ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 5, с. 483-490
Номер посвящается 80-летию со дня рождения академика Алексея Митрофановича Кутепова
УДК 577.4:551.510.42:574.9:550.3
РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА ТУРБУЛЕНТНОЙ СТРУКТУРЫ МОДЕЛЬНЫХ ГАЗОВЫХ ПОТОКОВ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ТРУБОПРОВОДАХ
© 2009 г. П. Д. Саркисов, О. Б. Бутусов, В. П. Мешалкин
Московский государственный университет инженерной экологии Российский химико-технологический университет им. Д.И.Менделеева, Москва
butusov-1@mail.ru Поступила в редакцию 16.03.2009 г.
Проведен анализ турбулентности двухмерных модельных газовых течений, основанный на использовании методов реконструкции аттракторов динамической системы и оценках фрактальной размерности по временным рядам газовых потоков. Оценки фрактальной размерности и реконструкция аттракторов были получены по временным рядам поперечного компонента скорости потока. При этом были использованы методы реконструкции с помощью векторов Такенса и векторов производных. На основании компьютерных экспериментов установлено, что при распространении ударной волны через конфузор трубопровода на фазовом портрете наблюдаются три вида периодических движений газового потока, а также особенность, играющая существенную роль в смене пульсационных режимов. Обнаружена также область динамического хаоса, к которой притягиваются фазовые траектории, выходящие из различных начальных точек.
ВВЕДЕНИЕ
Вибрационная устойчивость аппаратов химической технологии и технологических трубопроводов определяется многими разнообразными характеристиками газовых потоков, но в особенности зависит от воздействий, оказываемых на аппараты и трубопроводы импульсами давления нестационарных гидродинамических процессов и ударных волн [1-6]. Воздействие импульсов давления может приводить к образованию трещин и, как следствие, к авариям на производстве. В работах [7-10] для оценки воздействия газовых потоков на аппараты химической технологии и технологические трубопроводы предложен ряд методов, основанных на использовании как классических, так и фрактально-статистических интегральных показателей. Известно, что развитие турбулентности может осуществляться через различные гидродинамические сценарии с образованием промежуточных диссипативных структур [11, 12]. Ландау рассматривал переход к турбулентности как каскад бесконечной последовательности неустойчи-востей, каждая из которых порождает новую частоту [13]. В более поздних исследованиях Рюэль, Та-кенс и Ньюхауз [14] показали, что после нескольких первых неустойчивостей фазовая траектория частиц течения начинает притягиваться к ограниченной области фазового пространства, в которой первоначально близкие траектории частиц разбегаются и движение приобретает хаотический характер. Эти области фазового пространства получили название "странных аттракторов" [14]. Импульсы давления, воздействующие на стенки аппаратов или трубо-
проводов в процессе развития турбулентности, существенно зависят от сценария гидродинамического перехода к турбулентности.
Такенс показал [15], что можно восстановить некоторые свойства аттрактора по временной последовательности одной из гидродинамических переменных, таких, как координаты, компоненты скорости или импульса частиц потока и др. Таким образом, траектории частиц потока могут быть использованы для получения числовых показателей хаотического состояния течений, или фрактально-статистических интегральных индексов нестационарных гидродинамических процессов. Метод, предложенный Такенсом, получил название реконструкции уравнений или аттракторов динамической системы. В настоящее время этот метод широко применяется в различных областях науки и техники. С помощью реконструкции аттракторов были получены математические модели нелинейных электрических цепей, лазеров, волоконных оптических резонаторов, а также многих динамических систем в химии и биологии [16]. Реконструкция закономерностей поведения динамической системы по экспериментальным данным получила также название технологии Data Mining [17]. Эта технология, наряду с классическими методами статистического анализа, такими, как метод главных компонент, метод группового учета аргументов, калмановское и баесовское прогнозирование временных рядов, включает также современные методы фрактально-статистического анализа, нейронных сетей, генетических алгоритмов и др. [17-19].
ФРАКТАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОЙ СТРУКТУРЫ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ГАЗОВЫХ ПОТОКОВ
Для анализа колебательных свойств нестационарных гидродинамических потоков в наших работах [7-10] предложен ряд фрактально-статистических показателей.
Фрактальная хаусдорфова размерность траектории частиц [20]. Траектория частицы потока аппроксимируется ломанной линией, состоящей из N-звеньев одинаковой длины е. Если траектория обладает фрактальными свойствами, то выполняется следующее соотношение: N(e) = е-1, где d - фрактальная хаусдорфова размерность траектории. Для расчета фрактальной размерности может быть использовано следующее предельное соотношение [20]:
df = lim
logN(е)
°i°g f е
(i)
dc = lim
log С(е)
е^ о log е
(2)
N N
С(е) = N220(е - X - *j\)'
(3)
= i j = i
рии может быть рассчитана по следующей формуле:
K = K (X;) =
X ' y'' - X'' y'
/ ,2 -2, 3/2'
( X' + y' )
(4)
где х и у - координаты частицы в газожидкостном потоке.
