^0

\ 3 ! ц 0 X0

„2 2 „2 0

P0H ю .иН c„ /

qo = —-, qi = i 0 u, ni = n(n +1)

Ц0 xt

Штрихом обозначена производная по безразмерной координате г.

Скорость частиц жидкости снаружи (у = 1) и в полости (у = 2) сферической оболочки представим в виде

v у = grad(y . + ФД у = i,2

n=0

0

Потенциалы скоростей звуковых ¥ у и тепловых Фу волн — решения следующих уравнений:

у + к]^ у = 0, ДФу- + кдФ] = 0; у = 1,2

где = ¥ 1 + ^ 5, ¥ 5 — потенциал скоростей отраженной звуковой волны, ку1 и ку2 — волновые числа звуковых и тепловых волн соответственно. При этом

1 2

кА =

-М, - (-Г^М2 + 4ХЩ

Щ

где

Ьу - 2 ^J,

М =

1 -

У],

у У

],1 = 1,2

Щу = ^

ю

У] — отношение удельных теплоемкостей жидкости при постоянных давлении и объеме, х ] — коэффициент температуропроводности жидкости.

Отраженные волны должны удовлетворять условиям излучения на бесконечности, а волны в полости — условию ограниченности, поэтому функции ^, Ф1, Ф2 будем искать в виде

(„У2,Фу) = Е (( (г), А-2п]'п (к21Г),В]п1]п (к]2Г)]^,(С080) , у = 1,2

(2.10)

п=0

где кп (х) — сферическая функция Ганкеля первого рода порядка п, цп (х) = кп (х),

%2п (х) = уп (х).

Коэффициенты Ауп, Вуп (у = 1,2) подлежат определению из граничных условий, заключающихся в равенстве нормальных скоростей частиц термоупругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях сферического слоя, в отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений, в равенстве на них нормального напряжения и акустического давления, в непрерывности акустической температуры и теплового потока на поверхностях слоя:

Сге = ° агг = -ру

(2.11)

Т = Т,

Хт дТ = Х1дТ-; у = 1,2

Здесь

дг

д г

иуг = £ ((у + фу)' ру = (Ф + Фу^ Т = -

ог а,-

(j+фj) +1А (у+фу)

ю

; у = 1,2

где иуг — нормальные компоненты скоростей частиц жидкости, ру — акустические давления, Ту — акустические температуры, а у и Ху — коэффициенты температурного расширения и теплопроводности снаружи (у = 1) и в полости (у = 2) сферической оболочки.

Подставляя выражения (1.1), (2.3), (2.4), (2.8), (2.10) в граничные условия (2.11) и используя условие ортогональности многочленов Лежандра степени п и присоединенных многочленов Лежандра степени п порядка единицы, для каждого индекса п = 0,1,2,... получим систему десяти уравнений, из которых находим выражения для коэффициентов Ауп, Вуп (у = 1,2):

Х,и,= Е^, ] = 1,2

(.12)

Х} = [А]п,Б]п)Т, У,- = (^„,5у)Г, Е 1 = ||4||, / = 1,2, / = 1,2,3

и шесть условий для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (2.9):

(Аи' + ви)\г= V-, - = 1,2; Ь- = (уД^/, О- = Ц^рЦ. а ,Р = 1,2,3 (2.13) Здесь

- —£ЮР1 ^Пп-п (Хц) + е^зЬп (Хц) + е^зНп (Х12 )]

й -—-

Цо

йз = - ^

^11Х11Пп/П (Х11) + е^з^цХцк'п (хп) + е^з^12Х12^П (Х12)

е- _ Г-Ъ-Я-п (Х-2) е- £а-Т0Х-2?.}п (Х-2) е- _ е11 ---, е12 --, е1з _ '

V;

7п (Хи) £§11Х12К (Х12) К (Х11) ^ Х2пН'п (Х11)

е- _н г-^-15-п(Хи) / _ ^Мп5;■ п(хП) е _ ¿^11 _

е21 _-, е22 _--, е2з _--Пп

V;

V;

Х11^1

Хп = = = ^-—; / = 1,2

а ТоХт

с- ю

V/ - \-2Х-15-п(Ху2}п(Х-1) - ^-1Х-25-п(Ху1)5)п(х-2)

[е/1г-п (Х-1) + е215-п С-} я/2 = -—

/ _ 2/Х + 'юр-Гв-

Я11 _ —+ — г Цо

Я1з = -ДО + —^¿г-п (Х-1) + е221-п{Х-2)\ ^0

я 21 = -, Я22 = -821' Я 2з = Яз2 = 0

Г

-

Яз1 = — г

еП^]1Х]15 )п (х]\) + е21^-2Х-25 )п {Х-2)

-

, Яззз = —

г

е{тЬ]1Х]1?.)п (х-1) + е22^-2Х-25)п (х-2)

бу — символ Кронекера.

Из системы (2.12) следует, что коэффициенты А-п, Б-п могут быть вычислены лишь

после определения значений функций и1п(г), изп(г) на поверхностях сферической оболочки.

3. Решение краевой задачи методом сплайн-коллокации. Для нахождения функций и1п(г), изп(г) необходимо решить краевую задачу (2.9), (2.13). Решение этой задачи найдем методом сплайн-коллокации [8]. Введем на отрезке ^г2,г1^ равномерную сетку г2 = Хо < Х1 < ... < xN = г1 с шагом К. Будем искать приближенное решение крае-

вой задачи в виде кубических сплайнов San(r) (а = 1,2,3) дефекта 1 с узлами на сетке.

Здесь San(r) — сплайн-функции, приближающие функции Uan(r) соответственно. Представим кубические сплайны в виде разл

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»