ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2012, том 38, № 10, с. 855-865
= ТОКАМАКИ
УДК 533.932
РЕДУЦИРОВАННЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРАЛОВ В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКОВ © 2012 г. В. Е. Жоголев
Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия
e-mail: zhogolev@nfi.kiae.ru Поступила в редакцию 26.12.2011 г. Окончательный вариант получен 14.03.2012 г.
Исходя из кинетического уравнения, предлагается методика построения разной сложности редуцированных моделей переноса нейтралов для задач с уменьшенной размерностью. Подробно рассматривается случай цилиндрически симметричного плазменного шнура, который часто является хорошим приближением геометрии токамака. Для такой геометрии описан групповой по энергиям нейтралов алгоритм реализации кинетической модели в изотропном приближении; данный алгоритм для атомов изотопов водорода интегрирован в код ASTRA.
1. ВВЕДЕНИЕ
Ионизация нейтралов в плазме создает источник новых ионов, который влияет на формирование профилей плотности и температуры в тока-маке. Для подпитки плазменного шнура частицами используется как напуск нейтрального газа на границу плазмы, так и инжекция таблеток. Важным направлением для понимания физики процессов в плазме является разработка и усовершенствование численных моделей, которые позволяют прогнозировать распределение нейтралов по объему плазмы при том или ином способе поступления нейтралов в разряд.
Физически точная постановка задачи о переносе нейтралов предполагает решение кинетического уравнения, которое имеет 7 независимых переменных (время, 3 скорости, 3 пространственных координаты). Если не рассматривать переходные процессы, то можно исключить временную переменную, так как распределение нейтралов устанавливается очень быстро. Прямым методом решения задачи является метод Монте-Карло. Однако для достижения требуемой статистической точности обычно требуется достаточно большое время расчетов на современных компьютерах. Так, в задачах моделирования диверто-ра ИТЭР [1] один вариант расчетов по методу Монте-Карло (код B2-EIRENE) занимает время масштаба нескольких недель. При этом, несмотря на существенную двумерность задачи, расчеты траекторий частиц должны проводиться в полном трехмерном пространстве. Другой способ решения полной задачи для нейтралов связан с интегральными уравнениями, которые получаются интегрированием по характеристикам кинетического уравнения. При этом на каждой итерации приходится обращать полные матрицы большой
размерности, которая совпадает с числом разбиений рассматриваемой пространственной области на элементы.
В работе [2] был предложен более эффективный метод решения задачи о переносе нейтралов. В его основе лежат формулы баланса частиц, которые устанавливают связь входящих и выходящих потоков нейтралов через плоские грани ячейки пространства в дискретной задаче. В результате, подобно задачам диффузионного типа, в уравнениях оказываются связанными между собой переменные, относящиеся только к соседним ячейкам. При этом для определения коэффициентов, входящих в каждое такое уравнение, требуется вычисление интегралов определенного вида. К сожалению, в [2] предлагаются только алгоритмы построения дискретных моделей разной сложности для нейтралов (в том числе с группами частиц по энергиям), но не приводятся постановки соответствующих краевых задач на языке непрерывных функций. Таким образом, о точности решения задачи для распределения нейтралов можно судить только из сравнения с результатами расчетов по другим моделям.
Часто для тех или иных целей находят применение упрощенные модели нейтралов. В частности, в работе [3] для моделирования поведения нейтралов используют диффузионное приближение. Однако приведенное там обоснование диффузионного приближения из гидродинамических соображений не носит строгого характера и оставляет вопрос о его применимости. Построение упрощенных моделей для нейтралов актуально для транспортных кодов, поскольку использование полных моделей очень сильно замедляет их работу. С другой стороны, для моделирования процессов переноса в плазме
требуются только средние по магнитным поверхностям значения концентрации и энергии нейтралов. По этим причинам в транспортном коде ASTRA [4] до последнего времени использовалась модель Ю.Н. Днестровского [5], в которой принято приближение плоского слоя и имеются другие упрощения, такие как учет только скорости ионов при расчете сечения перезарядки.
В данной работе, исходя из кинетического уравнения, предлагается методика построения редуцированных моделей переноса нейтралов для задач с уменьшенной (из-за симметрии) размерностью (2D, 1D). Она основана на разложении функции распределения в ряд по угловым переменным в пространстве скоростей, а число используемых членов ряда определяет детальность учета анизотропии. Подробно рассмотрен случай цилиндрической плазмы. Показано, при каких упрощениях из основного приближения, которое аналогично изотропному случаю в [2], получаются уравнения для концентрации и температуры нейтралов гидродинамического вида. Приведено сравнение результатов расчетов по разным моделям для тестового случая. Групповой по энергиям нейтралов (атомов изотопов водорода) алгоритм реализации основного кинетического приближения интегрирован в код ASTRA.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Все нейтралы разделим на первичные и вторичные. Первичные нейтралы проникают в плазму через ее границу или образуются в результате испарения таблетки. Они остаются таковыми до момента первого акта взаимодействия с другими частицами плазмы. Вторичные, или термические, нейтралы возникают при рекомбинации или же в результате перезарядки нейтралов на собственных ионах. Уравнения для функций распределения первичных, f0(t, r, V), и термических, f(t, r, V), нейтралов имеют похожий вид
+ (V • V)f0 +v/o = G0,
f dt
Ц- + (V • V)f + Vf = G(f),
at
(1)
fo
o |(n ■ V) < o
f\ (п
V) < o
=f •
= o.