Результатом вычисления по формулам (4) является массив локальных искривлений траектории. По этим данным рассчитывается средняя кривизна для всей траектории, либо для отдельных ее участков
или скользящего окна:
Ku = Лг, УЛ N ¿-tj
NKj' „де ^ =
Более точные оценки получаются, если вместо ломаной линии использовать покрытие траектории минимальным количеством квадратов со стороной, равной £. При этом И(£) представляет собой количество квадратов, покрывающих траекторию.
Корреляционная размерность траектории частиц или временного ряда [11, 12]. Корреляционная размерность может быть рассчитана по следующей формуле:
А N¿-4
= N - N - число узлов траектории от начальной до конечной точки анализируемого участка гидродинамического потока.
Показатели сходства траекторий. Данная группа показателей предложена для количественной оценки сходства траекторий различных газовых частиц в пределах заданного участка потока. Большие величины показателей сходства указывают на общие закономерности поведения и одинаковый характер геометрической структуры траекторий. В качестве конкретных показателей сходства предложены следующие: индекс различия, Фурье-индекс различия и корреляционный индекс сходства траекторий.
Индекс различия траекторий определяется по формуле
5'
(i)
= min у
lr(r) _ Xр) I Л1 Л1+k '
(5)
i = i
где N - количество узлов в траекториях, г, р - номера траекторий,],] + к - индексы узлов вдоль траектории.
Фурье-индекс различия траекторий определяется по формуле
где £ - длина стороны квадратов, используемых для покрытия точек траектории частиц или временного ряда. С(£) - корреляционный интеграл, который рассчитывается по следующей формуле:
5^Р = min у
I (r) (р)| a; - a;
(6)
где N - число точек траектории или временного ряда, б - ступенчатая функция Хэвисайда, х, - координаты точек траектории. Из формулы (3) следует, что числитель представляет собой число интервалов между двумя различными точками траектории, которые меньше £.
Кривизна траектории частиц. Данный показатель предложен для оценки локальных и нелокальных процессов, происходящих при изгибах гидродинамических течений. Локальная кривизна траекто-
где а(г), а( р) - коэффициенты разложения траекторий в ряды Фурье, Ь - количество используемых для сравнения гармоник. Корреляционный индекс сходства траекторий равен
x(r) - x(r))( x(р) - x( р))
R =
r, p
i = 1
.(r) Лr)s / (p) (PK 2
NN
/ (r) I ( X; - X
i=1 i=1
(7)
У
)£< Xp) - Xp))'
(г) (р)
где г и р, х и х - индексы траекторий и средние значения координат частиц потока.
N
i
N
иу, м/с
60 40 20 0 -20 -40 -60
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
г
Рис. 1. График поперечной компоненты скорости газового потока в одной из точек поперечного сечения конфузора.
250 200 150 100 50 0
-50 -100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
т
Рис. 2. Графики автокорреляционной функции для четырех временных рядов поперечной компоненты скорости газового потока.
Описанные выше интегральные показатели позволяют оценить пульсационную и вихревую гидродинамическую структуру нестационарных потоков в аппаратах химической технологии или в сложных трубопроводах. Эти фрактально-статистические нестационарные гидродинамические процессы дополняют и расширяют систему имеющихся в распоряжении исследователей и инженеров традиционных интегральных показателей.
ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Для реконструкции уравнений и аттракторов гидродинамической системы нами использованы модельные течения, рассчитанные для ударной волны в конфузоре технологического трубопровода установки сброса избыточного давления в аппаратах химической технологии на факел [7, 9]. Использованная компьютерная модель основана на классических моделях гидродинамики: "частицы в ячейке" [21] и Мак Кормака [22]. Она позволяет моделировать сложные гидродинамические течения в различных узлах аппарата химической технологии для различных комбинаций начальных и граничных условий, а также при разных физико-химических свойствах транспортируемых газов.
В расчетах фрактально-статистических показателей использованы методы оценки корреляционной размерности по формулам (2) и (3) [11, 12, 20], а также метод построения векторов состояния динамической системы с помощью задержек и последовательного дифференцирования временного ряда [16, 19].
В качестве переменных временного ряда использованы поперечные компоненты скорости га-
зового потока в четырех различных точках поперечного сечения конфузора. Интервал временного ряда At = 10-4 с. Длина временного ряда N = = 1000 узлов. График одного из временных рядов показан на рис. 1.
Корреляционная размерность была рассчитана с помощью метода задержек временного ряда. Для этого из исходного ряда была получена следующая система в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.