ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 4, с. 656-674
УДК 519.634
РЕАЛИЗАЦИЯ И СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛОВОГО АНАЛИЗА НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ
© 2013 г. К. Н. Волков
(Университет Кингстона, Лондон, SW15 3DW, Великобритания) e-mail: k.volkov@kingston.ac.uk Поступила в редакцию 01.10.2012 г.
Обсуждаются особенности реализации упрощенного подхода к решению задач сопряженного теплового анализа, основанного на интегрировании уравнения изменения температуры вязкого сжимаемого газа. Поле скорости газа считается замороженным, а для его обновления на каждом шаге процедуры сопряжения делается одна итерация. Дискретизация уравнения, описывающего распределение температуры в твердом теле, проводится при помощи метода конечных элементов, а дискретизация уравнений Навье—Стокса, описывающих распределение скорости и температуры газа — при помощи метода конечных объемов. Для решения системы разностных уравнений, порожденной конечно-объемной дискретизацией уравнения изменения температуры газа, используются многосеточный метод и обобщенный метод взвешенных невязок. Возможности разработанных подходов демонстрируются на примере решения ряда модельных задач. Проводится сравнение ускорений вычислительного алгоритма, полученных при использовании полного и упрощенного подходов к решению задачи, а также различных методов решения системы разностных уравнений. Библ. 24. Табл. 2. Фиг. 7.
Ключевые слова: сопряженный теплообмен, неструктурированная сетка, многосеточный метод, обобщенный метод взвешенных невязок.
DOI: 10.7868/S0044466913040145
1. ВВЕДЕНИЕ
В связи с тенденциями развития и расширением возможностей для проведения многодисциплинарных расчетов, например для решения связанных задач газовой динамики и прочности (fluid-structure interaction) или газовой динамики и теплопередачи (coupled thermal analysis), многие пакеты вычислительной газовой динамики (computational fluid dynamics, CFD) оснащаются интерфейсом взаимодействия с программными комплексами вычислительной механики деформируемого твердого тела (computational solid mechanics, CSM). Такое взаимодействие заключается в передаче результатов расчета на шаге по времени от одного пакета к другому (при условии геометрической идентичности границ, на которых происходит обмен данными).
Течение вязкого сжимаемого газа описывается уравнениями Навье—Стокса, для дискретизации которых обычно используется метод конечных объемов (finite volume method, FVM). Основой теплового анализа является уравнение теплового баланса, полученное в соответствии с принципом сохранения энергии, а для его дискретизации обычно применяется метод конечных элементов (finite element method, FEM).
После выполнения расчета течения определяются тепловые нагрузки на границах области, а полученная картина теплового нагружения используется для нахождения распределения температуры в твердом теле. При однократной передаче данных о воздействии потока на элемент конструкции взаимодействие носит однонаправленный характер и допускается в тех случаях, когда имеется слабо выраженное обратное влияние теплового процесса на поток (реализуется явная схема сопряжения программных комплексов). В общем случае необходим двунаправленный обмен данными между расчетными модулями на шаге по времени, что приводит к неявной схеме сопряжения. Сопряжение реализуется на основе выполнения итераций между различными расчетными модулями до тех пор, пока не достигнется заданный уровень невязки (см. [1]—[6]).
Для повышения эффективности вычислительной процедуры между расчетными модулями передается не температура границы раздела, а плотность теплового потока от газа к твердому телу (от CFD-модуля к FEA-модулю) и температура границы раздела (от FEA-модуля к CFD-мо-дулю). Такой подход позволяет избежать проблем, связанных с реализацией итерационной процедуры (см. [3]—[6]). Несмотря на стабилизацию итерационной процедуры, время счета на неструктурированных сетках, которые обычно применяются для дискретизации областей сложной геометрической конфигурации, оказывается довольно высоким (см. [5], [6]).
Для сокращения времени на CFD-расчеты, реализуемые на каждом шаге процедуры сопряжения по времени, допускается решение не всех уравнений, описывающих течение вязкого сжимаемого газа, а только уравнения изменения температуры (см. [3]—[6]). На первом шаге процедуры сопряжения используется поле скорости вязкого сжимаемого газа, полученное при условии отсутствия тепловых потоков на стенках расчетной области (стенки считаются теплоизолированными). В дальнейшем на каждом шаге процедуры сопряжения для обновления распределения скорости газа производится лишь одна итерация (замороженное поле скорости). При этом эффективность реализации упрощенного подхода к сопряженному тепловому анализу в существенной степени определяется способом решения системы разностных уравнений, полученной в результате конечно-объемной дискретизации уравнения изменения температуры.
Дискретизация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных на неструктурированных сетках приводит к системе разностных уравнений с несимметричной матрицей, которая не имеет диагонального преобладания. При этом классические численные методы либо перестают работать, либо дают медленную скорость сходимости (см. [7]). Для решения таких систем разностных уравнений широкое применение находят многосеточный метод (multi-grid method, MG), построенный на основе схемы полной аппроксимации (full approximation scheme, FAS), и обобщенный метод взвешенных невязок (generalized minimal residual, GMRES), который является одним из проекционных методов, построенных на базе подпространств Крылова (Krylov subspace method).
