ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 75. Вып. 5, 2011
УДК 539.3:534.26
© 2011 г. А. Г. Романов, Л. А. Толоконников
РАССЕЯНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН ЦИЛИНДРОМ С НЕОДНОРОДНЫМ УПРУГИМ ПОКРЫТИЕМ
Рассматривается задача о рассеянии плоской звуковой волны твердым цилиндром с радиально-неоднородным упругим покрытием. Получено аналитическое выражение, описывающее рассеянное акустическое поле. Уравнения движения упругого неоднородного цилиндрического слоя сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, краевая задача для которой решена методом степенных рядов. Представлены результаты расчетов диаграмм направленности рассеянного поля.
Методом тензорных импедансов была решена задача о рассеянии плоских звуковых волн на радиально-слоистом упругом цилиндре [1]. Задача о дифракции акустической волны на изотропном неоднородном твердом цилиндрическом теле была сведена к системе интегро-диффе-ренциальных уравнений [2]. Исследовалось рассеяние звуковых волн трансверсально-изотроп-ным неоднородным цилиндрическим слоем [3]. Рассматривалась дифракция плоской звуковой волны на неоднородном анизотропном полом цилиндре в общем случае анизотропии [4]. Получено решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны упругим цилиндром в вязкой жидкости [5]. Изучена дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями [6].
С помощью неоднородного упругого покрытия можно изменять характеристики рассеяния цилиндрического тела. При этом радиально-неоднородным слоем можно моделировать систему достаточно тонких однородных слоев, в которой механические параметры меняются от слоя к слою. Такое представление эквивалентно аппроксимации кусочно-постоянной функции непрерывной функцией, характеризующей переменный параметр неоднородного слоя.
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечный абсолютно жесткий цилиндр радиуса r2, покрытый неоднородным изотропным упругим слоем, внешний радиус которого равен r1. Цилиндрическая система координат r, ф, z выбрана таким образом, что координатная ось z является осью вращения цилиндра. Полагаем, что модули упругости X и ц материала неоднородного цилиндрического слоя описываются дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты r, а плотность р — непрерывной функцией координаты r. Цилиндр окружает идеальная жидкость, р1 — ее плотность, c — скорость звука в жидкости.
Пусть из внешнего пространства на цилиндр вдоль оси х падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой равен
¥i = At exp[i(kr cos ф-шt)]
где Ai — амплитуда волны, k = ш/ c — волновое число падающей волны, ш — круговая
частота. В дальнейшем временной множитель eбудем опускать.
Определим отраженную от цилиндра волну, а также найдем поле смещений в упругом цилиндрическом слое.
В рассматриваемой постановке задача двумерная: все искомые величины не зависят от координаты z.
2. Определение волновых полей. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [7]
Д¥ + к 2¥ = 0; ¥ = ¥i + ¥s
где ¥s — потенциал скоростей рассеянной волны. Скорость частиц v и акустическое давлениеp в жидкости определяются по формулам
v = grad^, p = ip!®^
Потенциал скоростей падающей плоской волны представим в виде [7] ^(г,Ф) = А X i"J„(kr)en
п=-ю
где Jn(x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка n.
Учитывая условия излучения на бесконечности, функцию ¥s будем искать в виде
Уs(г,Ф) = Z A„H„(kr)en (2.1)
где Hn(x) — цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка n.
