РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ДИПОЛЬНОГО МОМЕНТА КВАДРАТНЫХ МАССИВОВ ДИПОЛЕЙ
А. М. Шутый*
Ульяновский государственный университет 432970, Ульяновск, Россия.
Поступила в редакцию 24 декабря 2013 1".
Исследованы дипольные решетки, представляющие собой квадратные массивы диполей. Получены разные типы равновесной конфигурации массивов и показаны условия их установления. На основе параметрических бифуркационных диаграмм рассмотрены основные виды регулярных и хаотических колебательных режимов суммарного дипольного момента систем; исследована их зависимость от амплитуды, частоты и поляризации переменного поля, а также от исходной равновесной конфигурации массивов. Показаны сценарии возникновения хаотических режимов, в том числе через установление и изменение квазипериодических колебаний дипольного момента системы. Выявлено состояние динамической биста-бильности, при котором может быть реализован стохастический резонанс — рост отклика системы на воздействие гармонического сигнала при наличии шума.
DOI: 10.7868/S0044451014060093
1. ВВЕДЕНИЕ
Интерес к самоорганизующимся системам, в том числе к ансамблям наночастиц, приобрел особое значение в связи с достижениями в области информационных технологий и наноструктур. Ансамбли одно-доменных частиц являются также удобными объектами для изучения фазовых переходов и других коллективных эффектов вследствие возможности эффективного управления их состоянием. В последние годы ведется систематическое изучение и внедрение в практику создаваемых нанотехнологиями [1] дипольпых, в частности магнитных, сверхструктур. Среди них особый интерес представляют двумерные сверхструктуры в виде квадратных решеток наночастиц с формой, близкой к круговой [2]. Упорядоченные структуры ферромагнитных наночастиц можно сформировать методом нанолитографии [3], используя в качестве диполей состоящие из атомов железа наночастицы, которые имеют размер около 10 им (число атомов ~ 100, что обеспечивает их сферическую форму) и магнитный момент 3//д [4]. Уже сейчас разброс наночастиц по размерам при соответствующем контроле может быть меньше 5 % [5].
E-mail: shutv'fflmail.ru
Дипольный момент наночастиц можно считать классической величиной, и в случае одиодомепиого состояния основной вклад при взаимодействии наночастиц вносит диполь-дипольное взаимодействие [3,6]. Накопители информации, изготовленные на основе массивов из магнитных диполей, являются одним из наиболее перспективных видов запоминающих устройств.
В связи с этим большое значение приобретают также исследования влияния на дипольные решетки статических и переменных полей, выявление нелинейных регулярных и хаотических режимов, что представляет интерес, связанный не только с практическим применением, но также с общими вопросами нелинейной динамики. При широко проводимых в настоящее время исследованиях хаотических эффектов [7 9] актуальным является как выявление условий генерации или подавления хаоса, так и изучение влияния стохастических сигналов на динамические режимы. Это связано, в частности, с рядом эффектов, обусловленных влиянием шума [7]. К одному из таких эффектов относится стохастический резонанс, обнаруженный в системах различной природы и проявляемый в усилении отклика системы на воздействие регулярного сигнала при наличии шума [10 12]. При исследовании нелинейной динамики во многих случаях важным является нахождение состояний бистабилыгости [7,8,13], так как в них
система оказывается неустойчивой по отношению к дополнительным возмущениям.
В настоящей работе при предварительном рассмотрении различных типов равновесных конфигураций квадратных массивов диполей и способов их установления исследуются нелинейные колебательные режимы суммарного диполыгого момента систем под воздействием внешнего переменного поля. Выявлены основные особенности регулярных и хаотических колебаний, обусловленные как параметрами внешнего поля его частотой, амплитудой и поляризацией, так и исходной равновесной конфигурацией массивов. Для анализа переходов между колебательными режимами при изменении параметров поля построены бифуркационные диаграммы. Приведены сценарии возникновения хаотических колебаний, в частности при трансформации аттракторов квазипериодических режимов. Показана возможность реализации стохастического резонанса в условиях состояния динамической бистабилыгости диполыгого момента системы.