(la) (2a)
Здесь п обозначает внешнюю к поверхности плазмы нормаль. Смысл разделения всех нейтралов на две части состоит в том, что уравнения для них можно решать разными методами, так как в уравнении (1) источник частиц, О0, задается детерминированным образом (без инжекции таблеток он нулевой), а источник О в уравнении (2) существенно зависит от элементарных процессов
0(1) = {V* + сх (/о (V') + / (V')) йV} /,(У).(3)
Здесь /1 — максвелловская функция распределения ионов плазмы по скоростям, а vR — частота рекомбинации. В источнике (3) не учитываются упругие столкновения нейтралов друг с другом, они из-за малости сечения (~10-16 см2) могут быть важны только в слабо ионизованной плазме с температурой Те < 1 эВ. Однако такие условия здесь рассматриваться не будут.
Отдельно остановимся на вопросе о различных средних значениях скоростей перезарядки, которые должны входить в разные формулы. Для скорости перезарядки холодных атомов водорода, усредненной по распределению собственных ионов, имеющих массу т, будем использовать приближенное выражение [6] вида
<aV> cz = С
Ж,
(4)
со степенью а = 0.3. Если при практическом использовании в формулу (4) подставить температуру и массу в несистемных единицах, [Т ] = кэВ и [т(] = а.е., то коэффициент С равен 7.94 х 10-14 м3/с. Аппроксимации (4) соответствует зависимость неусредненной величины (а V) сх от энергии Е
(oV)cx =
Г(3/2) Г(а + 3/2)
С
'В,-ла
m,
= Ytc
/ ^ \ а
2 В
v3 m у
(4a)
(2)
V = v j + V cx.
Здесь Vj — частота ионизации нейтралов электронами, а vcx — усредненная по максвелловскому распределению ионов частота перезарядки нейтралов с соответствующей энергией.
Уравнения (1) и (2) дополняются граничными условиями. Для первичных нейтралов предполагается, что они поступают внутрь плазмы с изотропным распределением, а термические нейтралы вообще не приходят из внешней области
где Г(х) — гамма-функция. Для сокращения записи дальнейших формул и удобства сравнения усредненного и неусредненнго значения скорости перезарядки введен множитель уТ(а = 0.3) = = 1.503Г(1.5)/Г(1.8) ~ 1.075. Интересным следствием зависимости скорости перезарядки от энергии является то, что средняя энергия после первой перезарядки холодного нейтрала больше средней тепловой энергии ионов,
(B(aV) ) cx (aV)
cx
а+2)Т-
Вообще говоря, для широкого диапазона энергии имеются достаточно сложные и точные аппроксимации сечений перезарядки [7]. Для дейтерия при Е = 1.5 кэВ значение скорости перезарядки (4а) практически совпадает (с точностью 3.5%) с [7]. В достаточно широком диапазоне энергий, Е < 15 кэВ, сравнительная точность формулы (4а) составляет 20%, и ею вполне можно пользоваться.
В случае когда нейтральные атомы не покоятся, вместо (4а) имеем выражение
(аГ)сХ(х,У, V') = уТС
V2 + V '2-
2х^
да
(5)
Здесь аргументами являются модули скоростей атомов и ионов, V = IV'|, V = ¡VI, и косинус угла между ними, х = (V • V')/VV. При изотропном распределении по направлениям движения ионов среднее по углам значение выражения (5) равно
Утс ^
[аУ] сх (VГ') =
4(а +1)^' /3
(а+1)!
"(V + V ')2" (а+1) "(V - V ')2"
_ 3 _ _ 3 _
(6)
(8)
«{(стГ)сх -|аУIсх}2» _
«[оЦ Сх » (а +1)2 Г(2а +1.5)
(10)
1 = (0.188)2
Г(2а + 2.5) - Г2(а + 1.5)/Г(0.5) дает 18.8%. Здесь двойные угловые скобки обозначают усреднение по двум максвелловским рас-пределеним с одинаковыми температурами атомов и ионов.
3. ТРАНСФОРМАЦИЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРАЛОВ
Выделим симметричную, /+, и антисимметричную, /_, части функции распределения
/+(У) = 1{/(V) + / (-V)},
(¿V) ех/^Щех 1.6 г
Усреднение выражения (6) по максвелловскому распределению ионов дает еще одно нужное значение —
{оГ}сх (V ',Т) = <[аГ]сх). (7)
Теперь можно записать определения всех входящих в уравнения (1), (2), (3) частот
Vсх = п{аV}сх, VI = пе(аV)т(Те), V х = Пе (а V) х (Те ).
На рис. 1 показана зависимость (о^Сх/[оЩсх от косинуса угла, х, при нескольких значениях отношений квадратов скоростей частиц, (У/У)2 = = 2±(т -1), т = 1, 2, 3, 4. Наибольшее отклонение такого отношения от единицы имеет место при равных и одинаково направленных скоростях, V = V, х = 1. Однако при увеличении отношения скоростей эта разница уменьшается. В д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.