В цилиндрической системе координат уравнения движения упругого цилиндрического слоя в случае установившихся колебаний имеют вид [8]
дОгг , 1 д°-<? , <5гг -°фф 2 , 1 д°фф 2 2 м n ^
—пг + -—^ +-- = -fflp и-, —^ + —-= + -о гф = -юр и; р = р(г) (2.2)
дг г дф г дг г дф г
где ur, uv — компоненты вектора смещения, arr, , а w — компоненты тензора напряжений, связанные с компонентами тензора деформаций
о -dUL о _ 1 ди?+и-. о _i( 1ди-+ди±-Usl (23)
Ьгг - > Ьфф - "Г" > ЬГф I - - I у^"-1/
дг г дф г 2 ^г дф дг г)
соотношениями (обобщенный закон Гука) [8]
О -- — Х(£ -- + ^ фф) + 2Ц£ --, О фф — rr + ^ фф) + 2Ц£ фф, О -ф — 2Ц^ Гф (2.4)
X = X(-), Ц = ц(-)
Используя выражения (2.3) и (2.4), запишем уравнения (2.2) через компоненты вектора смещения
д2ur Х + цд um цй2ur /. , „ , X + 2^5ur
)—- +— —~ + ^—- +\X' + 2ц' +--1—-
дг2 - дгдф г2 дф2 \ г ! дг
+ 1/v ^+Зц\диФ + fX' X + 2ц + 2^1 „ + -\X--£) + 1---2 +ю Р|и- = 0
г\ г /дф V г г2 у
2 -2 (2.5)
д иф + X + ц д2ur + X + 2цд иф + \ ' + ц)диф + дг2 г дгдф -2 дф2 \ г/ дг
1/ , X + 3ц\диг f ц' ц 2 ^ п
+1 (ц+^ )+сц - £+Н иФ=0
Штрих означает дифференцирование по г.
Компоненты вектора смещения в упругом слое — периодические функции координаты ф с периодом 2п. Поэтому функции ыг(г, ф) и ы^(г, ф) будем искать в виде рядов Фурье
ад ад
Ыг(г,ф) = X Ы\п(г)е'щ, ыф(г,ф) = X Ы2„(г)е1Щ (2.6)
п--ад п=-ад
Подставляя выражения (2.6) в уравнения (2.5), получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций ы1п(г) и ы2п(г) для каждого п
А „и „ + В „и „ + С „и „ = 0; и „ = (ы1п, ы2„)Т (2.7)
2 (Х + 2ц 0 А„ = Ч 0 ц1' В„ =
((X' + 2ц')г2 + (X + 2ц)г '„(X + ц)г ^
2
'„(X + ц)г ц г + цг
2 2
кг - К - (2 + п )Ц + 0"
С п =
К'г - К - (2 + п )ц + о рг '„(к г -К- 3ц)
'п (ц'г + К + 3ц) -ц'г - п2К - (2п2 + 1)ц + о2рг2
Коэффициенты Ап разложения (2.1) и функции ы1п(г), ы2п(г) из разложений (2.6) подлежат определению из граничных условий.
Граничные условия на внешней поверхности заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения; на внутренней поверхности должен быть равен нулю вектор смещения частиц упругой среды:
г = г1 : - тыг = иг, сгг = -р, сгф = 0; г = г2 : ыг = 0, ыф = 0.
Из условия равенства нормальных скоростей при г = находим коэффициенты Ап, выраженные через величины ы1п(г1):
А'„к1'„(кг1) + 'юы^г)
А„ =--;--(2.8)
„ кН„(кг1)
Штрихи означают дифференцирование по аргументу.
Из оставшихся неиспользованными граничных условий при учете выражений (2.8) и выражения для вронскиана
1„(х)Н'„(х) - 1'„(х)Н„(х) = 2'/(ях)
получаем четыре краевых условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (2.7):
г = г : (-1 А„и„ + Б„и„| = Е„; г = г2 : и„ = 0 (2.9)
где
Dn =
+ a2piH„(kr) r kH'n(kr) in\l r
\
ink r
r
En =
n
2Aii Pj® nkrlH'n(krl) 0
Коэффициенты Ап могут быть вычислены по формуле (2.8) лишь после решения краевой задачи (2.7), (2.9).
3. Решение краевой задачи. Найдем аналитическое решение задачи (2.7), (2.9) методом степенных рядов [9].
Решение системы (2.7) будем искать в виде
ujn(r) = X"у:П)(г - а)S, J = 12
s=0
(3.1)
где а — некоторая точка отрезка [г2, т}].
Если на отрезке [г2, г}] функция р(г) дифференцируема, а функции Х(г) и ) имеют непрерывные производные до второго порядка включительно, то все коэффициенты системы (2.7) будут представлять собой функции, непрерывные вместе со своими первыми производными на [г2, т}]. Тогда ряды (3.1) будут сходящимися на [г2, г}] [9].
