ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 8, с. 1341-1355
УДК 519.63
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ОПОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ФЛЮИДОВ В КОЛЛЕКТОРЕ,
СОДЕРЖАЩЕМ ГАЗОГИДРАТЫ1
© 2015 г. В. А. Гасилов*, И. В. Гасилова*, Л. В. Клочкова*, Ю. А. Повещенко* **, В. Ф. Тишкин*
(* 125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМ РАН;
(** 115409Москва, Каширское ш., 31, НИЯУМИФИ) e-mail: hecon@mail.ru Поступила в редакцию 24.02.2015 г.
Рассматриваются разностные схемы метода опорных операторов применительно к динамике флюидов в подземных коллекторах, содержащих газогидратные отложения. Дана система массово-энергетических балансов, описывающая динамику флюидов в пористой среде, содержащей газогидратные отложения. Выведено диссипативное "гидратное" уравнение, определяющее "термодинамическую" эволюцию параметров системы. Установлена определяющая роль скачков удельных объемов и внутренней энергии в процессе фазовых превращений, влияющая на устойчивость эволюции системы в диссипативно-термодинамическом блоке системы. Для реализации расчетов построено семейство поворотно-нейтральных разностных схем метода опорных операторов на нерегулярных сетках. Построенные схемы протестированы на ряде модельных задач, результаты решения которых представлены в настоящей работе. Библ. 33. Фиг. 6.
Ключевые слова: вычислительный эксперимент, метод опорных операторов, нерегулярные сетки, флюидодинамика, пористая среда, газогидраты.
Б01: 10.7868/80044466915080116
1. ВВЕДЕНИЕ
Важным свойством сеточной методики численного решения задач гидродинамики, и, в целом, механики сплошных сред, является возможность ее реализации на сетках различных типов, причем с обеспечением сохранения основных свойств исходных дифференциальных операторов их разностными аналогами. Обычно в теории разностных аппроксимаций анализируются такие свойства операторов, как знакоопределенность, самосопряженность. К сеточным аналогам дифференциальных уравнений могут предъявляться требования в соответствии с физическим содержанием исходной задачи — консервативности, однородности, монотонности решений и т.д. В этой связи можно отметить, что метод опорных операторов, в развитие и распространение которого большой вклад внес профессор А.П. Фаворский (см., например, [1], [2] и др.), является весьма мощным средством разработки сеточных аппроксимаций уравнений математической физики с заданными свойствами. Он позволяет строить приближения к дифференциальным операторам, используя различные регулярные и нерегулярные сетки (блочно-структурирован-ные, конформные неструктурированные — тетраэдральные, гексаэдральные, смешанные, мор-тарные и т.д.). Для уточненного описания сдвиговых деформаций и диссипаций в газообразных или жидких средах большой интерес представляет развитие методик на основе ротационно-ин-
1) Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных исследований ОМН РАН (ПФИ № 3, проект 3.6) и федеральной целевой программы "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007—2013 годы" (проект 2011-1.4-514-129).
вариантных разностных аппроксимаций. Метод опорных операторов позволяет строить разностные схемы, обладающие данным свойством.
Настоящая работа посвящена построению на нерегулярных сетках и исследованию разностных схем метода опорных операторов для уравнений флюидодинамики в пористых средах. В последнее время к газовым гидратам привлечено большое внимание как к потенциальным источникам углеводородов (см. [3]). По имеющимся данным объем углеводородного газа, содержащегося в гидратах, значительно превосходит остальные его запасы. Огромные запасы углеводородов в газо-гидратных залежах могут быть достаточно полно извлечены только с применением технологий добычи, опирающихся на физико-химические превращения пористой среды, что свидетельствует об актуальности изучения таких превращений.
Многие пористые материалы, насыщенные одним или несколькими флюидами, испытывают физико-химические превращения скелета. В качестве примера можно указать газовые гидраты, представляющие собой соединения молекул газа и воды. В исходном состоянии, при низкой температуре и высоком давлении, поровое пространство целиком заполнено гидратами в твердом состоянии. При повышении температуры и понижении уровня сжатия происходит разложение гидрата на газ и воду. Снижение температуры и повышение давления приводит к образованию гидратов.
На сегодняшний день не существует алгоритмов и программного обеспечения для полноценного моделирования эволюции и разработки углеводородных залежей при наличии газогидратов. Данная работа направлена на восполнение этого пробела и нацелена на разработку новых математических моделей и алгоритмов. В перспективе предполагается их реализация в виде комплекса программ для моделирования процессов в осадочных бассейнах при наличии газогидрат-ных отложений на высокопроизводительных вычислительных системах.
