МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2009
УДК 539.3
© 2009 г. В.Н. УКРАИНЕЦ
РЕАКЦИЯ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ДВИЖУЩУЮСЯ В ТОННЕЛЕ НАГРУЗКУ
Используя решение задачи о действии иа упругое полупространство нагрузки, равномерно движущейся по поверхности круговой цилиндрической полости вдоль ее образующей, параллельной свободной границе полупространства, исследуется напряженно-деформированное состояние земной поверхности тоннеля при воздействии на него бегущих нормальных осе-симметричных периодических и апериодических нагрузок. Анализ результатов расчетов проводится на основании представленных в работе таблиц и графиков.
1. Введение. Опыт эксплуатации транспортных подземных сооружений (типа тоннелей метрополитена) в условиях городской застройки показывает, что при мелком заложении происходит резкое возрастание уровня вибраций в зданиях и сооружениях, расположенных вблизи их проходки. Превышение уровнями вибраций допустимых норм, установленных для зданий, приводит к непригодности последних для жилья. Кроме того, вибрации оказывают неблагоприятные воздействия на различные технологические процессы повышенной точности и людей. В связи с этим необходимо не только обеспечить достаточную надежность всех элементов подземной конструкции, но и решить вопрос о допустимом приближении к ней наземных сооружений.
Одной из модельных задач, применяемых для исследований, является задача о воздействии на упругое полупространство движущейся по цилиндрической полости вдоль ее оси нагрузки. В отличие от аналогичной задачи для упругого пространства, моделирующей заглубленный тоннель, данная задача является более сложной, так как возникает необходимость учитывать отражаемые границей полупространства волны. Исследованию указанной проблемы посвящена статья [1], где получено точное аналитическое решение задачи о действии на упругое полупространство движущейся по параллельной его границе оси периодической нагрузки. Используя это решение, в настоящей работе построены подобные решения для бегущих по поверхности полости периодической и апериодической нагрузок, и на основе этих решений исследуется динамическое воздействие движущихся по поверхности тоннеля нагрузок на земную поверхность.
2. Постановка задачи. Для исследований используется модельный подход: тоннель моделируется бесконечной круговой цилиндрической полостью радиусом Я, расположенной в упругом, однородном и изотропном полупространстве с параметрами Ламе X, ц и плотностью р. Пусть в декартовой системе координат ось Ъсовпадает с осью полости, параллельной свободной от нагрузок плоской границе полупространства, а ось X перпендикулярна к этой границе: х < Н, где к - расстояние от оси полости до границы полупространства (земной поверхности).
В направлении оси полости по ее поверхности движется с постоянной скоростью с нагрузка Р:
сг;\г = Я = РД9,П), ] = Г, 0,п (2.1)
где огу - компоненты тензора напряжений в среде, Ру(0, п) - составляющие интенсивности подвижной нагрузки Р в подвижной цилиндрической системе координат (г, 0, п = г - а). Так как граница полупространства свободна от нагрузок, то при х = Н:
°хх = 0ху = Охп = 0 (2.2)
Движение полупространства описывается динамическими уравнениями теории упругости в подвижной системе координат
11 ^ 12 и
—----и + —-У2и = —-- (2.3)
Мр ыУ М-2 Эп2
где и - вектор смещения упругой среды; Мр = с/ср, М, = с/с, - числа Маха; ср, с, - скорости распространения волн расширения - сжатия и сдвига в среде.
Вектор смещения упругой среды выражается через потенциалы Ламе [2]:
и = фх + го1;(ф2 еп) + го^ (ф3еп) (2.4)
Из (2.3) и (2.4) следует, что потенциалы фу удовлетворяют уравнениям
2
2 2 О ф ;
у2фу = м2 , у = 1, 2, 3, М1 = Мр, М2 = М3 = М, (2.5)
Эп
Таким образом, задача сводится к интегрированию уравнений движения полупространства (2.5) при выполнении граничных условий (2.1), (2.2).
