ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 1, 2004
УДК 539.3: 539.4
© 2004 г. Ю. В. Немировский, А. П. Янковский
РАВНОНАПРЯЖЕННОЕ АРМИРОВАНИЕ КИРХГОФОВСКИХ ПЛАСТИН ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
Сформулирована задача равнонаиряженного армирования кирхгофов-ских иластин волокнами иостоянного иоиеречного сечения ири уируго-иластическом иоиеречном изгибе. Проведен качественный анализ системы разрешающих уравнений. Показана возможность существования нескольких альтернативных решений иоставленной задачи, которыми можно уиравлять за счет иерерасиределения илотностей армирования. Получено аналитическое решение рассматриваемой задачи в случае цилиндрического изгиба ирямоугольной удлиненной иластины. Проведены расчеты для бороалюминия, иоказывающие, что несущая сиособность равнонаиряженно-армированных иластин ири уиругоиластическом изгибе в несколько раз выше, чем ири чистоуиругом изгибе.
Одним из наиболее естественных ирочностных критериев рационального ироектирования комиозитных конструкций служит требование равнонаиряженности волокон вдоль их траекторий, что иозволяет наиболее иолно исиользовать несущую сиособность высокоирочной арматуры и создавать надежные конструкции даже ири исиользовании низкоирочного связующего. В силу актуальности ироблемы равнонаиряженного армирования (РА) ей иосвящены многие работы, наиример [1-5] и др. Однако до настоящего времени ири исследовании задачи РА изгибаемых иластин иредиолагалось, что все фазы комиозиции ведут себя линейно-уируго [4, 5], т.е. не учитывалось реальное иоведение фазовых материалов за иределом текучести и не была ироведена оценка эффективности исиользования несущей сиособности реальных волокон ири рассмотрении задачи РА в уиругой иостановке. В связи с этим цель настоящей работы - математическая формулировка и качественный анализ задачи РА иластин ири уиругоиластическом иоиеречном изгибе, а также соиоставление на конкретных иримерах несущей сиособности РА-иластин ири чистоуиругом и уиругоиластическом изгибах.
1. Исходные уравнения задачи равнонаиряженного армирования пластин при уп-ругопластическом поперечном изгибе. Будем рассматривать чистоуиругий и уируго-иластический иоиеречный изгиб кирхгофовских иластин иостоянной толщины Н, состоящих из изотроиной матрицы и внедренной в нее тонковолокнистой однородной высокомодульной арматуры иостоянного иоиеречного сечения. Предиолагает-ся, что иластина ио толщине имеет регулярную и квазиоднородную структуру, теи-ловое воздействие не учитывается, ирогибы считаются малыми. Все фазы комиозиции могут вести себя линейно-уируго или неуируго. Путь нагружения иластины иредиолагается квазистатическим и несложным, иоэтому для оиисания нелинейно-уиругого или неуиругого иоведения фазовых материалов исиользуются соотношения теории уиругоиластических деформаций [6, 7]. В качестве критерия рационального ироектирования выстуиает требование равнонаиряженности волокон всех семейств во всей области О, занимаемой иластиной в илане.
Пластина рассматривается в ирямоугольной декартовой системе координат х1 х2 г; илоскость х1 х2 совмещена со средней илоскостью иластины до изгиба, а ось г иер-иендикулярна срединной илоскости. Пластина армирована N семействами волокон
(возможно, различной физической природы), которые уложены в плоскостях, параллельных плоскости х1х2.
Для формулировки задачи равнонапряженного армирования (РА) поперечно изгибаемых кирхгофовских пластин необходимо использовать известные уравнения равновесия в перерезывающих силах и моментах Му [7]
Рх, 1 + Р2,2 + Р = 0, М;1,1 + М;2,2 = р - т, I = 1,2 (1.1)
связь между средними напряжениями в композиции о у и моментами М у
Н /2
Му = \ Оугйг, и у = 1, 2 (1.2)
-Н/2
соотношения между изгибными деформациями е у и прогибом ^
еу = -г^, ¿, у = 1, 2 (|г| < Н/2) (1.3)
а также выражения для осредненных напряжений о у через напряжения в фазовых материалах (используется модель армированного слоя с "одномерными" волокнами [8])
оу = а0ту + ХокЮк1к ; к, (и у = 1. 2)
* (1.4)
1к! = сое V*, 1к 2 = ЯШ V*, а = I-
к
где р, т ; - распределенная поперечная нагрузка и внешние изгибающие моменты соответственно; оту, ок - напряжения в связующей матрице и арматуре к-го семейства соответственно; Юк, V* - интенсивность и угол (отсчитываемый от направления х1) армирования волокном к-го семейства; суммирование производится от 1 до N нижний индекс I после запятой означает частное дифференцирование по переменной XI и т.п.
