535.31:681.7.001
Рефракция лазерной плоскости в сферически неоднородном тепловом пограничном слое
О. А. ЕВТИХИЕВА
Решена задача определения траекторий геометрооптических лучей для модели лазерной плоскости в сферическом тепловом пограничном слое и получены уравнения проекции лазерной плоскости, прошедшей через слой. Исследованы качественные изменения картины рефракции лучей и проекции лазерной плоскости для двух моделей пограничного слоя. Показано, что при определенных условиях результаты измерения параметров указанной проекции можно использовать для расчета температурного поля в слое.
Ключевые слова: лазерные измерения, рефракция, неоднородная среда, тепловой пограничный слой.
The problem of determination of geometric optical rays trajectories for the model of laser plane in spherical thermal boundary lay was solved, and the equations of the laser plane projection passing through that lay were obtained. The qualitative changes of rays refraction picture and projection of the laser plane for two models of boundary lay were investigated. It is shown, that under the certain conditions the results of that plane parameters measurements may be used for calculations of the temperature field in the lay.
Key words: laser measurement, refraction, inhomogeneous media, boundary temperature lay.
В классических оптических исследованиях процессов тепломассообмена применяются прежде всего теневые и интерференционные методы [1, 2], в которых используются достаточно широкие оптические пучки, позволяющие получить изображение фазового объекта. Количественное исследование распределения температуры в пограничных слоях жидкости вблизи нагретых тел в этом случае вообще невозможно или выполняется с большой (свыше десяти процентов) погрешностью. Развитие лазерной техники и использование узких коллимированных лазерных пучков позволяет применять для указанных целей рефракционные методы, основанные на измерении отклонения узкого пучка в температурном поле, и исследовать тонкие пограничные слои, в частности, эффект «прилипания» пограничного ламинарного слоя [2]. Например, для диагностики оптически неоднородных потоков жидкостей и газов разработан компьютерно-лазерный рефракционный метод, в котором поток зондируется тонкой лазерной плоскостью (лазерный пучок с эллиптическим сечением) [3, 4]. Экспериментальные исследования показали, что при распространении лазерной плоскости около нагретых тел наблюдается ее сложное искривление, зависящее как от формы и температуры нагретого тела, так и от условий проведения эксперимента: толщины лазерной плоскости, ее расположения относительно нагретого тела, геометрических параметров. В этой связи представляет интерес компьютерное моделирование распространения лазерной плоскости в оптической неоднородности, характеризующейся различными законами распределения показателя преломления. В представленной работе численными методами проведено исследование рефракции лазерной плоскости в сферическом тепловом слое для разных моделей распределения температуры с целью разработки лазерного метода диагностики температурного поля вблизи границы нагретого тела в жидкости и других нестационарных процессов тепломассообмена.
Показатель преломления в задачах тепло- и массооб-мена. Заметим, что все оптические методы диагностики потоков по сути определяют поле показателя преломления, которое зависит от поля температуры Т(х, у, ¿) или другой исследуемой величины. В смешанных процессах тепло- и мас-сообмена изменение показателя преломления зависит от двух величин [2]:
Сп = СГ + СО, (1)
где дп/дТ, дп/дС — производные показателя преломления по температуре Т и концентрации С. Если даже известны обе частные производные в (1), то в общем случае трудно получить поля температур и концентраций по измеренному полю показателей преломления. Часто одно из двух полей пытаются получить расчетным путем или при помощи неоптических методов измерения. Кроме того, выбрав рабочую среду, можно удовлетворить следующему соотношению
ШЛГ >> дсЛ0, (2)
где ЛТ, ЛС — наибольшие разности температур и концентраций, например, между значениями на стенке и во внешнем потоке.
В нестационарных задачах можно воспользоваться тем, что два процесса протекают с различными скоростями, поскольку в жидкой среде в большинстве случаев коэффициент теплопроводности намного превышает коэффициент диффузии. При исследовании изменения температурного поля нагретого шара, помещенного в воду, будем полагать, что его остывание происходит в основном за счет механизма теплопроводности, а постоянная времени установления конвективных потоков достаточно велика, чтобы можно было считать процесс квазистационарным. В соответствии с из-
ложенным будем рассматривать только температурное поле, не учитывая процессов массообмена.
Функция показателя преломления воды от температуры для лазерного излучения длиной волны X = 0,6328 мкм аппроксимируется зависимостью
n(T ) = 1,3328 - 0,000051 T - 0,0000011 T2,
(3)
полученной на основании дисперсионной формулы и данных [5]. Здесь температура Т измеряется в градусах Цельсия. Коэффициент, характеризующий изменение показателя преломления при изменении температуры на один градус, будет
¿п(Т) / ¿Т = -0,000051 - 0,0000022 Т,
т. е. при изменении температуры воды от 20 до 100 °С этот коэффициент изменяется в пределах -(0,00010 ... 0,00027) К-1.
Модель температурного поля в сферическом пограничном слое.