Обычно газогидратные месторождения представляют собой пористые слои, насыщенные гидратами, водой и углеводородными газами. Задача состоит в том, чтобы научиться моделировать гидродинамические, геомеханические и физико-химические процессы в таких месторождениях и на этой основе изучать вопросы оптимизации технологий добычи углеводородного сырья, обеспечения безопасности работ с газогидратами и анализа соответствующих экологических проблем.
Основным инструментом решения этой задачи является компьютерное моделирование процессов многофазной фильтрации в газогидратном месторождении с учетом температурного режима и физико-химических процессов разложения гидратов. Целью моделирования является восстановление истории разработки месторождения, явлений, происходивших при его эксплуатации, а также определение текущих параметров месторождения и характеристик его разработки, т.е. оценка перспектив дальнейшей эксплуатации.
2. СВОЙСТВА ПОРИСТОЙ СРЕДЫ С ГАЗОГИДРАТНЫМИ ОТЛОЖЕНИЯМИ
Физико-химическая термодинамика пористой среды в настоящее время опирается на результаты, полученные для случая одного континуума (чаще всего — для жидкости или газа). К ним в первую очередь относится предложенное Гиббсом макроскопическое (феноменологическое) описание фазовых превращений жидких (газообразных) сред. Другое основополагающее направление — моделирование химических превращений с помощью предложенных Аррениусом кинетических уравнений, которые содержат экспоненциальную зависимость скорости реакции от энергии активации и температуры и предэкспоненциальный коэффициент, зависящий от некоторых параметров состояния.
В случае газогидратов необходимо описание кинетики фазовых превращений в пористых средах. Экспериментальное определение кинетического уравнения для фазовых превращений — задача весьма сложная из-за обилия параметров состояния твердого скелета и образующихся флюидов. Представляется, что экспериментальным работам в этом направлении должна предшествовать теоретическая проработка.
Главным инструментом теоретических исследований является неравенство энтропии, которое порождает новое понятие — диссипация рассеянного фазового превращения. Задача теоретических исследований — определение взаимосвязи кинетической функции с термодинамическими потенциалами скелета и флюидов, взаимосвязи, удовлетворяющей неравенству энтропии во всех возможных процессах.
Основные компоненты природного газа (метан, этан, пропан, изобутан, азот, диоксидугле-род, сероводород) образуют как индивидуальные, так и смешанные гидраты, в состав которых
входит несколько видов гидратоформирующих веществ. В настоящее время известно более 150 веществ, способных образовывать газовые гидраты, многие из них находят широкое практическое применение (см. [3]).
Физико-химические свойства гидратов изучались в многочисленных работах (см. [4]—[22]). Установлено, что теплота фазового перехода гидрата зависит от давления, температуры и состава газа и может варьироваться в пределах 480—540 кДж/кг (см. [5]). Теплопроводность и теплоемкость чистого гидрата соответственно равны 0.4 Вт/(м К) и 2700 Дж/(кг К). Плотность гидрата слабо изменяется с давлением и примерно равна 900—920 кг/м3 (см. [7]).
Согласно специальным экспериментам по изучению кинетики разложения гидратов в пористой среде (см. [5], [6]), можно утверждать, что характерное время разложения гидратов составляет 102—104 сек. Учитывая тот факт, что разработка гидратного месторождения может длиться годами (106—108 сек), можно сделать вывод о несопоставимости характерных времен процессов. Таким образом, в реальных условиях время указанных кинетических процессов много меньше характерных времен в элементарном объеме, и кинетика не будет существенно сказываться на процессе разложения гидратов в пористой среде. Поэтому в практическом отношении наиболее состоятельными являются математические модели, построенные на основе предположения о том, что процессы распада и возникновения газогидратов происходят в равновесном режиме, когда в среде устанавливается локальное термодинамическое равновесие, описываемое некоторым уравнением состояния.
Экспериментально изучены условия образования гидратов индивидуальных компонентов природного газа (см. [4], [5], [7]—[9]) и получены эмпирические формулы, позволяющие производить расчеты образования с достаточной степенью точности. В инженерной практике пользуются аппроксимацией, предложенной Г.В. Пономаревым (см. [10]):
где Т0 и Р0 — некоторые характерные константы; А и В — эмпирические коэффициенты.
Влияние пористой среды на условия гидратообразования исследовалось многими авторами. Было установлено, что в пористой среде температура образования гидратов ниже температуры образования гидратов со свободной водой при одинаковых давлениях (см. [7]). В [11] и [12] была предложена математическая модель, позволяющая прогнозировать условия гидратообразования в пористой среде. Данная аналитическая методика расчета основана на термодинамической модели Ван дер Ваальса и Плату с учетом капиллярных сил и уравнения состояния газа. В в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.