АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2015, том 49, № 3, с. 208-222
УДК 521.14
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКОВОЙ ЧАСТИ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ОРБИТ СО СРАВНИМЫМИ ПО ВЕЛИЧИНЕ БОЛЬШИМИ ПОЛУОСЯМИ
© 2015 г. М. А. Вашковьяк1, С. Н. Вашковьяк2, Н. В. Емельянов2, 3
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия
e-mail: vashkov@keldysh.ru 2Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва, Россия e-mail: vashkov@sai.msu.ru, emelia@sai.msu.ru 3Парижская обсерватория, Институт небесной механики и вычисления эфемерид, Франция
Поступила в редакцию 25.08.2014 г.
Предложено специальное представление вековой части возмущающей функции взаимного притяжения планет (спутников). В отличие от известных разложений оно использует ее асимптотику при близких значениях больших полуосей орбит возмущаемого и возмущающего тел, а также имеет единую аналитическую форму для внешнего и внутреннего вариантов задачи. Полученное выражение представляет собой частичную сумму степенного ряда по малым эксцентриситетам и синусам углов взаимных наклонов орбит.
Ключевые слова: взаимное притяжение планет (спутников), вековые возмущения, осредненная возмущающая функция, близкие орбиты.
DOI: 10.7868/S0320930X15020073
ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Возмущающая функция взаимного притяжения в планетной или спутниковой задаче обычно находится с помощью разложения в ряды по степеням малых параметров. Такими параметрами являются эксцентриситеты и взаимные наклонения орбит гравитационно-взаимодействующих тел. Кроме того, "условно малым" параметром можно считать и отношение больших полуосей этих орбит а < 1. Естественно, что простота выкладок и успех в достижении цели зависят от малости этого отношения. Однако его численное значение (в отличие от эксцентриситетов и наклонений) обычно не слишком мало. Более того, в некоторых случаях указанное отношение оказывается достаточно близким к единице, и тогда возникают вычислительные трудности, связанные с необходимостью учета большого числа членов в степенных рядах относительно а.
Целью настоящей работы является получение нового представления вековой части возмущающей функции взаимного притяжения нескольких планет (или спутников) для случая произвольных (не малых) значений а < 1 и, в особенности, для а ^ 1. Новизна заключается в том, что вместо традиционно применяемых разложений в ряды по степеням отношений больших полуосей орбит (или коэффициентов Лапласа) построены ряды
по степеням специального параметра — квадрата отношения разности квадратов больших полуосей к их сумме. Эта величина стремится к нулю при отношении больших полуосей, стремящемся к единице. В новом методе самые неблагоприятные для вычислений случаи становятся самыми благоприятными.
Укажем на некоторые конкретные примеры, в которых преимущества нового подхода будут очевидными. Относительно недавно около одной из звезд, похожей на Солнце и удаленной от него на расстояние примерно 1.2 тыс. световых лет, была обнаружена уникальная планетарная система, получившая название Kepler-36 (Carter и др., 2012). В этой системе относительно центральной звезды (Kepler-36A) обращаются две сильно различающиеся по своим физическим характеристикам планеты. Планета (Kepler-36B) с массой примерно 4.5 Ме движется по орбите с большой полуосью около 18 млн км. Планета (Kepler-36C) с массой примерно 8.1 Ме движется на расстоянии
немногим более 19 млн км. Периоды обращений планет составляют примерно 14 и 16 дней соответственно. В моменты соединений их взаимное расстояние составляет менее 2 млн км. Можно также предположить, что орбиты обеих планет системы примерно компланарны и близки к круговым (по предварительным оценкам эксцентри-
ситеты орбит экзопланет не превосходят 0.04). По-видимому, необходимость в аналитическом вычислении взаимных возмущений этих экстрасолнечных планет может возникнуть лишь в достаточно отдаленном будущем, но нам, тем не менее, было интересно убедиться в реальном существовании планетной системы с близкими орбитами. Другим примером эффективного использования нового подхода является задача о движении главных спутников Урана. В этой спутниковой системе орбиты ближайших пар ее главных спутников имеют большие полуоси, также сравнимые по величине.
Конечно, для подобных близких орбит использование только лишь вековой части возмущающей функции может оказаться недостаточным. Для детального анализа их эволюции необходимо дополнительно учитывать наиболее существенные долгопериодические (резонансные) возмущения. Изучение (и учет) резонансных эффектов, вообще говоря, выходит за рамки предлагаемой работы. Тем не менее мы отметим несколько связанных с ними исследований.
Известно, что в случае близких орбитальных периодов резонансы типа (p + 1)/p (p — целое) и их перекрытие приводят к появлению хаотической зоны в фазовом пространстве. Ее ширина Aa по большой полуоси для ограниченной задачи трех тел может быть оценена приближенной формулой (Wisdom, 1980; Мюррей, Дермотт, 2009)
Aa ~ 1.24ц21 a' (|i — отношение массы меньшего тела к сумме масс конечных тел, a' — большая полуось орбиты возмущающей точки).
