МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2013
УДК 531.36
© 2013 г. А. А. ЗОБОВА РАЗЛИЧНЫЕ МОДЕЛИ ТРЕНИЯ В ДИНАМИКЕ ДВУСФЕРИЧЕСКОГО ВОЛЧКА
Рассматривается динамика двусферического волчка тип-топ на шероховатой горизонтальной плоскости. Волчок ограничен невыпуклой поверхностью, которая состоит из двух сегментов сфер разного радиуса и цилиндра; ось цилиндра совпадает с общей осью симметрии сегментов. Если в начальный момент расположить волчок так, чтобы центр масс находился в почти наинизшем положении, а ось симметрии была бы почти вертикальна, и придать волчку большую угловую скорость вращения вокруг вертикальной оси симметрии, то волчок перевернется с основания на ножку и начнет вращаться на ножке. После этого он начнет возвращаться обратно к устойчивому положению равновесия. Задача о движении волчка часто используется для демонстрации работоспособности различных предлагаемых моделей трения [1—3].
В данной работе проведено сравнение эффектов, возникающих в динамике двусферического волчка при применении моделей сухого трения. Использованы как аналитические методы исследования, основанные на теории устойчивости и бифуркаций, так и численные расчеты. Численное исследование проводится в предположении, что опорная плоскость деформируема. Это позволяет описывать переходные процессы, которые сопровождаются ударами, с помощью одной системы уравнений.
Ключевые слова: сухое трение, динамика тела на деформируемой плоскости, волчок тип-топ.
1. Постановка задачи и динамические уравнения. Рассмотрим тяжелое абсолютно твердое тело (волчок) на шероховатой плоскости (фиг. 1). Волчок состоит из двух сферических сегментов радиусов г и г2 (г\ > г^), сегменты соединены цилиндром, ось которого проходит через центры сегментов О и 02 (такая модель впервые предложена в [2]). Пусть единичный вектор динамической и геометрической оси симметрии е = 0102/|0102| составляет угол 0 с единичным вектором восходящей вертикали у. Волчок касается плоскости большим сферическим сегментом в точке С!, если 9 е [0, п - а), и меньшим сферическим сегментом в точке С2, если 9 е (п - а, п]; волчок касается плоскости двумя точками, если 0 = п - а.
Центр масс лежит на оси симметрии 00, причем = с1 (, = 1,2) и с2 = (г1 — — г2)/ео8а + с:. Радиусы-векторы точек касания волчка и плоскости задаются формулами
Г = БС,- = -га + се = -гДу - Ь,-е), ; = 1,2
Пусть т — масса волчка и I = diag(/1, /2, /3) (/1 = /2) — тензор инерции, вычисленный в центре масс Введем безрамерные параметры волчка
а е (0, я/2), Ь1 = с1/г1 е (0,1), Ь2 = с2/г2, а = /1 //3 е [1/2, +<х>)
9 е [0, п - а)
9 е (п - а, п]
9 е п - а
Фиг. 1
Предположим, что на волчок, помимо силы тяжести -ш^у и реакции опорной плоскости Жу, действуют силы сухого трения (включая силы трения скольжения, верчения и качения). Тогда в главных осях тензора инерции динамические уравнения движения имеют вид
Здесь F — сила трения, а M — момент трения. Уравнение (1.1) — это закон изменения импульса, уравнение (1.2) — закон изменения кинетического момента, уравнение (1.3) означает, что в абсолютном пространстве вектор у постоянен, а уравнение (1.4) выражает голономную связь (хотя и записанную в дифференциальной форме), которая означает, что волчок лежит на опорной плоскости: скорость точки контакта u = и + [ю, г(] горизонтальна (i = 1 при 9 е [0, п - а], i = 2 при 9 е [п - а, п]). Точкой обозначена производная по времени в главных осях тензора инерции. Неизвестными функциями здесь являются и, ю, у, N, и для замыкания системы уравнений необходимо конкретизировать выражения для сил и моментов трения F = F(u, ю, у, N), M = М(и, ю, у, N).
2. Различные модели трения. В динамике абсолютно твердого тела используются следующие модели взаимодействия между телом и опорной поверхностью:
1) Гладкая плоскость (F = 0, М = 0).
2) Абсолютно шероховатая плоскость (неголономная связь).
3) Шероховатая плоскость с трением: (а) сухое трение Кулона; (b) трение Контен-су—Журавлева [1], [4]; (с) двухпараметрическая модель трения, предложенная А.В. Ка-рапетяном [5].
В данной статье используется и сравниваются только однозначные модели трения, которые проще для численных расчетов по сравнению с множественнозначной моделью [2].
В первой из указанных моделей сила трения и момент трения равны нулю (идеальная голономная связь). Уравнения движения допускают те же первые интегралы, что и твердое тело с закрепленной точкой в случае Лагранжа: сохраняются полная механи-
mb + [ю, mv] = (N - mg)y + F J ю + [ю, Jra] = [г;-, N у + F] + M Y + [ю, y] = 0 (и + [ю, г ], y) = 0
(1.1)
(1.2) (1.3)
(1.4)
ческая энергия, проекции кинетического момента на вертикаль и на ось симметрии. В этом случае аналитически доказано [6], что угол нутации 0 является периодической функцией времени. Таким образом, модель абсолютно гладкой плоскости не может объяснить перевороты волчка.