Многосеточный метод широко используется не только как самостоятельный метод решения систем разностных уравнений, но и в качестве предобусловливающей процедуры в других методах. Реализация геометрического многосеточного метода применительно к решению задач механики жидкости и газа на неструктурированных сетках, а также подход к формированию последовательности неструктурированных сеток различной разрешающей способности обсуждаются в [8].
Итерационные методы Крылова для решения систем разностных уравнений с несимметричными матрицами изучаются в [9]. Метод GMRES находит широкое применение как для решения систем разностных уравнений, возникающих в результате неявной конечно-объемной и конечно-элементной дискретизации уравнений Навье—Стокса (см. [10]—[12]), так и в качестве сглаживающей процедуры при реализации многосеточного метода (см. [13], [14]).
Несмотря на многочисленные примеры использования многосеточного метода и метода GMRES для решения задач механики жидкости и газа и механики деформируемого твердого тела, эффективность их реализации во многом определяется спецификой решаемой задачи. В данной работе обсуждаются особенности реализации и применения многосеточного метода и метода GMRES для решения системы разностных уравнений, порожденной конечно-объемной дискретизацией уравнения изменения температуры газа на неструктурированной сетке, применительно к решению задач сопряженного теплообмена. Сравнение различных методов проводится на основе решения ряда модельных задач и делаются выводы об эффективности используемых подходов.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Нарушение теплового равновесия между газом и твердым телом возникает в результате изменения параметров цикла нагружения или граничных условий задачи. Для сокращения затрат процессорного времени реализуется расчет температурного поля газа при замороженном поле скорости (см. [3]—[6]). Физическим обоснованием упрощенного подхода служит то, что поле плотности, рассчитанное при различных тепловых условиях на стенке (условие теплоизолиро-ванности или условие фиксированной температуры), изменяется сравнительно слабо (см. [6]).
2.1. Поле течения газа
Нестационарное течение вязкого сжимаемого газа описывается при помощи осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье—Стокса и уравнений к —е модели турбулентности, которые в декартовой системе координат (х, у, г) имеют вид
д<9 др. дРг
■ +
■ + -
= н.
дг дх ду дг Уравнение (1) дополняется уравнением состояния совершенного газа
(1)
Р = (У - 1)Р
1 / 2 2 , 2 е — (V х + V у + - ю г
2 2\ Г )
Вектор консервативных переменных О и векторы потоков Рх, Ру, имеют следующий вид
О =
(р ^ ( Р V х Л
Р^ х Рvxvx + Р -Т хх
Р^у рvхУу -тху
Р^ , Рх = Р^ хУ г -т хг
Ре (Ре + р)ух - Vхтхх - уутху - vгтхг + Пх
рк Рухк -ах
У ре У Р^е-рх )
(
Ру =
у
Р^у^х -Т ух
Р^ уУ у + Р -т уу
г -т уг
(ре + Р^у - Vхтух - Уу1уу - Угтуг + Пу pv ук -а у Р^е-Р у
(
Р =
г
х -т гх у -т гу
гУ г + р -т „
(Ре + р)уг - ухтгх - уутгу - я + Пг гк -а г г е-Р г
Неинерциальность системы отсчета учитывается при помощи введения в источниковый член Н кориолисовой и центробежной силы (ось вращения совпадает с осью х):
( 0 0
рю(ую + 2vг) Н = рю(гю - 2v у) 0
Р -ре е^Р - сЕ2рб)/к^
где г — время, р — плотность, г — радиус вращения, vx, vy, vг — составляющие скорости в координатных направлениях х, у, г, ® — угловая скорость, р — давление, е — полная энергия единицы массы, Т — температура, к — кинетическая энергия турбулентности, е — скорость диссипации, у — отношение удельных теплоемкостей.
Компоненты тензора вязких напряжений и составляющие вектора теплового потока находятся из соотношений
(
ду1 + ду, _ 2ду±, дх, дх1 3 дхк
\
П - \ дТ дх(
Эффективная вязкость це вычисляется как сумма молекулярной ц и турбулентной цг вязкости, а эффективная теплопроводность X е выражается через вязкость и число Прандтля
Ц е = И + И г, к е = Ср (р +
где ср — теплоемкость при постоянном давлении. Для получения значений молекулярной вязкости в зависимости от температуры используется закон Сазерленда (для воздуха Рг = 0.72, РГг = 0.9 ).
Диффузионные слагаемые в уравнениях к —е модели турбулентности находятся из соотношений
а , = Р, =
а к )дх1 \ стЕ )дх,
Для расчета члена производства турбулентности используется соотношение, записанное с учетом поправки Като—Лаундера:
Р = |5|
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.