Будем полагать, что диаграммы растяжения и сжатия фазовых материалов совпадают и имеют линейное упрочнение. Тогда связь между напряжением ок и продольной деформацией ек арматуры к-го семейства имеет вид [8]
ГЕкек, |ек| < еsk = 0sk/Ek
ок = 1 , , (1.5)
[ (ек)озк + ЕАек - (ек)ек, е*к < |ек| < е*к = ерк
где ask - предел текучести материала волокон k-го семейства; Ek, Esk - модули упругости и упрочнения материала волокон k-го семейства; esk, e^k - деформации, соответствующие пределу текучести и временному сопротивлению opk материала волокон k-го семейства соответственно.
Связь между деформациями пластины е у и деформациями волокон ek в рамках модели с одномерными волокнами определяется соотношениями [8]
ek = encosVk + e22sin2^k + k = 1, 2, ..., N (1.6)
Согласно соотношениям (1.3), (1.5), (1.6) максимальные по модулю значения напряжений в арматуре достигаются на лицевых поверхностях пластины (z = ±H/2), поэтому условие РА для однозначности целесообразно задавать только на верхней стороне пластины (z = H/2):
ak(x1, x2, H/2) = 0Qk = const, k = 1, 2,., N (1.7)
где 0Qk - значение напряжения в волокнах k-го семейства на верхней стороне пластины (на нижней стороне ok(x1, x2, -H/2) = -oQk = const).
Еали jGQkj < Gsk, тo из cooтнoшeний (1.3), (1.5)-(1.7) вытeкaeт
Gk(Xl, X2, z) = 2zGok/H (Iz < H/2) (1.S)
Еали же jGQkj > Gsk, тo из тex же cooтнoшeний cлeдyeт
Г Ekzek = 2z sign (Gok)G sk/hk, Izl < hk/2 Gk(Xl; X2, z) = i . . (1.9)
l sign(zGok)Gsk + Esk[zek - sign(zGok)esk] , hk/2 < z < H/2
гдe hk/2 - aбcoлютныe вeличины аннликат гpaниц мeждy yнpyгим и нeyнpyгим агоя-ми в apмaтype k-гo ceмeйcтвa (т.e. нpи jzj < hk/2 вoлoкнa k-гo ceмeйcтвa вeдyт ceöfl ун-pyгo, а нpи hk/2 < jzj < H/2 нeyпpyгo); ek - нapaмeтp иcкpивлeния cpeдиннoй нлocкocти нлacтины в нaнpaвлeнии apмиpoвaния вoлoкнoм k-гo ceмeйcтвa, кoтopый coraaœo cooтнoшeниям (1.3), (1.б) имeeт выpaжeниe
22
ek = - w,llcos yk- w,22sin yk - w,l2sin2yk, k = l, 2,..., N (1.1Ü)
С дpyгoй crapomi, из ycлoвия PA (1.7) и выpaжeний (1.3), (1.5), (1.б), (1.1Q) cлeдyeт
ek =
2Gok/(HEk) = const, |Gok < G,
sk
2 , , (1.11) [Gok - sign(Gok)(Gsk - Esk^k)] = cons^ Gok > Gsk
HEsk
Таким oбpaзoм, вмecтo ycлoвия PA в фopмe (1.7) мoжнo иcнoльзoвaть гeoмeтpичec-кoe ycлoвиe
ek = const, k = l, 2,..., N (1.12)
Знaчeниe ek oнpeдeляeтcя выpaжeниями (1.1Q), (1.11).
Beличины hk в фopмyлax (1.9) в cилy линeйнoгo pacпpeдeлeния дeфopмaций нo тoлщинe нлacтины (1.3) и го cвoeмy cмыcлy oпpeдeляютcя paвeнcтвaми
ГH = сш^ |Gok < Gsk
hk = L ni ° il (1.13)
l2esk/|ek\ = Const, |Gok >Gsk
^e. в cилy ycлoвия PA (1.11) hk = const вcюдy в oблacти G.
