ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 5, 2013
УДК 539.374
© 2013 г. А. А. Буренин, Л. В. Ковтанюк
РАЗВИТИЕ И ТОРМОЖЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
Приведено точное решение квазистатической задачи теории упруговязко-пластичности о развитии течения несжимаемой среды в цилиндрической трубе кругового сечения вследствие роста со временем перепада давления, о последующем течении при постоянном перепаде и торможении из-за его медленного снижения. Указаны условия возникновения и закономерности продвижения упругопластических границ при разных режимах нагружения.
В рамках жесткопластической модели Шведова—Бингама получен ряд точных решений задач антиплоского течения [1—4], разработаны и достаточно универсальные методы расчетов вязко-пластических течений [5—7]. При отказе от предположения о недеформируемости среды, составляющей жесткие ядра, или в застойных зонах математическое моделирование течений значительно усложняется. Деформации в таких областях преимущественно обратимы, и постановка краевых задач обязана осуществляться в перемещениях, в то время как в областях течения задача решается в скоростях перемещений. На границах областей следует требовать выполнения условий непрерывности перемещений, поскольку равенства скоростей и компонент напряжений оказывается недостаточным и может приводить к ошибочным решениям [8].
Вычисление компонент перемещений в областях течения, как известно [9], — непростая задача. В таких областях необратимые деформации необходимо большие, что требует рассмотрения в рамках модели больших упругопластических деформаций. Подобных моделей, начиная с первой геометрически непротиворечивой [10], предложено достаточно много. Приведем только некоторые работы отечественных авторов [11—16].
Будем использовать математическую модель, предложенную [17] и подробно описанную [18] ранее. Эта модель конкретна, не содержит новых постоянных среды и отвечает классическим требованиям к упругопластической модели: необратимые деформации не изменяются в процессах разгрузки, обратимые деформации полностью задают напряжения в среде, разгрузочное состояние не зависит от пути разгрузки в пространстве напряжений. Для модели больших упругопласти-ческих деформаций перечисленные требования не обязательны, а иногда и опытно не состоятельны, однако гипотетическая формулировка таких условий приводит к наиболее простому варианту модели, что позволяет на примерах решения простейших модельных задач обсудить корректность их постановок и в отдельных случаях получить точные решения. Наличие таких решений [19—21] для принципиально нелинейной теории — исключительно важное обстоятельство.
Ниже построим точное решение классической задачи о течении упруговязкопластической среды в цилиндрической трубе в условиях меняющегося перепада давления. Ранее [19] рассматривалась близкая по постановке задача о продвижении пробки, когда среда занимает конечный объем в трубе и нагружается давлением на одной из свободных границ. Конечное перемещение пробки — следствие вязкопластического течения среды в пристеночной области.
1. Исходные соотношения используемой модели деформирования. Полагаем, что параметрами состояния изотермически деформируемой среды являются два симметричных кинематических тензора с компонентами в^ и р^. Согласно известному подходу [15] и в соответствии с формализмом неравновесной термодинамики постулируем для этих тензоров уравнения их изменения (переноса) в виде
= £У - £р - 2 ((г'к - + )ек> + в'к(гк - £к] - ^))
РРу _ р Р Р /1 1 \
- £у - р1к£кк - £ 1крк]
1, \ йы, ды,
ЕУ = ~ У + )' и = -г = Т7 + Ы,
ды{
24 41 ' л дг "1 1 ^1 дху
Используется прямоугольная система декартовых координат Эйлера х,; ы1 и и, — компоненты векторов перемещений и скоростей точек среды. Когда источник е р в уравнении переноса тензора (ру) равен нулю, компоненты тензора (ру) изменяются так же, как при повороте системы координат, или, что то же, как при движении среды без деформирования.
Отождествим этот тензор с тензором необратимых деформаций, а процесс разгрузки
свяжем с равенством ер = 0. Тогда тензор (ву) можно было бы считать характеристикой обратимых деформаций, а зависимости (1.1) — определениями обратимых и необратимых деформаций. Однако в этих зависимостях остаются неизвестными компоненты и оператор объективной производной В/Вг. Геометрически и кинематически непротиворечивую модель получаем [17, 18] при следующем необходимом определении объективной производной по времени, записанной для произвольного тензора (п,у):
Щ йпу 1
= а ~ Гкпк + п'кг1 = = 2 (и, 1 - У +1 к ек
1у = АЛ(£1кек] - е1к£к1 )В2 + В(г,кек£у - е1кек£ 1 + е1к£ье*геу - е1кек£(12) А = 8 - 8Е1 + 3Е\ - Е2 -1Е3 +1Е3, В = 2 - Е1
Е1 = екк, Е2 = еуе]1, Е3 = еуе]кек1
Заметим, что при равенстве нулю нелинейной составляющей ^у) тензора вращений (Гу) производная (1.2) переходит в производную Яуманна. Соотношения (1.1) и (1.2) диктуют следующее разделение полных деформаций Альманси йу на обратимую и необратимую составляющие:
й = (ъ + у - ык,ык,1)/2 = + р -е,крк - + ^ (1.3)
= е 1 е,кек] /2
Тензор с компонентами в у задает тензор обратимых деформаций с компонентами я у, но не тождественен последнему. Введение в рассмотрение тензора с компонентами ву связано не только с удобством в записи уравнения его переноса (1.1), но и с возможностью записать для упругопластической среды аналог формулы Мурнагана как следствие закона сохранения энергии. Если предположить, что в случае упругопластиче-ской среды термодинамический потенциал (плотность распределения свободной энергии) — функция только обратимых деформаций, то, следуя закону сохранения энергии, можно получить [18]
-Р 5 у + (5 к - 2йку) при р у = 0
Щк (1.4)
-Р15у + ^ (5ку - еку) при р у * 0 де,к
Соотношения (1.4) записаны для рассматриваемого далее случая несжимаемой среды, P и P1 — добавочные гидростатические давления, Ж = Ж (ву) — упругий потенциал, который, полагая среду изотропной, зададим в форме [22]
2 3
Ж = -2ц/! - ц/2 + Ь/1 + (Ъ - ц)//2 - х/ + • • •
\Ьк при ру = 0 (1-5)
/ к = 1 т , „ , Ц = акЬ Ц = а1какЬ 11 = ЭкЬ 12 = 5 А
1к при ру Ф 0
Параметр ц отождествляется обычно с модулем сдвига, Ь и х — упругие постоянные более высокого порядка.
