ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2015, том 51, № 3, с. 358-367
УДК 551.588.74:519.6
РАЗВИТИЕ ВАРИАЦИОННОГО ПОДХОДА ДЛЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГИДРОТЕРМОДИНАМИКИ И ХИМИИ АТМОСФЕРЫ © 2015 г. В. В. Пененко, Е. А. Цветова, А. В. Пененко
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН 630090 Новосибирск, пр. Ак. Лаврентьева, 6 E-mail: penenko@sscc.ru Поступила в редакцию 21.10.2014 г., после доработки 11.11.2014 г.
Представлено развитие вариационного подхода для решения взаимосвязанных задач гидротермодинамики и химии атмосферы. Вариационный подход позволяет расширить класс решаемых задач для комплексного исследования разномасштабных физических и химических процессов, используя для этих целей методы прямого и обратного моделирования. Описана технология построения согласованных математических моделей и методов их численной реализации на базе вариационного принципа в формулировке со слабыми ограничениями. Большое значение для построения алгоритмов прямого и обратного моделирования имеют решения локальных и глобальных сопряженных задач. Реализация идеи сопряженных интегрирующих множителей обеспечивает получение безусловно монотонных и устойчивых дискретно-аналитических аппроксимаций для задач конвекции— диффузии—реакции.
Ключевые слова: вариационный принцип, моделирование, оценка неопределенностей, динамика атмосферы, химия атмосферы.
Б01: 10.7868/80002351515030098
ВВЕДЕНИЕ
Прогнозирование изменений качества атмосферы и оценок экологической перспективы регионов, подвергающихся воздействию природных и антропогенных факторов, относится к разделу взаимосвязанных задач экологии и климата. Цель наших исследований состоит в разработке методики, с помощью которой можно получить в режиме прогноза количественную информацию об изменениях качества окружающей среды на длительный срок. Для решения этих задач и доведения получаемых результатов до восприятия их обществом нужны эффективные методы исследования и технологии моделирования, основанные на совместном использовании моделей и фактических данных о процессах в природной среде.
Традиционный подход к решению задач этого класса до недавнего времени базировался на методах прямого моделирования. Его суть состоит в проведении сценарных расчетов при различных способах задания входных данных и внешних воздействий. При этом для прогноза нужно знать всю информацию об источниках воздействий, что практически невозможно. В первую очередь это замечание относится к проблемам долгосрочного прогнозирования и связанных с ними оце-
нок рисков в условиях изменяющегося климата. Несмотря на широкое распространение методов прямого моделирования, исследователи все чаще обращаются к комбинированным подходам прямого и обратного моделирования. Последние связывают результаты возможных воздействий (выраженные в виде целевых функционалов) с параметрами моделей и источников.
Настоящая статья посвящена представлению современного состояния исследований, выполняемых в ИВМиМГ СО РАН в Новосибирске (бывший ВЦ СО АН СССР) в области математического моделирования для решения задач охраны окружающей среды. Эти исследования имеют давнюю историю, поскольку Лаборатория гидродинамических проблем окружающей среды была создана Г.И.Марчуком в ВЦ СО АН СССР по решению научной сессии ООФАГ АН СССР (Новосибирск, 1974 г.), посвященной проблемам изменения климата под влиянием деятельности человека. Г.И. Марчук внес также существенный вклад в разработку теории и методов моделирования для задач окружающей среды [1], в том числе с использованием сопряженных уравнений [2].
Современные исследования лаборатории развивают концепцию природоохранного прогнози-
рования [3—7], основанную на решении прямых и обратных задач, сформулированных в рамках вариационного принципа. При таком подходе прямое моделирование предоставляет модели процессов различной степени сложности по функциональному содержанию и детализации, по степени учета различных факторов. Тогда как методы обратного моделирования реализуют более высокий системный уровень проблемы в целом для оценок обобщенных характеристик исследуемых систем, в которых модели процессов выступают в качестве связей между функциями состояния, входными параметрами и источниками внешних воздействий. Именно вариационный принцип позволяет получить согласованные описания всех численных алгоритмов и аппроксимаций для прямого и обратного моделирования.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ФУНКЦИОНАЛЫ, ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
Постановка задачи. В комплекс математических моделей входят совместные модели гидротермодинамики и химии атмосферы. Структуру этих моделей можно представить в операторном виде:
Дф, У, г) = дф + 0(ф, У) - f - г = 0,
дt
ф0 = ф° + У = Уа + £.
(1)
(2)
В соответствии со структурой объединенных моделей динамики и химии, функцию состояния представим в блочном виде с тремя составляющими ф(х, 0 = {ф,., г = 1, п} = (фhт, Фм, Фс), где п — общее число переменных состояния, ф^ = (и = (и,^ мм), Т, р, р) = {ф,.,. = 1,6} — переменные гидродинамического блока: u — вектор скорости с компонентами и, V, w в направлениях координат хьх2,х3 соответственно; Т, р, р — температура, плотность, давление; фм = (qv, дс, дп дь д/) =
= {ф.,. = 7,11} — категории влаги в гидрологическом
цикле атмосферы: qv, qс, qr — водяной пар, облачная
вода, дождь; q¡ = qc + qr — вода в жидкой фазе; д^ —
вода в твердой фазе (лед, снег); фс = {ф,, г = 12, п} — совокупность субстанций в газовом и аэрозольном состояниях.