Предположим, что функции р, X и ^ имеют вид многочленов относительно переменной г (или аппроксимированы такими многочленами):
R R R
p(r) = £p(k)(r - a)k, Xir) = X*(k)(r - a)k, ц(г) = (k)(r - a)k
k=0 k=0 k=0
(3.2)
Я — максимальная степень многочленов.
Сведем краевую задачу (2.7), (2.9) к задачам с начальными условиями в некоторой точке г = а, принадлежащей отрезку [г2, т}].
Найдем четыре линейно независимых решения системы дифференциальных уравнений (2.7).
В качестве фундаментальных решений можно выбрать четыре решения задачи Ко-
ши и1„(г)(1 = 1,2,3,4) системы (2.7) с начальными условиями, являющимися линейно независимыми.
Возьмем следующие начальные условия:
r = a: U n = (5U, 5 2, )T, U П = (63,, 5 41), l = 1,2,3,4; U П = (< u2n)T где l — порядковый номер задачи Коши, Ьу — символ Кронекера. Каждую составляющую вектора Uln будем искать в виде
(3.3)
Ujn = lU^ir - a)s, у = 1,2
s=0
(3.4)
Так как коэффициенты системы (2.7) при сделанных предположениях ны от г, то ряды (3.4) будут сходиться на отрезке [гъ г}] [9].
Получим рекуррентные соотношения для нахождения коэффициентов V
многочле-
l(s)
ад
ад
Запишем систему (2.7) в координатной форме
2
YjyAnijWjn + Bniju'jn + CnijUjn) = 0, i = 1,2 (3.5)
j=1
где Anij, Bnij, Cnij — элементы матриц An, Bn, Cn. Так как элементы матриц An, Bn, Cn выражаются через модули упругости и плотность, то при учете представлений (3.2) получаем
R+2 R+1 R+2
Anij = Ij - a)k, Bnj = IB^ir - a)k, Cnij = I^(г - a)k
k=0 k=0 k=0
и находим коэффициенты этих рядов; не приводим их здесь ввиду громоздкости. Подставляя ряды (3.4) в уравнения (3.5) и приравнивая нулю коэффициенты при
каждой степени (г - а), получаем уравнения для определения коэффициентов Uljs (j = 12)
2 R1
(% rl(s+1-k) + jn
XI [(s + 1 - k)(s + 2 - tyArijujn+2-k) + (s + 1 - k)B(k)u:
j=1k=0
+ Cj1]^ ] = 0, s = 0,1,2, ...; i = 1,2; R1 = min(R + 2, s)
Выделяя из первой суммы последнего равенства член с индексом к = 0, будем иметь соотношения
2
Е + 1)(* + 2)А„%„!+2) = 1=1
2 Д
= - ЕЕ { + 1 - к) [(* - к)А„к+1) + впк ] П^ + сЩ>}, ' = 1,2
1=1к=0
Составим из этих соотношений систему двух уравнений относительно неизвестных
ЦГ2) и иГ2):
4иг2)+«„;-)2и2п:+2)=1=1,2 (3.6)
Здесь
= (5 + 1)(5 + 2)А„01
2 Д
^ = -Ц {(5 +1 - к)[(5 - ^ + Вки1+1-к) + сЩЦиЩ-к)} 1=1к=0
' , 1 = 1,2
Решение системы (3.6) имеет вид
/ (5) 1 (5) (5) ,(5) ч
Гг'(5+2) _ (ап(3-})(3-})а„} - ап}(3-})а„(3-})) 0 * (37)
и 1п = (5) (5) (5) (5) ' 5 = ^ (3.7)
а„11а„22 - а„12а„21
Рекуррентные соотношения (3.7) позволяют вычислить все коэффициенты разложений (3.4) за исключением и}0 и и/п С/ = 1,2).
Учитывая начальные условия (3.3), находим
и1(0) _ , и 1п - 011,
и1(0) - 8 и 2п - 0 21,
и1(1) - 8 и 1п - 031 >
и1(1) - 8 • и 2п -0 41;
1 - 1,2,3,4
Однородность системы (2.7) позволяет представить решение краевой задачи (2.7), (2.9) в в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.