ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 6, 2014
УДК 534.131.2
© 2014 г. Григорьев В.Г., Григорьева Е.В.
РЕДУКЦИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОМ АНАЛИЗЕ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ТЕЛ, СОДЕРЖАЩИХ ЖИДКОСТЬ
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),
г. Москва
Предложена эффективная методика исключения из системы уравнений конечно-элементной модели деформируемой конструкции, содержащей жидкость, степеней свободы, связанных с высокочастотными колебаниями свободной поверхности жидкости. Количество собственных частот, обусловленных коротковолновыми колебаниями свободной поверхности, которые не оказывают существенного влияния на динамику нагружения несущей конструкции, резко возрастает с измельчением конечно-элементного разбиения гидроупругой системы. Высшие частоты этого подспектра, чередуясь с собственными частотами, обусловленными упругостью конструкции во взаимодействии ее с жидкостью, осложняют анализ ее динамических характеристик и построение математических моделей поведения при действии внешних динамических факторов.
Значительные по своему влиянию массы жидких компонентов содержатся в составе многих современных технических объектов, в значительной мере определяя их динамические характеристики. К числу таковых следует отнести ракетные комплексы и самолеты, транспортные системы для перевозки жидких грузов (самолеты-заправщики, танкерные суда) и сооружения для их хранения.
Конфигурация жидких компонент внутри гидроупругой системы определяется гравитационным полем, в котором она находится. Оно же влияет и на образование волн на свободной поверхности жидкости. Как правило, в спектре собственных колебаний системы заметно выделяются частоты, связанные с колебаниями свободной поверхности жидкости. При этом заметную роль в формировании реакции конструкции на динамические воздействия играют лишь низшие тона этих колебаний, длины волн которых сопоставимы с размерами поверхности. К сожалению, в современных комплексах конечно-элементного анализа конструкций неполно и не вполне корректно отражены проблемы моделирования динамических свойств конструкций, содержащих объемы жидкости, в условиях действия гравитационного поля.
В настоящее время полностью непротиворечивую формулировку краевой задачи, описывающей поведение рассматриваемого типа конструкций, можно найти лишь в отечественной литературе, причем в качестве основополагающей следует отметить работу [1], где сформулирована основная идея, связывающая потенциальную энергию колебаний свободной поверхности жидкости и работу гравитационных сил на колебаниях удерживающей жидкость поверхности конструкции. В ней приведены уравнения для осесимметричных конструкций с жидкостью.
В работах [2, 3] подробно проанализированы и обобщены уравнения работы [1]. Сформулированы уравнения, пригодные для описания динамики конструкций с про-
извольными регулярными (негладкими) поверхностями контакта конструкции с жидкостью. Сформулированы конечные элементы для дискретизации сложных осесим-метричных оболочечных конструкций с жидкостью и разработаны компьютерные программы для проведения расчетов, расширяющие возможности программы, описанной в работе [4]. Также рассмотрены вопросы построения редуцированных динамических моделей осесимметричных отсеков с жидкостью для анализа сложных систем методом синтеза подконструкций.
В работах [5, 6] на пути дальнейшего обобщения постановки краевых задач выведены соотношения, описывающие динамику контактного взаимодействия конструкции с жидкостью в инвариантной трехмерной постановке на основе произвольной неортогональной параметризации контактной поверхности. Этот результат открывает путь к применению конечно-элементной дискретизации для моделирования трехмерных упругих конструкций, содержащих жидкость. При строгой математической обоснованности исходных формулировок краевых задач и их конечно-элементной дискретизации практическое применение этих результатов сталкивается с несколько неожиданным затруднением, преодолению которого посвящена настоящая работа.
Дело в том, что при построении достаточно подробных конечно-элементных моделей на свободной поверхности жидкости оказывается значительное количество узловых точек с соответствующими узловыми степенями свободы. Это приводит к тому, что при проведении расчетов в спектре гидроупругой системы появляется множество частот, соответствующих коротковолновым формам колебаний свободной поверхности, оказывающим незначительное влияние на напряженно-деформированное состояние упругой конструкции. Отфильтровывать эти частоты вручную чрезвычайно трудно, поэтому желательно на предварительном этапе редуцировать решаемую задачу о собственных значениях, оставив лишь часть низкочастотных тонов свободной поверхности, имеющих заметное влияние на динамику конструкции в целом.
Рассмотрим общую постановку краевой задачи (рис. 1). Обозначим О и Q0 — объемы, занятые упругим телом и жидкостью (в недеформированном состоянии). Поверхность упругого тела образована следующими составляющими: — поверхность полости, смоченная жидкостью объема О0; Sp — поверхность полости, подверженная действию избыточного внутреннего давления газов р0; 8и и Бс — участки поверхности, на которых заданы кинематические и динамические граничные условия. Границу жидкой массы составляют свободная поверхность £ и контактная поверхность Б0.