Математическое моделирование рефракции лазерной плоскости в сферически симметричном температурном поле нагретого шара радиуса R проводится для радиальной зависимости температуры
T(r ) = T0 + AT exp
(r - R -A R)2
o2
(4)
где T0 , AT, AR, a — параметры модели температурного поля. Параметр T0 определяется температурой стенок кюветы с жидкостью, значение T(R) равно температуре на поверхности шара, а отношение AT/a соответствует градиенту температурного поля в пограничном слое толщиной а. Значение градиента температуры при r = R определяется сдвигом AR, причем при теплопроводности шара, не равной теплопроводности жидкости, имеется скачок градиента температуры на поверхности шара и grad [T(r)] ф 0. Однако при исследовании не исключается возможность равенства или близости к нулю градиента температуры в пограничном слое (прилипание пограничного слоя), отчего зависит выбор гауссовой модели температурного поля.
Постановка задачи и расчетные формулы. В прозрачной жидкой среде исследуется рефракция лазерной плоскости в радиальной температурной неоднородности, которая создается нагретым шаром. Зависимость показателя преломления воды n(T ) от температуры описывается выражением (3), а температуры в пограничном слое — функцией (4).
Геометрию задачи иллюстрирует рис. 1. Лазерная плоскость Í, перпендикулярная оси ОХ, распространяется вдоль оси OZ. Начало координат совмещено с центром нагретого шара 2. После прохождения оптической неоднородности лазерная плоскость преобразуется в сложную поверхность, проекция которой 4 наблюдается на плоскости 3, перпендикулярной оси OZ и расположенной на расстоянии z1 от начала координат.
Связь между декартовыми и сферическими координатами задается соотношениями: x = r sin 8 cos ф; y = r sin 8 sin ф; z = r cos 8. При z = z0 уравнение лазерной плоскости x = x0. Прицельный параметр лежащего в этой плоскости луча определяется параметром ф:
Рис. 1. Геометрические параметры задачи: 1 — лазерная плоскость; 2 — нагретый шар; 3 — матовый экран; 4 — проекция лазерной плоскости
р = x0 / cos ф.
При сферической симметрии луч остается в плоскости, задаваемой параметром ф, и его траектория выражается функцией r (8, ф).
Траектории лучей рассчитывают на основе соотношений, описывающих распространение луча в сферической неоднородности [6]. Методика решения задачи состоит в разбиении траектории луча на два участка: от точки входа до точки поворота и от точки поворота до плоскости наблюдения. Точка поворота в рассматриваемом случае располагается на минимальном расстоянии rt от луча до начала координат (центра неоднородности) и находится из уравнения
rtn (rt) = "о Р,
где n(rt ), n0 — показатели преломления среды соответственно в точке на расстоянии rt и при r ^
Радиальная координата луча при входе в среду (при
z = z0)
ro (Ф):
2
cos2 ф
z 2.
Угол 8 = 8t, соответствующий точке поворота луча
no xo dr_
Г (Ф)
8f (Ф) =8o (Ф) + J
r0 (ф) r cos Ф-Jñ2 (r) r2 - n2 x2 / cos2 ф
где угол 80 характеризует направление луча при входе в среду,
2
x
9о (Ф)=f + arctg i^p.
dTldr, К/мм О
Уравнение луча до точки поворота
6(r, ф) =6о(ф) + j
"о xо dr
r0 (ф) r cos ф
P
2 2 2 2 (r) Г2 - ПQ x2 / cos2 ф
(5)
и после точки поворота
rt (ф)
6 (r, ф) =6, (ф) + J -
по *о dr
Г r cos ф-Л n2 (r ) r2 - n 2 x2 /cos2 ф
(6)
Соотношения (5), (6) составляют основу для расчета рефракции лазерной плоскости в радиальной неоднородности с заданным законом распределения показателя преломления. Угол ф является параметром, задающим произвольный луч на лазерной плоскости, распространяющейся параллельно оси 07, что позволяет описать все семейство лучей, принадлежащих этой плоскости (см. рис. 1). На экране, расположенном на расстоянии г1, радиальная координата г (г1, ф) находится из уравнения
r (z1, ф) cos 6 (r, ф) :
(7)
а координаты проекции искривленнои поверхности на экране
x (z1, ф) = r (z1, ф) sin 6 (r (z1, ф), ф) cos ф;
У Ц, ф) = r(z1, ф) sin 6 (r(z1, ф), ф) sin ф. (8)
Результаты компьютерного моделирования. Численные расчеты проводили по формулам (5)—(8) для параметров температурной зависимости (4), близких к условиям выполнения эксперимента [4]. На рис. 2 представлены графики радиальной зависимости температуры для двух моделей распределения температуры около нагретого шара при следующих параметрах:
1) R = 12 мм, T0 = 20 °С, AT = 70 °С, AR = 0, a = 1 мм;
2) R = 12 мм,
T0 = 19,7 °С,
AT = 80 °С, AR = -5 мм, a = 1,4 мм.
Равенство AR = 0 соответствует случаю, когда дгас1 [Т^)] = 0, а при удалении от поверхности шара градиент температуры сначала возрастает, а потом убывает, что обусловлено наличием точки перегиба на кривой 1 (см. рис. 2). При этом
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.