3. Периодическая нагрузка. Рассмотрим вначале подвижную нагрузку с произвольной зависимостью от угловой координаты и изменяющуюся вдоль п синусоидально
Р(0,п) = р(0)е'Ч р(0) = £ РпеШ
П =
Ру(0, п) = р}(0)е'^п, р}(0) = £ Рп]еШ, у = г,0,п
п =
Потенциалы фу также будем искать в виде периодических функций по п:
фу(г, 0,п) = Фу(г, 0)е'^п (3.2)
Из (2.5) и (3.2) следует, что
2 2 2 2 Д2Фу - ту£ Фу = 0, у = 1, 2, 3, ту = 1- Му, = тр, т2 = т3 = т, (3.3)
Здесь Д2 - двумерный оператор Лапласа.
Выразив параметры напряженно-деформированного состояния (НДС) среды через потенциалы Ламе, можно получить выражения для перемещений и* и напряжений
о*т от синусоидальной нагрузки в декартовой (I = х, у, п; т = х, у, п) и цилиндрической (I = г, 0, п; т = г, 0, п) системах координат как функции от Фу.
Если ограничиться дозвуковым случаем (с < с,), то М, < 1 (т, > 0) и решения уравнений (3.3) можно представить в виде
Ф = Ф(1) + Ф(2) у у у
~ ~ ,--(3.4)
Фу1} = £ апукп(V)е'пв, Ф(2> = | ехР(¿УС + (х - Н)^2 + к]Ж
(3.1)
п
где Кп(Щг) - функции Макдональда, к = шД; gj■(£, £), а^ - неизвестные функции и коэффициенты, подлежащие определению.
Как показано в [1], представление потенциалов в форме (3.4) приводит к следующим выражениям для потенциалов в декартовой системе координат:
ф = /
-х/
2/,
X апфп +
(х - к)/,
в^С,
(3.5)
/, = 7с2 + к2, Фп, = (С + /,)п/кП, 1=1, 2, 3
' 1 1' п1 •> 1' г
Функции gj■(£, выражаются через коэффициенты ап, из граничных условий (2.2), переписанных для о* с учетом (3.5). Для этого следует выделить коэффициенты при в1у^ и, в силу произвольности у, приравнять их нулю. Тогда
1 3 ~
gj(^Z) = %А%в-Н/к X апкФпк (3.6)
к = 1
Вид определителя А* и алгебраических дополнений А*, определен в [1]. В частности, А* - это определитель Рэлея, который в данном случае имеет вид
А*&0 = (2р* - м2^2)2 - 4р*7р* - М?^р* - р* = ^ + С2
и не обращается в ноль при любых если скорость бегущей нагрузки меньше скорости сЯ рэлеевской волны в полупространстве. В противном случае в точках
£ = = д/мЯ - 1, МЯ = с/сЯ, он обращается в ноль, и интегралы в формуле (3.5) становятся расходящимися.
Пусть с < сЯ. В этом случае все подынтегральные функции в (3.4) непрерывны и экспоненциально стремятся к нулю на бесконечности. С учетом (3.6) формулы (3.5) имеют вид
ф, = \
г -xfj ~ в
2 /
1 п = -
X"1 ^ (х - к) / V А*к Н/к _
X ап1 фп, +в X аА* в X апкфпк
к = 1
(3.7)
Используя известное разложение в1кг°°в0 = X "п/п(кг)в'п0, можно с учетом (3.6)
п =
представить (3.4) в цилиндрической системе координат Ф1 = X ( ап,Кп( к 1Г) + Ьп11п( к 1Г ))в"
гп0
п = 3
(3.8)
Ь . = X X а ,Лшк Ашк = Г^Ф ,Ф в
-к (/к + / )
¿с
к = 1 ш
Подставляя найденные для потенциалов соотношения в выражения для и* и о* в
декартовых и цилиндрических координатах, получим новые выражения, где неизвестными будут только коэффициенты апу Для определения последних следует воспользоваться граничными условиями (2.1), переписанными для о* с учетом (3.1).