Система уравнений гидротермодинамики. Для представления общей идеи вариационного подхода запишем следующую систему уравнений из структуры (1):
дри
~дГ
+ div рии -
др
(3)
- М(и) + ^ - р(¡v - км) - (/и + Ги) = 0,
дх
^ + div руи - M(v) + др + р1и - / + О = 0, (4) дt ду
Здесь ф(х, t) = (ф,.,. = 1, п) — вектор-функции состояния, принадлежащие вещественному пространству 0(Б,), Б, = Ах [0,7] е Я4, Б е Я3 — область изменения пространственных координат
х = (х,,г = 1,3) = (х,у,z); О, = Ох [0,7], О., О — границы областей Б, Б, соответственно, [0,, ] — интервал изменения времени. Область Б может быть глобальной для всей Земли либо ограниченной частью глобальной системы. В состав нелинейного оператора модели G(ф, У) входят дифференциальные и интегро-дифференциальные составляющие, Y — вектор параметров модели, принадлежащий области допустимых значений Я(Б,), f —функции источников, ф0 — начальное состояние при , = 0, ф° Ya — априорные оценки, г, С, — подлежащие определению функции, описывающие неопределенности соответствующих объектов. Отнесение объектов к вектору параметров для задач данного класса достаточно условно, поскольку мы имеем дело как с прямыми, так и с обратными задачами. Поэтому удобно в некоторых случаях функции источников и функции, входящие в граничные и начальные условия, отнести к разряду параметров, которые необходимо искать.
дрм
~дГ др
+ div рми -
- М(м) + + gp-pku - (/м + Гм) = 0,
дг
дрТ д,
+ div р Ти +
+ АТрТ div и - кМ(Т) - к(/Т + гТ) = 0, дрр
д,
+ div рри + крр div и -
- (к- 1)М(р) - (к- 1)(/р + Гр) = 0, — + div ри = 0,
(5)
(6)
(7)
(8)
р = рЯа (1 + а)Т, а = (Я^/Яа -1) qv - q¡ - q/,
М(ф) = div ^ grad (рф), (9)
Ат = кЯл (1 + а)/Ср, к = Ср.
Здесь к, I — параметры Кориолиса, g — ускорение силы тяжести, Яф Я1/ — газовые постоянные для сухого воздуха и водяного пара соответственно, функция а описывает вклад влажности в определение виртуальной температуры Т, = (1 + а)Т; ср — удельная теплоемкость сухого воздуха при посто-
янном давлении; сч — удельная теплоемкость влажного воздуха при постоянном объеме; операторы М(ф) описывают процессы турбулентного обмена, — диагональный тензор коэффициентов турбулентности. Уравнение притока тепла (6) и уравнение для давления (7) построены с учетом первого начала термодинамики, уравнений неразрывности (8) и состояния (9). Такой вариант модели приспособлен для изучения негидростатических процессов в природоохранных задачах с интенсивными источниками воздействий. Уравнения такого типа используются также для задач аэрогидродинамики [8]. Ранее мы разрабатывали этот вариант в гидростатическом приближении в полусферной модели циркуляции атмосферы, на основе которой был впервые реализован метод вариационного усвоения данных наблюдений с сопряженными уравнениями [9].
Система уравнений конвекции-диффузии—реакции. Запишем в операторном виде систему уравнений переноса и трансформации многокомпонентных субстанций в газовом и аэрозольном состояниях и систему уравнений для категорий влаги в гидрологическом цикле:
<5рф;-
+ Шу рф;-и - М(ф;-) +
Все объекты в системе (3)—(10) (кроме констант) зависят от пространственных координат и времени, но для упрощения записи эти сведения могут быть опущены.
Данные и модели наблюдений. К числу основных элементов системы моделирования для исследования природных процессов относятся также данные их мониторинга. Пусть — результаты измерений, выполненных на некотором подмножестве Б'т области Б.. Определим оператор Йт(<$), описывающий результат действия модели наблюдений т-го типа. Эта модель формирует образы измеряемых величин в терминах функций состояния моделей процессов (3)—(10):
^т = Нт(ф) + Пт, т = 1, М.
(12)
дг ' " "" _ (10)
+ р ( (Ф) - (4 + %)) = 0, г = ~п. По функциональному содержанию компоненты оператора трансформации имеют следую-
щую структуру:
$(ф) = РР(ф)ф;. - Ц(ф), (11)
где первое слагаемое, по отношению к субстанции ф;, представляет механизмы деструкции, а второе — продукции. В моделях химии атмосферы Р;(ф) и П;(ф) — это вещественные функции полиномиального вида с неотрицательными коэффициентами, определенные на множестве компонент вектора ф. На классе неотрицательных функций состояния ф;-(х, г) > 0 они по определению удовлетворяют условиям р(ф) > 0, Пг(ф) > 0. Такие свойства операторов трансформации позволяют строить безусловно монотонные численные схемы. Общие свойства монотонности операторов вида (11) и операторов типа конвекции-диффузии обсуждаются в [10].
Краевые условия для замыкания моделей зависят от конкретных постановок задач и включаются в определение к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.