2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
При рассмотрении системы диполей полагаем, что они связаны диполь-дипольным взаимодействием и каждый из них может поворачиваться вокруг центра симметрии. Положение диполей в системе принимается неизменным, а тела с дипольными моментами однородными и шарообразными [14]. Динамические уравнения для системы диполей имеют вид [15 17]
Ji
dwi
ИГ
dp. dt
<1,0?, = p, x F,
■ = WjX Pi,
(1)
где р; и u>i = dipi/dt ДИПОЛЫ1ЫЙ момент и угловая скорость ¿-го диполя (¡¿¡J угол поворота диполя вокруг оси j = х. у, г), Ji момент инерции, Q-i параметр диссипации. Поле, создаваемое в месте расположения ¿-го диполя остальными диполями и внешним полем f, определяется выражением
пфг
З^ггДря
«3/L
(2)
где е;„ = г, „//•,„ единичные векторы вдоль направления, Г;„ вектор между расположениями ¿-го и /¿-го диполей, /,„. = rin/u расстояние, нормированное на характерный параметр системы и. В рассматриваемых массивах, представляющих собой
квадратные решетки, и расстояние между ближайшими диполями в ряде. Составляющие массив диполи принимаются идентичными: |р,| = р, = J, а, = а. Далее перейдем к безразмерным параметрам [15]:
Ра =
ЕЛ р '
з =
а
vJ'
OJi =
d<Pi
~d7
(3)
где V = и дифференцирование проводит-
ся по безразмерному времени т = ь>1. Компоненты внешнего поля преобразуются к виду ф^ = /¿ы3 /р. В случае решеток, формируемых частицами с магнитным дипольным моментом, в уравнениях (1), (2) ^ и £ являются напряжонностями магнитных полей; в случае решеток электрических диполей в выражения входят соответственно напряженности электрических полей.
3. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ КВАДРАТНЫХ МАССИВОВ ДИПОЛЕЙ
Численный анализ показывает, что после ориентации диполей квадратных массивов вдоль внешнего поля при последующем выключении поля устанавливается, в зависимости от величины массива, один из двух типов равновесной конфигурации диполь-ных моментов. На рис. 1« приведена равновесная конфигурация массивов 5 х 5 и 7 х 7 после выключения поля, ориентированного вдоль оси у, совпадающей с одной из сторон массива (ось х является нормалью к плоскости, в которой расположен массив). Для данных массивов, а также для других массивов с нечетным числом диполей более 9 (для массивов 9x9, 11 х 11 и т. д., расчеты проводились до систем 17 х 17) равновесная конфигурация оказывается зор-калыю-симмотричной относительно диагонали массива, при этом ориентация дипольных моментов в центральных областях таких систем имеет «седлообразный» вид. Далее указанную равновесную конфигурацию будем называть симметричной.
На рис. 16,в приведены две равновесные конфигурации массивов 6 х 6 и 8 х 8, характерные и для больших массивов с четным числом диполей более 16 (для массивов 10 х 10,12 х 12,...). При этом после выключения внешнего поля устанавливается только конфигурация б, называемая далее несимметричной, когда присутствует центральная область, в которой направление дипольных моментов мало меняется относительно направления ранее приложенного внешнего поля и противоположного ему направления. Конфигурация же в, подобная равновесной кон-
%
%
/ у V V
\
ч'чГЧ
■Г / /
¿.Л
V ♦
Рис. 1. Симметричная (в,о) и несимметричная (б) равновесные конфигурации квадратных массивов диполей
фигурации массивов 5 х 5 и 7 х 7 и имеющая ось симметрии четвертого порядка, не может быть установлена с помощью внешнего статического поля. Суммарный дипольный момент системы Р = ^ р.;, в таком состоянии равен нулю в отличие от конфигурации 6. Для установления данной равновесной конфигурации, также далее именуемой симметричной, требуется предварительное возбуждение определенных динамических режимов дипольного момента системы и последующее их выключение (о чем будет сказано ниже).
Объяснение того, что массивы с четным числом диполей могут иметь несимметричную равновесную конфигурацию (рис. 16), а с нечетным числом диполей только симметричную (рис. 1е), может заключаться в следующем. При четном числе диполей оказывается возможным разбиение массива на пары рядов с диполями, ориентированными по ранее приложенному полю, и противоположно ориентированными диполями. В случае же почетного числа диполей при разбиении на пары рядов один ряд оказывается «лишним», что и приводит к изменению всей конфигурации системы по симметричному типу. Однако заметим, что несимметричная конфигурация обнаружена также в массиве 13 х 13. Исключение, кроме того, составляют массивы 3 х 3 и 4 х 4, так как являются слишком малыми для формирования характерных элементов соответствующих конфигураций; в результате система 3x3, как правило, имеет конфигурацию, близкую к несимметричной, а система 4x4 имеет только симметричную конфигурацию. В случае больших массивов более 17 х 17 наблюдаются нарушения симметрии равновесных конфигураций, связанные с возникновением доменов.
Численный анализ проводился методом Рун-ге Кутта четвертого порядка, записанным для системы 6ЛГ уравнений, где Лг число диполей в массиве. Как показали расчеты для различных систем с диполь-дипольным взаимодействием, при численном анализе недостаточно учитывать связь каждого диполя только с ближайшими его соседями. В данных исследованиях рассчитывалась система уравнений, в которой состояние каждого диполя определяется его взаимодействием со всеми диполями массива. Для полученных равновесных конфигураций массивов были также проведены исследования величины энергии диполь-дипольного взаимодействия, которые показали, что любое изменение ориентации диполей (в том числе в направлении нормали к плоскости массивов) в данных конфигурациях приводит к ее увеличению, что подтверждает устойчивое равновесно полученных ориентационных состояний.
4. РЕГУЛЯРНЫЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАН
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.