ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2015
НАДЕЖНОСТЬ, ПРОЧНОСТЬ, ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ МАШИН
И КОНСТРУКЦИЙ
УДК 539.4:678.067
© 2015 г. Плитов И.С., Полилов А.Н.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАЗМЕРЫ ЗВЕНА БАМБУКА И КОМПОЗИТНОЙ ТРУБЫ, ПОДВЕРЖЕННОЙ СЖАТИЮ, ИЗГИБУ И КРУЧЕНИЮ
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва
Однонаправленные композитные трубы (например, из боралюминия, пултрузи-онного угле- и стеклопластика) используются в ряде несущих элементов конструкций (антенны, фермы космических платформ). При их сжатии наряду с макропотерей устойчивости по Эйлеру или локальным смятием возможно также множественное продольное расщепление с выпучиванием образовавшихся полосок по форме, напоминающей китайский фонарик. При кручении возникают расщепления, вызывающие депланацию сечений. Цель работы состоит в обосновании методов рационального проектирования трубных элементов композитных конструкций с учетом специфических видов разрушения. Применение энергетического критерия расщепления позволяет оптимизировать размеры композитных труб на основе принципа равнопрочности, реализуемого в биологических конструкциях типа стебля бамбука.
С появлением волокнистых композитов возник интерес к принципам построения природой прочных биологических материалов и конструкций (древесины, кости, дентина зуба, раковины). Изучая структуру древесных волокон в зоне сучка [1, 2], можно оценить рациональные "равнонапряженные" траектории волокон, обтекающих отверстия. Расположение волокон в стволе дерева при изменении числа ветвей с сохранением суммарной площади сечения напоминает конструкцию упругого элемента в виде композитной балки "констэра" [3—5], имеющей значительные преимущества по сравнению с традиционными формами равнопрочных балок. Особые механизмы разрушения путем расслоения и расщепления композитных элементов [6—9], а также древесины или бамбука потребовали разработки специальных энергетических и силовых критериев прочности [10—13], учитывающих направленный характер разрушения. Приведенные ниже результаты показывают, что Природа руководствуется подобными критериями при создании прочных биологических конструкций, чему следует учиться для оптимального проектирования композитных изделий.
1. Расщепление по форме "китайского фонарика" при сжатии композитных труб. При осевом сжатии однонаправленной трубы могут возникнуть множественные расщепления с одновременным выпучиванием, но критерий такого вида разрушения не удается
а, МПа
Рис. 1. Зависимости критических сжимающих напряжений а от длины Ь композитных труб для трех видов разрушения: 1 — локальное смятие (кинк — б); 2 — "китайский фонарик"; 3 — макровыпучивание
120
80
40
40
80
120 160 200 L, мм
1
2
сформулировать в терминах локальных напряжений, так как материал считается однородным и в нем возникают только напряжения вдоль волокон, а поперечные и касательные напряжения на границе раздела "волокно — матрица" отсутствуют. Следует применять энергетический критерий расщепления, который (в предположении об отсутствии диссипации энергии и дополнительной работы внешних сил в процессе быстрого разрушения) состоит в том, что разность значений упругой энергии в начальном и0 = ст2ГЬ/(2Е и в конечном и1 = ис + иь состояниях равна работе расщепления А = пуЬк, пропорциональной площади поверхности разрушения
Щ = Щ + А, (1)
где ст — напряжение сжатия; Ь — длина трубы; к = Я1 — Я2 — толщина стенки; Я1, Я2 — наружный и внутренний радиусы трубы; Я = (Я1 + Я2)/2 — средний радиус; Е — модуль
2 2
упругости в направлении сжатия; Г = п(Яг — Я2) = 2пЯк — площадь сечения; у — удельная работа расщепления.
После расщепления на п одинаковых полосок с сечением в виде сегмента кольца (рис. 1) с угловым размером 2а = 2п/п эйлерово напряжение для каждой полоски, т.е. для всей расщепленной трубы, выражается в виде
2
П EI а
2
Fa L
(2)
где Fa = 2aRh — площадь сечения полоски; Ia — момент инерции сегмента кольца
Ia = (а + sin а cos а) - 4 sin 2ц( R 1 ~ R) 2. (3)
а 49 а r1 _ R2 ( )
Энергия сжатия после выпучивания выражается через эйлерово напряжение (2)
2
Uc = aeа nFa/(2E), а энергия изгиба полоски
L
Ub = 1/2«EIaJ(v'')2dx = 1/2nEIa( 1/2Л%2/L3) = CTea(a - aea)nFaL/E (4)
0
находится в предположении об отсутствии смещения концов полоски в процессе выпучивания aL/E = aL/E + А. Чтобы рассчитать энергию изгиба, надо принять форму прогиба свободно опертой полоски в виде: v = v0sin(nx/L), x е (0, L). Тогда сближение
aea =
Г 2 2 у -лЪ 1 п Vo
(v ) dx =--, и условие отсутствия смещения
0 4 L
концов позволит определить амплитуду прогиба V2 = 4L2(ct — сте)/(я2Е), через которую выражается энергия изгиба (4).