Из соотношений (1.4) и (1.5) следует, что во всей области деформирования напряжения в среде определяются уровнем и распределением обратимых деформаций. Полагаем, что необратимые деформации накапливаются в среде в условиях соответствия напряжений поверхности нагружения, а скорость их роста задается ассоциированным законом пластического течения, т.е.
еР = Хд//дсу, /(су, бР) = к, !> 0 (1.6)
Соотношениями (1.6) вводится новая постоянная материала k — предел текучести.
В качестве функции нагружения далее будем использовать условие пластичности Треска, обобщенное на случай учета вязких свойств среды при ее пластическом течении [23]:
тах -а у| = 2к + 2ц тах | е р| (1.7)
Здесь С1 — компоненты главных напряжений, е к — компоненты главных скоростей пластических деформаций, п — коэффициент вязкости.
2. Упругое деформирование. Пусть несжимаемый упруговязкопластический материал, деформационные свойства которого заданы выше, заполняет круглую трубу радиуса R с недеформируемыми стенками. Рассмотрим деформирование материала и его продвижение по трубе в условиях растущего со временем перепада давления. Решение этой краевой задачи теории больших упруговязкопластических деформаций в цилиндрической системе координат г, 9, z будем искать в классе функций
и = (г, г), и = (г,г), P = P(r, z, 0
Согласно соотношениям (1.3) только две компоненты тензора деформаций в рассматриваемом случае отличны от нуля:
йгг = -ы,2 /2, йгг = и,г /2 (2.1)
Полагаем, что деформирование начинается из свободного состояния материала и первоначально является обратимым (йу = Эу, ру = 0). Следуя формуле Мурнагана (1.4), при упругом потенциале (1.5) получим
Огг = Оее = - (г, г, г) - (Ъ + ц) и,2 /2 = -р (г, г) ° = -р (г, г) + цы,2, агг = ци,г
Здесь э (г, г, г) — новая неизвестная функция добавочного гидростатического давления. Независимость агг и Сдд от г будет установлена в дальнейшем. В соотношениях (2.2) не выписаны слагаемые с третьей и более высокими степенями и,г. Таким образом, обратимые деформации считаются малыми и учитываются только старшие нелинейные
слагаемые в зависимостях напряжений от обратимых деформаций. Это ограничение не принципиально, но позволяет получить точные решения последовательности краевых задач развития и торможения течения в обозримой форме. Для материалов, наиболее характерно проявляющих упругопластические свойства (металлы), такое ограничение естественно. Далее силами инерции будем пренебрегать, считая процессы деформирования и течения достаточно медленными. Тогда из уравнений равновесия будет следовать, что из диагональных компонент тензора напряжений только azz зависит от r, а arr = Cgg = -p (z, t) от r не зависят. Интегрирование уравнений равновесия приводит к зависимостям
Orz = c(t) r/2 + ci (t) /r, p = c(t) z + Po (t) (2.3)
Неизвестные функции интегрирования c (t), c1 (t), p0 (t) необходимо определить из краевых условий. Заметим, что c1(t) = 0, так как напряжение arz обязано быть конечным при r = 0, p0 (t) следует считать известной (задаваемой) функцией контрольного давления в сечении трубы z = 0. Деформирование и продвижение материала по трубе свяжем с воздействием градиента давления
dp/dz = -у (t), v (0) = 0 (2.4)
Считаем, что до тех пор, пока
1°ГХ||г=r < ^0 (2.5)
где а0 — задаваемая постоянная сухого трения (с0 < к), на стенках трубы выполняется условие жесткого сцепления u (R, t) = 0. Для указанных условий нагружения получаем окончательное решение
о rz =-v (t) r/2, p = -y (t) z + p0 (t), u = V (t)(R2 - r2)/(4ц) (2.6)
Это решение при возрастающей функции у (t) остается приемлемым до момента времени t = t*, пока выполняется строгое неравенство (2.5). Для определенности полагаем далее у (t) линейной функцией времени у (t) = at ( а = const). В этом случае t* = 2с0/ (aR). Начиная с момента времени t = t*, на стенке r = R начинается скольж
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.