Рассмотрим модель абсолютно шероховатой плоскости. Предполагается, что скорость точки контакта С, (I = 1, если волчок опирается о плоскость сегментом большого радиуса, и г = 2 — если он стоит на ножке) равна нулю. Тогда тангенциальная составляющая силы реакции может быть вычислена из динамических уравнений и связи — она зависит от и, ю, у, N. Если неголономная связь предполагается идеальной, то момент трения равен нулю. Тогда уравнения допускают интеграл энергии и два линейных по компонентам ю первых интеграла. В этом случае также можно аналитически показать [6], что угол нутации 0 является периодической функцией времени и описанные выше движения с переворотом также невозможны.
Остальные модели сил трения являются диссипативными, т.е. полная механическая энергия
2
Н = Н(и, ю, у) = 1/2ши + 1/2(1ю, ю) - шg(rl, у) < Н невозрастающая функция времени: Н = (Б, и) + (М, ю) < 0
Если пренебречь моментом трения (М = 0), то существует первый интеграл (интеграл Желле) для любой модели силы трения: сохраняется проекция кинетического момента на радиус-вектор точки контакта:
Наличие первого интеграла и невозрастающей полной механической энергии позволяет построить эффективный потенциал системы с помощью модифицированной теории Рауса (см. [7]). Свойства критических точек эффективного потенциала определяют существование, устойчивость и бифуркации стационарных движений волчка, т.е. таких движений, при которых постоянен угол нутации 9, а скорость скольжения равна нулю.
Полный анализ всех стационарных движений двусферического волчка выполнен в [8]. Показано, что если ¿1 > 1 — а и ¿2 > а — 1, то вращения вокруг вертикали с опорой на сферический сегмент большего радиуса (0 = 0) устойчивы лишь при малых угловых скоростях; вращения на ножке (0 = п) устойчивы при больших угловых скоростях волчка.
Анализ бифуркационных диаграмм Смейла (схема исследования изложена в [9]) показывает, что движения с переворотом существуют, если сила трения и момент трения удовлетворяют следующим условиям:
1) (Б, и) < 0 при и ф 0; Б = 0 при и = 0; (М, ю) < 0
2) (М, ю) ^ (Б, и) при и ф 0
Этим условиям удовлетворяют достаточно много моделей трения. Первое условие означает, что трение обеспечивает убывание полной механической энергии (заметим, что равенство нулю силы трения при нулевом значении скорости скольжение является необходимым условием, причем оно выполнено для тех моделей, которые используются в задачах о поступательно-вращательных движениях тел по поверхностям [4]). Второе
К1 =-- (1ю, г,) = к г
1
условие — мощность момента трения много меньше, чем мощность силы трения. Третье условие означает, что соответствующие значения функций Желле К, = -(Лю, г(-)/г(- при ненулевом моменте трения меняются медленно на характерном масштабе времени (в этом случае динамику системы с нулевым моментом трения можно рассматривать как порождающую для динамики системы с ненулевым моментом).
Если М = 0, то происходит только первый переворот волчка с основания на ножку, и после этого волчок вращается на ножке бесконечно долго (в этом случае диссипация частичная, и энергия сохраняется на стационарных движениях). Если М // 0, то обязательно происходит второй переворот с ножки на основание, и в конце концов волчок останавливается в устойчивом положении равновесия 0 = 0 с центром масс в наинизшем положении.
Для моделей 3, а—3, с проведено численное интегрирование уравнений движения, используемые формулы и метод интегрирования обсуждается в следующем разделе.
3. Метод интегрирования. Цель численного интегрирования — решить задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1)—(1.4) с начальными условиями, которые соответствуют быстрому вращению волчка вокруг вертикали с опорой на сегмент большего радиуса, и получить траектории с переворотами.
Голономная связь (1.4) означает, что все время движения волчок касается опорной плоскости. Тогда вертикальная реакция N вычисляется из уравнений движения и зависит от фазовых переменных и, ю, у. На самом деле эта связь является односторонней (и + [ю, г], у) > 0, так как возможны подскоки волчка над опорной плоскостью. Таким образом, на каждом шаге численного интегрирования необходимо проверять знак вертикальной реакции N, и в тот момент, когда она становится отрицательной, переключаться на уравнений движения свободного твердого тела в поле силы тяжести (Ы = 0, Р = 0, М = 0). Когда волчок падает на плоскость, необходимо использовать ту или иную модель удара тела о плоскость. (Отметим, что для всех стационарных движений нормальная реакция положительна и равна весу тела.) Таким образом, необходимо интегрировать систему с переключениями и ударами.
Для того, чтобы упростить эту задачу и избежать проблемы выбора модели удара, предлагается использовать следующую схему. Введем две новые переменные 81 и — расстояния от наинизших точек шаровых сегментов С1 и С2 до плоскости. Эти переменные связаны с высотой центра масс I,, над опорной плоскостью следующим соотношением:
^1= Zs + С(у, е) - г, 1 = 1,2
Введем достаточно простую вязкоупругую модель Кельвина—Фойгхта, связывающую деформации опорной плоскости и нормальную реакцию:
0 при е, >0
N I =^-и1е,- при е,-< 0, ¿1 > 0 (3.1)
-И1Е,- - П2£1 при е,- < 0, е,- < 0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.