п=-
п =
После приравнивания коэффициентов рядов Фурье-Бесселя при е'п0 получается бесконечная система линейных алгебраических уравнений с определителем нормального типа, для решения которой можно использовать метод редукции или метод последовательных отражений. Причем, как показывают расчеты, определитель данной системы может обращаться в ноль только при с > сЯ.
Рассмотрим случай, когда с > сЯ. В этом случае подынтегральные функции в (3.4) имеют неинтегрируемые особенности. Однако, деформируя контур интегрирования с обходом особенностей знаменателя Рэлея в точках £ = по е-полуокружностям в областях, где выполняются условия излучения (см. [1]) и устремляя е к нулю, можно получить решение и в этом случае в виде
Фу
У.р. |
3 д * -
е V л (х - Н)Дук -Н/к V ^
-у-. £ апуФпу + е у £ у £ апкФпк
- - -х/
е
к = 1
е'у? ^ -
(х - Н)/у - ¡у^*
-¡п £ £ ^ е Д* Д%е^кФ
• к =1
* Д*
пк
£ = -£ *
(х - Н)/у + ¡у?*
.е_у_Д*ке Ф к
* ук пк
Д*
£ = £ *
Здесь в формуле во второй строке стоят вычеты подынтегральных функций в указанных точках, Д* = ЭД*(^, £)/Э£. Используя асимптотические свойства интеграла в смысле главного значения, из этой формулы следует, что при у ^ :
- 3 (х - Н)/у- ¡у?*
Фу » 2у £ £ апк'
( = к = 1
* Д*
- Д%е~Н" Фпк
£ = *
С учетом множителя ехр(г^п) отсюда следует, что при сверхрэлеевских скоростях подвижной нагрузки на свободной поверхности полупространства х = Н возникают рэле-евские волны, распространяющиеся в направлении волнового вектора (£*, £) в полуплоскости (у > 0, п), а в полуплоскости (у < 0, п) в направлении (-£*, £).
В случае произвольной периодической по п нагрузки, разлагая ее в ряд Фурье, для каждой составляющей ряда получим вышерассмотренную задачу.
4. Апериодическая нагрузка. Зная решение задачи для синусоидальной нагрузки, реакцию полупространства на движущуюся с дорэлеевской скоростью апериодическую нагрузку характерного для транспортируемых объектов типа Р(0, п) = р(0)р(п) формально получим при помощи суперпозиции, используя представление нагрузки и компонент НДС среды в виде интегралов Фурье:
Р(0,п) = р(0)2- | р*Фе'^Ч, р*ф = | р(п)е-^
п=-
п=-
и1 (г, 0, п) = 2- | и*(г, 0, £)р*©^, 01т(г, 0, п) = ^ | 0*т(г, 0, £)р *(^
5. Численные эксперименты. Для исследования влияния скорости движения с и периода Т = 2п/^ нормальной осесимметричной нагрузки Рг = Р с амплитудой РА, оказывающей давление на поверхность тоннеля в начале подвижной системы координат, на деформацию массива в окрестности земной поверхности, рассматривается тоннель радиусом Я = 1 м, проходящий на глубине Н = 2Я в алевролите (X = 1.688 ■ 109 Па, ц = 2.532 ■ 109 Па, р = 2.5 ■ 103 кг/м3, с, = 1006.4 м/с, сЯ = 917 м/с).
с, м/с T, м
4п 2п 4п/3 п 4п/5 п/2 п/4 п/8
u О x
100 0.83 0.53 0.20 0.17 0.10 0.021 0.000 0.000
200 0.83 0.55 0.32 0.18 0.11 0.023 0.000 0.000
400 0.89 0.64 0.39 0.23 0.14 0.031 0.001 0.000
600 1.02 0.91 0.62 0.38 0.23 0.059 0.002 0.000
В таблице приведены наибольшие прогибы u° = u* M/RPa земной поверхности (максимальные амплитуды колебаний земной поверхности в вертикальной плоскости) в зависимости от c и T.
Из анализа результатов следует, что при фиксированном T из интервала п/4 < T < 4п увеличение скорости приводит к возраста
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.