В результате критерий (1) сводится к квадратному уравнению: ст2 = ст^ + 2стга(ст — стеа) + + Ey(aR), из которого определяется зависимость критического напряжения от свойств материала, числа полосок n = я/а и размеров трубы
ст(а) =+js- (5)
Согласно энергетическому критерию (1), с ростом числа n полосок растет работа расщепления, но снижается эйлерово напряжение, так как форма криволинейного сечения полоски приближается к прямоугольной. Две эти противоречивые тенденции приводят к наличию некоторого энергетически выгодного числа полосок n* = я/а*, которое соответствует наименьшему критическому напряжению.
Для нахождения угла a*, соответствующего минимальному напряжению ст(а*) = minст(а) = ст,-, необходимо численно решить трансцендентное уравнение <Эст(а)/<Эа = 0, в которое входит выражение для момента инерции (3). Для получения наглядного результата можно разложить (3) в ряд по двум малым параметрам: s = h/R 1 — тонкостенная труба и а = я/n 1 — большое число полосок, когда каждая из них становится почти прямоугольной
Ia « R?hа(2а4/45 + s2/6 + ...). (6)
Первый член в (6) определяет вклад кривизны сегмента в момент инерции, а второй соответствует моменту инерции прямоугольного сечения с той же площадью, что и сегмент. Окончательная формула может быть получена, если в (6) постулировать отношение порядков малости а и s: s ^ а2 ^ Ia « 2R3hа5/45, и условие минимума напряжения (5) дает угловой размер сегментов
(.....Л1/9
а*
v 64я4 ER5
, (7)
соответствующий минимальному разрушающему напряжению
v ye
45 R 2 L 2
1,2
f 4 „5
Y E v R2L2
(8)
ст
Строго говоря, в (5) вместо а* следует подставить а** = я/и*, где п* соответствует ближайшему целому числу к я/а*. Степень 1/9 в (7) и (8) показывает, что число полосок и, на которые разрушится труба, и критическое напряжение слабо зависят от свойств материала и условий закрепления концов. При изменении Е или у вдвое а* изменится лишь на 8%. Замена условия свободного опирания полоски жестким защемлением концов увеличивает эйлерово напряжение (2) в 4 раза, а критическое напряжение (8) — всего на 17%, так как (4)1/9 = 1,17.
Для реальных композитов оценки по формуле (7) могут давать небольшое число полосок и = 6 ... 8; тогда принятые допущения теряют силу и необходим численный анализ. Например, для бамбука при Е = 30 ГПа, у* = 20 кН/м из (7) и = 5,03, а* = 36°, а в эксперименте происходит расщепление на четыре части, что качественно согласу-
ется с приближенным расчетом, хотя допущение о большом числе полосок не выполняется.
Несмотря на грубость принятых допущений, зависимость (8) качественно отражает влияние размеров труб и свойств композита на критические напряжения при разрушении по форме китайского фонарика. Как видно на рис. 1, этот механизм разрушения реализуется в довольно широком диапазоне размеров однонаправленных труб, и применение критерия (1) позволяет уточнить методы расчета и оптимизации композитных трубных конструкций.
Численное решение трансцендентного уравнения <Эст(а)/<Эа = 0 без допущений о малости угла а и значения соотношения е приводит к незначительным изменениям результата: а* = 36,7°, т = 4,9, что объясняется схожестью действительной и упрощенной зависимостей критического напряжения от угла а в области нахождения минимума.
2. Разные механизмы разрушения и размеры равнопрочной трубы. При сжатии композитных однонаправленных труб возможны три основных вида разрушения (рис. 1):
1) смятие по торцам или образование полосы сдвига (кинка) при критическом напряжении, не зависящем от длины трубы
ст = стс. (9)
2) множественное расщепление с выпучиванием образовавшихся полосок по форме "китайского фонарика" при напряжении (8).
3) макровыпучивание по Эйлеру при напряжении
2 2
СТ = ^Е-. (10)
21
Попарное выполнение равенств критических напряжений для видов разрушения 1—3 дает различные рациональные соотношения между радиусом и длиной трубы, и вследствие введения в энергетический критерий удельной работы расщепления у с размерностью н/м, одновременное равенство трех напряжений (8)—(10) описывает масштабный эффект прочности, позволяя получить "абсолютно оптимальные" (в мм)
размеры трубы для заданной несущей способности и площади сечения Я0 = 1,01Е-;
Е3/2
Ь0 = 2,24-, обеспечивающие одновременное возникновение разных видов разрушения, а значит, минимальную массу конструкции.
3. Выщелкивание полоски при изгибе и сравнение условия равнопрочности с изменением длины звеньев бамбука. В сжатой зоне при изгибе трубы возможно двойное расщепление с выпучиванием образовавшейся полоски. Этот механизм подобен рассмотренному в п. 1, только при изгибе на одну полоску придется не одно, а два расщепления, что эквивалентно замене у на 2у в конечной формуле (8). Точное решение задачи о расщеплении трубы при изгибе затруднительно, но для качественного анализа достаточно считать, что при изгибе в области сжатия происходит выпучивание полоски с угловым размером а*(7) при напряжении ст,(8) с заменой у на 2у.
Отметим интересный пример природной оптимизации биокомпозитных трубчатых конструкций — многозвенного ствола бамбука.
При испытаниях на сжатие звено бамбука разрушается по схеме китайского фонарика. В реальных условиях для ствола бамбука основную опасность представляют не сжимающие напряжения от собственного веса, а изгибающие напряжения из-за ветровой нагрузки на крону. Наибольшие напряжения от изгиба возникают у основания ствола, что при
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.