РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЯДЕРНЫЕ ПОПРАВКИ К СПИН-ЗАВИСИМОЙ СТРУКТУРНОЙ ФУНКЦИИ ДЕЙТРОНА д? В ПЕРЕМЕННЫХ СВЕТОВОГО КОНУСА
Ф. Ф. Павлов *
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет 195251, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 24 августа 2011 г.
Рассматривается релятивистский дейтрон как система двух сильновзаимодействующих нуклонов (дву-нуклонное приближение) в формализме светового конуса. Рассматривается техника расчета средней спи-ральности протона в дейтроне в переменных светового конуса, показан рецепт последовательного вычисления релятивистских ядерных поправок к средней спиральности протона в дейтроне и спин-зависимой структурной функции дейтрона </Р, обсуждается насколько изменится правило сумм Бьёркена с учетом релятивистских поправок.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрение дейтрона в привычном нерелятивистском приближении не применимо к эффектам, связанным с наличием больших внутриядерных импульсов в дейтроне, и не может дать описание всей совокупности экспериментальных данных. Поэтому учет релятивистских эффектов, связанных с высокоимпульсной компонентой в дейтроне, является весьма актуальным и требует адекватного теоретического описания.
В данной работе волновая функция дейтрона аппроксимируется протон-нейтронным фоковским состоянием. В работе используются развитые ранее методы релятивистской теории поля в переменных светового конуса, успешно применяемые в квантовой хромодннамнке для описания спиновых явлений при эксклюзивном рождении векторных мезонов в глубоконеупругом рассеянии .пептонов па протонах [1].
Мы рассматриваем дейтрон как суперпозицию двунуклонных фоковских состояний с инвариантной массой, зависящей от относительного импульса протон-нейтронной пары. Условие поперечности векторов поляризации надо накладывать на уровне
Е-таП: {'.раукгей'ШехрЬ.stu.neva.ru, pavlovfMorifflmail.ru
I
I я
Рис. 1. Фейнмановская диаграмма для дейтрона
фоковских компонент, и они будут зависеть от инвариантной массы фоковской компоненты. Такой «бегущий» продольный вектор поляризации в ранних оценках релятивистских эффектов не использовал-
Техника вычисления ядерных поправок к спин-зависимой структурной функции дейтрона является актуальной, поскольку на сегодняшний день не найдено однозначной процедуры учета релятивистских поправок к спин-зависимой структурной функции нейтрона, которую, как известно, извлекают из данных по протону и дейтрону.
2. АМПЛИТУДА ОДНОКРАТНОГО
ЭЛЕКТРОН-ДЕЙТРОННОГО РАССЕЯНИЯ
Рассмотрим треугольную фейнмановскую диаграмму процесса однократного электрон-дейтронно-го рассеяния (рис. 1). Она включает в себя вершину взаимодействия 7-кванта с одним из нуклонов в дейтроне (причем второй нуклон является спекта-тором, находящимся на массовой поверхности), вершинную функцию распада дейтрона на протон и нейтрон в начальном состоянии и вершинную функцию дейтрона в конечном состоянии. Дейтрон как частица со спином 5 = 1 с точки зрения диаграмм Фейнмана есть массивный векторный мезон (частица Прока, массивный фотон и т.д.). Однако, в отличие от привычных диаграмм в квантовой электродинамике (КЭД) или в теории слабого взаимодействия, когда в электрослабых вершинах рождается фермион и поглощается антифермион (или рождается антифермион и поглощается фермион), в дейтрон протон нейтронной-вершпне (Юрп) поглощение дейтрона сопровождается рождением двух фермпонов, протона и нейтрона. Однако всегда мож-
но считать, что базисными частицами являются протон р и антинейтрон п = ип и что дейтрон есть связное состояние О = рап, так что в вершине Брп = = Юрип поглощение дейтрона сопровождается рождением фермпона р и поглощением фермиона «„. Тогда Црип имеет привычный вид
фр£>",
где О11 оператор дейтронного поля, описываемого 4-вектором, Г^ вершинная функция. Как известно, ток ф-'/^ф, где 4-матрица Дирака, преобразуется при преобразованиях Лоренца как 4-век-тор. Поскольку ап имеет четность, противоположную четности нейтрона, выражение фрТ11фап будет иметь положительную четность, как и следует для дейтрона. В терминах распространения протона р и антинейтрона «„ диаграмма на рис. 1 имеет вид привычной фермиопиой петли.