Линeйнo-yнpyгoe нoвeдeниe мaтepиaлa cвязyющeгo oнpeдeляeтcя зaкoнoм Гyкa
Gmii = Eal(e;; + vEjj), Gmij = Ea2e¿j, j = 3-i, i = l, 2 (|z <h/2) (1.14) а интeнcивнocть дeфopмаций eQ нpи этoм paвнa [7]:
2 1 2 2 2~ eo = ¡¡¡¡¡3^ a3(ell a4ell e22 + e22) + el2 (1.15)
гдe
l l l-v + v2 l -4v + v2 /1 1/ТЧ
al = ¡¡-2, a2 = T^, a3 = ^-a4 = ¡¡¡j-2- (1.1б)
l- v l ^ 3 ( l- v) l- v + v
E, v - мoдyль yпpyгocти и тоэффицтент Пyаccoна cвязyющeгo.
Heлинeйнo-yнpyгoe и нeyнpyгoe нoвeдeниe мaтepиaлa cвязyющeгo oнpeдeляeтcя ocнoвными cooтнoшeниями тeopии yнpyгoнлacтичecкиx дeфopмaций [б, 7], yпpo-
щенными допущением о несжимаемости материала (не меняя существа задачи, учет сжимаемости при неупругом поведении связующего изгибаемой пластины связан со значительными трудностями даже в простом случае деформирования материала без упрочнения [6, 7]). В случае использования диаграммы деформирования с линейным упрочнением связь между напряжениями ату и деформациями е у за пределами линейной упругости при отсутствии дилатации имеет вид
= [0 + Е*(е - е* Ж 2 е, ,+ е„)
2 (U7) °m'j = 3е[°s + Е*(е-е*)]£j; j = 3-i' - = 1 2
где os, E^ - предел текучести и модуль упрочнения материала связующего, известные из диаграммы деформирования [6], е^ - деформация, соответствующая os на диаграмме деформирования, интенсивность деформаций е в предположении о несжимаемости материала связующего имеет выражение [7]
е2 = 4 (е^ + е11е22 + е^2 + ej2 )/3 (1.18)
Введем в рассмотрение положительные величины e0, e, составленные из параметров искривления w срединной плоскости пластины таким же образом, как и интенсивности е0, е (1.15), (1.18) соответственно
2 1 2 2 2 e0 = a3(w,11- a4w,11w,22 + w,22) + w,12 (1.19)
e2 = 4 (w211 + w,11w,22 + w222 + w212)/3 (1.20)
Тогда из соотношений (1.3), (1.15), (1.18)-(1.20) следует
ео = |zko(Х1, х2), е = |z|e(xv x2) (1.21)
При упругопластическом напряженном состоянии в связующем в крайних слоях пластины, примыкающих к лицевым поверхностям, материал связующего ведет себя неупруго, а средний слой остается еще упругим. Следовательно, если h/2 - абсолютная величина аппликат границ между упругим и неупругим слоями в связующем, то интенсивность напряжений
o<os(0 < Izl < h/2), o>os (h/2 < |z| < H/2) (1.22)
В упругом слое связующего интенсивность напряжений равна [6, 7]
о = ЗСтео = 3Gml Zeo, Gm = E/ [ 2 (1 + v)] (1.23)
где Gm - модуль сдвига связующей матрицы. На границах |z| = h/2 между упругим и неупругим слоями в связующем о = os, поэтому из выражений (1.23) следует
h*/2 = os/( 3 Gmeo) (1.24)
откуда
ГH = const, h* > H
h = \ * (1.25)
[h*, h* < H
Соотношения (1.19), (1.24), (1.25) определяют толщину h упругого слоя в связующем через вторые производные от прогиба, причем в общем случае h Ф const.
0mii
Окончательно напряжения в связующем omij при учете выражений (1.3), (1.14), (1.17), (1.21) задаются соотношениями
Omii = -zEax{wyii + vwjj), om;j = -zEa2Wij (|z| < Л/2) (1.26)
Omii = -A (z)(2 W,,,+ Wjj), Om j = -A (Z) W
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.