Полагаем, что жидкость идеальная и несжимаемая, твердое тело — линейно упругое. Малые колебания такой механической системы рассматриваются в глобальной системе координат Ох1х2х3. Перемещения точек упругого тела описываются векторным полем u = u(x) в области Q, а перемещения частиц жидкости — полем U = U(x) в области Q0. Вектор внешней по отношению к области Q0 нормали к ее поверхности S0 и £ обозначим п0. Конструкция находится в однородном гравитационном поле с вектором ускорения свободного падения G. Свободная поверхность жидкости в невозмущенном состоянии ортогональна этому вектору.
Ввиду ортогональности свободной поверхности жидкости вектору гравитационной силы G = —6Ц на £, G = Давление в жидкости можно представить в виде суммы гидростатической составляющей P0 и малой вариации p, связанной с колебаниями конструкции
Р = Ро + р, Ро = Ро + Ров -(х - х0) = Ро + Р£,
где x0 — произвольная точка свободной поверхности жидкости; р0 — плотность жидкости; p0 — статическое давление газов над поверхностью жидкости, Pg — составляющая, связанная с весом жидкости в гравитационном поле и пропорциональная глубине Pg = РoG ■ (x - Xo).
В предположении, что движение жидкости в начальный момент времени безвихревое, поле скоростей и в последующие моменты остается потенциальным, что в случае малых колебаний справедливо и для поля перемещений. Поле малых перемещений частиц жидкости можно представить как градиент скалярного поля U = УФ, x е Q0 и именно потенциал смещений Ф используется в уравнениях совместных колебаний упругой конструкции и содержащейся в ней жидкости.
Условие несжимаемости жидкости дает уравнение Лапласа для потенциала смещений АФ = 0, x е Q0, а кинематическое условие на контактной поверхности приобретает вид
дФ/дпо = и - по, х е 5о.
Вводя в рассмотрение независимую переменную п, определенную на поверхности £ и равную нормальному смещению ее точек п = U ■ п0, получаем кинематическое условие на свободной поверхности дФ/ди0 = п, x е £. Для анализа условий взаимодействия сред на недеформированной поверхности контакта вводится криволинейная (в общем случае не ортогональная) система координат аь а2: x = р(аь а2).
Ориентация осей выбирается таким образом, чтобы нормальный вектор к поверхности S0, образованный векторным произведением касательных к координатным линиям
Г1 = 1Г-г(а1'а2X г2 = Г(а1, а2)
да1 да2
совпадал по направлению с вектором внешней по отношению к области Q0 нормали к ее поверхности. Заметим, что в случае, когда сосуд представляет собой тонкостенную оболочку, контактная поверхность совмещается со срединной поверхностью оболочки.
Уравнения корректно сформулированной краевой задачи подробно рассмотрены и проанализированы в работе [5]. Там же сформулирован и вариационный принцип смешанного типа, в котором выражение лагранжиана имеет вид
L* = г* - V + A. (1)
В выражении (1) работа внешних сил ?) равна интегралу А = Г (Г - и).
Формулу для кинетической энергии записываем в виде
Т* = 1 |р112йУ- 1 |ро(УФ)2(У + |роФ(II • По)й8 + |р0<Ъпй8,
е
Со
обеспечивающем выполнение кинематических условий контакта жидкости и упругой конструкции вследствие стационарности функционала действия.
Потенциальная энергия колебаний гидроупругой системы состоит из нескольких компонент
V = У0 + У2 + Ув + Ур.
В выражении (2) потенциальная энергия деформации упругого тела 1
(2)
Уе = 1 |{ст( и)}Т {£( и)} йУ,
е
где векторы-столбцы {е(ц)} и {ст(ц)} составлены из компонент тензоров деформаций и напряжений.
12
Потенциальная энергия колебаний свободной поверхности жидкости У2 = - I р0 Оп й8.
Потенциал сил контактного взаимодействия тела с жидкостью, нагруженной гравитационными силами
У« = -
1
РI и
Зи
г1 х--г2 х
. 1 да2 2
ди
+ р0(в • и)(и • г1 х г2) !>йа1 йа2.
Потенциал сил, обусловленных избыточным давлением газа (если оно имеет место)
2 1
и 5„
Ро{и •
Зи
Г1 х ---г9 х
За9
ди
йа1йа2.
Приведенных соотношений достаточно, чтобы реализовать конечно-элементное моделирование гидроупругой системы при помощи конечных элементов упругой конструкции, элементов жидкости, элементов свободной поверхности, контактных элементов жидкости с упругой конструкцией и (если необходимо) контактных элементов газа с внутренней поверхностью содержащей жидкость полости.
Типичный вид высокочастотных собственных форм колебаний оболочечной конструкции с жидкостью показан на рис. 2. Здесь решалась задача расчета осесиммет-ричных собственных форм колебаний цилиндрической оболочки с полусферическим днищем, заполненной жидкостью. Влияние колебаний свободной поверхности на упругую оболочку в показанной собственной форме настолько мало, что ее деформации не видны на картинке, поскольку находятся в пределах т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.