Используя стандартные правила Фейнмана, вершинную часть амплитуды процесса, соответствующего рис. 1, можем представить в виде
^ = (-1)
(рр?> Эр {/ (-Рз + т) / (г*\'У]*) I (р2 + т) Юк I (рг
■ т
(2тг)
(р!
■ т<
■ т<
ге)(р1
• гаа
(1)
Щ0 />ь Р'2 4-векторы импульсов протонов, интегрирование ведется по 4-вектору импульса нейтрона рз, контур интегрирования замкнут вокруг полюса нейтронного пропагатора (массы всех нуклонов равны т), под импульсом со шляпкой подразумевается выражение р = р1± , по дважды повторяющимся индексам всегда подразумевается суммирование; Г^ полная вершинная функция перехода дейтрона в протон-нейтронную пару в начальном состоянии, а Г* полная вершинная функция дейтрона в конечном состоянии; У^ и \'аР 4-векторы поляризаций дейтрона соответственно в начальном и конечном состояниях в спиральном представлении; р.р' = ±1,0 спиральность дейтрона. Вершина О к взаимодействия нуклонов с фотоном имеет вид
Г
О к = {Я Ъ к
(С)2
2т
■ ШккЯь
(2)
где <5 переданный импульс, электро-
магнитные формфакторы нуклона, = (г/2) х X Ьк1и ~ к ) ■
3. ВЕРШИННЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙТРОНА. РАДИАЛЬНАЯ ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВЯЗЬ С ВЕРШИННОЙ ФУНКЦИЕЙ
Полная вершинная функция перехода дейтрона в протон-нейтронную пару имеет вид
Т0 = Т°Ся(М2) + Т°Св(М2
(3)
где Г® и Г? вершинные функции дейтрона для волновых 5- и ¿^-состояний [1 3]:
* М + 2т '
(4)
М2 - 4т2 М + т. ч Г,, =-^-1ц + —2— ^ ~Рз^
а С8,оЩ2) скалярные вершинные функции для волновых 5- и £>-состояний дейтрона, которые связаны с радиальными волновыми функциями дейтрона [11 соотношением
Ф.ч/ИД/1') =
Сгу,рЩ'2
АР - М
(6)
о
где М инвариантная масса протон-нейтронной пары, Мо = 1875.6 МэВ/'с2 масса дейтрона.
4. ДВУХЧАСТИЧНОЕ СОСТОЯНИЕ В ПЕРЕМЕННЫХ СВЕТОВОГО КОНУСА
Рассмотрим двухчастичное состояние в переменных светового конуса1'' с внутренними 4-импульса-ми р\ и рз. Полный 4-импульс дейтрона равен Р = = Р\ + Рз- Поскольку Р+ = р1+ + рз+- удобно ввести величины
- = Р1+/Р+, 1- z= Рз+/Р+
доли импульса системы, которые иесут частицы 1 и 3. Тогда
Pi- =
т"
pL
2 ~Р+
Рз- =
т"
P.3J
2(1 - ~)Р+
Квадрат инвариантной массы двунуклонных фоковских состояний равен
т"
М* = Р' = (Р1 +Рз)' =
т2 + pjj
2
PL
1
(Pi_l+ Рз±)2- СП
Поперечный импульс Pj_ = Pi± + Рз± описывает движение системы как целого. Определим относительный поперечный импульс к для двух начальных нуклонов соотношением
Pi_L = k+cP±, p3± = -k+(l
(8)
Из соотношений (7) и (8) при mi = тз = т следует, что
М =
т*
:(1
(9)
В переменных светового конуса 4-вектор импульса двунуклонных фоковских состояний с инвариантной массой М имеет компоненты
Р = (Р+,Р-, Р±) = Р-
М2
2Р+
(Ю)
Спиральные состояния для двунуклонных фоковских состояний с инвариантной массой м в переменных светового конуса описываются продольным (р = 0) 4-вектором поляризации [4,5]
-"' + Р1 - ^ т.