Исследованию хаотической динамики вышеупомянутой экзосистемы Кер1ег-З6 посвящена работа (Deck и др., 2012). Полученные численным способом результаты свидетельствуют о хаотичности орбит экзопланет с необычно короткими ляпуновскими временами (о близости данной системы к неустойчивости).
Что касается систем спутников с близкими орбитами, то в работах (Goldreich, Rappoport, 2003а, 2003b; Shevchenko, 2008) численными и аналитическими методами исследован пример возникновения хаоса из-за резонанса 121 : 118 в движении уникальной пары спутников Прометея и Пандоры.
В нашем исследовании мы ограничимся вековой частью возмущающей функции. Эта часть представляет наибольший интерес, поскольку она, в основном, определяет эволюцию орбит небесных тел в отсутствие острых резонансов средних движений.
Построенные нами ряды расположены по степеням параметра
п =
{ 2 2\2 ai - aj
2 2 \úi + aj
< 1.
(1)
В этой формуле a¡ и aj — не равные друг другу большие полуоси орбит возмущаемого и возмущающего тел соответственно (j = 1, 2, 3, ...., J; i Фj).
Для построения рядов мы используем гипергеометрические функции Гаусса с особенностями, обусловленными возможностью относительной близости орбит обоих тел. Ее математическим отражением (при n j ^ 0) является наличие в коэффициентах степенных рядов функции ln ц. Отметим, что в процессе выполнения данной работы мы встретили упоминание о преобразовании коэффициентов Лапласа при близких значениях больших полуосей соседних пар планет (спутников) к гипергеометрической функции, содержащей логарифмические слагаемые. (Мюррей, Дермотт, 2009, гл. 6 (задача от Маркуса Анзорга).)
Известные исследования классиков небесной механики Лагранжа и Лапласа по устойчивости Солнечной системы выполнены на основе анализа слагаемых лишь второй степени относительно эксцентриситетов и синусов взаимных наклонов планетных орбит в вековой части возмущающей функции.
В этом квадратичном приближении вековые уравнения допускают точное аналитическое решение, поскольку в элементах Лагранжа они являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В настоящее время разложение не только вековой части, но и полной возмущающей функции, известно с существенно большей точностью относительно эксцентриситетов и синусов взаимных наклонов, что позволяет получить и более точные нелинейные дифференциальные уравнения. В частности, работа (Ellis, Murray, 2000), а также вышеуказанная монография (Мюррей, Дермотт, 2009) содержит соответствующие слагаемые до четвертой степени включительно. Такая же точность, вообще говоря, обеспечивается и в нашем новом представлении вековой части возмущающей функции. Тем самым мы будем использовать предположение о малости взаимных наклонов I, Ij и эксцентриситетов e, e¡ орбит всех тел. В дальнейших преобразованиях будут фигурировать также параметры si = sinIi, Sj = sinIj. Для указанных параметров орбит выполнены неравенства
si < 1, Sj < 1, ei < 1, ej < 1.
Наклоны орбит, которые мы обозначаем через I¡, Ij (i, j = 1, 2, 3, ...., J; i Ф j), отсчитываются относительно основной координатной плоскости. В зависимости от планетной или спутниковой задачи, ее удобно связать соответственно с плоскостью Лапласа системы тел или с плоскостью экватора планеты.
Кроме того, мы предполагаем отсутствие взаимных пересечений орбит даже в проекции на основную координатную плоскость
гТ = а (1 + ) < й} (1 - в]) = т^,
где для определенности принято, что индекс I означает номер внутреннего тела, а индекс у — номер внешнего
а/а =(1 - еу)/(1 + е) « 1 - е1 — е1 < 1.
Параметр Пу оказывается не слишком малым и удовлетворяет неравенствам
Г 2 2 , ,,/ , ч Л2 в,- - в2 + 2 ( + в})
+ в) + 2 (в, - в/) + 2
<П/ <1,
^ =1-П/ =
2
2а,й]
2 2 {а + а)
правлена в сторону ее орбитального движения, а ось 01 — дополняет систему координат до правой. Мы будем использовать уже сделанные предположения: эксцентриситеты спутниковых орбит и синусы их экваториальных наклонений малы, а
средние движения спутников Пу =
= (т0 + т})а- У2, где/ — гравитационная постоянная, несоизмеримы.
В системе У спутников выделим спутник с номером ¡, возмущаемый притяжением У — 1 возмущающих тел. Тогда возмущающая функция для 1-го спутника определяется формулой
Д = X ^}
(
а если пренебречь слагаемыми третьей степени, то
{с, + в})2 <П} < 1.
Особенностью параметра Пу (кроме стремления к нулю при а ^ 1) является также и его симметрия относительно а1 и а, что позволяет получить единую форму разложения независимо от соотношения между ними.
В связи с данной работой укажем, что в статье ^ёоу, Ziglin, 1974), по-видимому, впервые выполнен анализ эволюции близких (в том числе, пересекающихся и "зацепленных") орбит в ограниченной круговой двукратно осредненной задаче трех тел. В этом аналитическом исследовании учтено лишь главное (логарифмическое) слагаемое вековой части возмущающей функции.
Ранее в нашей работе (Ваш
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.