1
1-"-' = £ I г.
2 Pi-
li поперечным (р = ±1) 4-вектором поляризации в переменных светового конуса [4, 5],
(12)
11 Современная техника световою конуса рассмотрена в работах [1,4 6].
где поперечные циркулярные орты имеют привычный вид
е'±1') =--(±ei ' '
■ te-2
а в1 и е-2 единичные орты соответственно вдоль осей .г и у.
Подчеркнем, что в формуле (11) м ф Мд. В релятивистском случае вектор поляризации продольного состояния неизбежно зависит от инвариантной массы м протон-нейтронной пары. Такой продольный вектор поляризации двунуклонного фоковского состояния с инвариантной массой в ранних оценках релятивистских эффектов не использовался.
Если пара движется строго по оси г, т. е. Р_|_ = 0 (ЄЄ) = (0,0), то
Р = (Р+,Р_,0,0) = Р
м2
2Р+
.0.0
(13)
и в качестве поперечных векторов поляризации могут быть выбраны спиральные состояния
\
■ {р=± 1) _
ß
= (0,0,е(р_±1^). Для продольного состоя-
ния имеем
\
Лр=о) = J_
М
Р+
м2
2Р+
,0,0
(14)
5. МАТРИЧНЫИ ЭЛЕМЕНТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВЕРШИНЫ ДЕЙТРОННОГО ТОКА
Матричный элемент электромагнитной вершины дейтронного тока связан с А к соотношением Рд, = = {Б'ЦкЩ = -IАк.
Как было показано в работах [6,7], использование «плюсовой» компоненты дейтронного тока (Р+ = {£)'|_/+1£))) в системе бесконечного импульса в специальной лоренцевой системе Брейта (С)о = 0) дает правильное пространственно-временное описание релятивистских эффектов (невозможность рождения пар из вакуума).
Плюсовый компонент амплитуды (1) определяет условие нормировки зарядового формфактора дейтрона при нулевой передаче импульса фотона:
Р+ = 2P+P1S* (0)(«',s* + «>£,) = 2Р+
(15)
где it's и wo вероятности волновых S- и D-состояний в дейтроне, причем it's + "'d = 1-
Вычисление следа в амплитуде (1) подробно рассматривался в работе [1]. Не повторяя все этапы расчета одиопетлевого интеграла, матричный элемент
электромагнитной вершины F+ дейтронного тока в переменных светового конуса можем свести к виду
Рц- —
1
dzdPk
2(2тг)3 J z2(ï^z)
х^/лзДИ^ОфьИ х
A
~tl(l>\ ■ !■')'■ ■ »(/>!./•')
(ЛЯ-M*)2 dz d2k
"(/¡I . l')\ Г.-i ('(/>;(. \) =
2(2 T
77—"Г Ь-'iPi, г/)7+■«(/>!, v)} Ф„Л, (1G)
A,i'
где
Ф^А =
П(р1.1')\У')Гг;Г(1Ьл..\)
АР - Af
= u(pi,v) x
d
хг(рз,Х), (17)
где «(/>!, г/) спинор протона (входящий фермион с точки зрения фейнмановской диаграммы) с импульсом р1 и спиралыгостыо я = у/2, V = ±1 [1,5,8], <'(РзД) спинор для нейтрона (выходящий антифермион с точки зрения фейнмановской диаграммы) с импульсом рз и спиралыгостыо а = А/2, А = = ±1 [1,5,8], « = и^/о, Т7 = г'Цо. Следует отметить, что спиноры в формализме светового конуса отличаются от привычных спиноров Дирака только спиновым вращением, которое есть известное преобразование Вигнера Мелоша [9,10].
Выражения для нуклонных матричных элементов имеются в работах [1,5,8], в которых используются спиноры в формализме светового конуса, в частности
pi + ni = ^ и (pi, v)u (pi, v)
i,=±i
рз - m = <'(jf3.A)<(рз,A),
(18)
(19)
A=±l
Цр1^Ъ+и(р1^) = 2 р1+ = 2 (20)
»(/¡I .А')- . "г."(р\ • ) = 2щ)1+ = 2vzP+. (21)
Формула (16)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.