ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2009, том 72, № 12, с. 2091-2101
= ЯДРА
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ БЕЛЛА
В ФОРМЕ ВИГНЕРА
© 2009 г. Н. В. Никитин*, К. С. Томс**
Научно-исследовательский институт ядерной физики Московского государственного университета, Россия Поступила в редакцию 04.02.2009 г.
Получено релятивистское обобщение неравенств Белла в форме Вигнера для распадов псевдоскалярной и скалярной частиц на две частицы со спином (фермионы и фотоны). Рассмотрены неравенства как с полной антикорреляцией спинов конечных частиц, имеющие нерелятивистский аналог, так и неравенства с полной корреляцией спинов. Продемонстрирована принципиальная возможность экспериментальной проверки принципа дополнительности Н. Бора в релятивистской области.
РАС Б: 03.65.Fd
ВВЕДЕНИЕ
С момента создания квантовой механики в первой четверти XX века не утихают споры вокруг двух тесно связанных друг с другом вопросов:
1) является ли вероятностный характер предсказаний квантовой теории и подтверждающих эти предсказания экспериментальных измерений отражением объективных законов микромира или индетерминизм есть следствие незнания некоторых "тонких взаимодействий" между микрочастицами, информация о которых могла бы сделать теоретические предсказания и экспериментальные измерения детерминированными по образцу классической механики (концепция скрытых параметров квантовой механики);
2) являются ли характеристики микрочастицы, описываемые некоммутирующими операторами, элементами физической реальности одновременно и независимо от акта измерения или характеристики микрочастицы принципиально неотделимы от конструкции и возможностей макроприбора, как это постулируется принципом дополнительности Н. Бора.
Заметим, что в такой постановке оба вопроса квантовой теории существенны не только для нерелятивистской квантовой механики (НКМ), в рамках которой они интенсивно обсуждаются, но и для квантовой теории поля (КТП), в которой этим вопросам посвящены считанные работы, например [1—3].
Экспериментальный ответ на второй из поставленных выше вопросов возможно дать при помощи
E-mail: nnikit@mail.cern.ch
E-mail: ktoms@mail.cern.ch
так называемых неравенств Белла. Впервые они были предложены Беллом в 1964—1966 гг. [4] и модифицированы Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом в 1969 г. [5]. В классической работе Белла рассматривались три дихотомные (т.е. имеющие спектр, состоящий всего из двух значений, в данном случае это ±1) величины A, B и C, одновременно являющиеся элементами физической реальности за счет существования набора скрытых параметров Л. Тогда средние от этих дихотомных величин удовлетворяют неравенству:
\(AB )-(AC )\< 1 + (BC). (1)
Из (1) следует неравенство Клаузера—Хорна— Шимони—Хольта для четырех дихотомных величин со спектром ±1:
\(AB) + (AC) + (DB) - (DC)\< 2. (2)
Дихотомные величины A, B, C и D естественно реализовать в форме проекций спина 1/2 на непараллельные направления a, b, c и d. Однако экспериментально удобнее оказалось работать с поляризациями фотонов и квантовыми числами "аромат—СР" нейтральных K- и B-мезонов.
Теоретическая и экспериментальная литература по неравенствам Белла необозрима. Имеется огромное количество не только правильных, но и ошибочных работ. В качестве ориентира в приложениях неравенств Белла можно рекомендовать монографии [6]. Эти монографии необходимо дополнить работой [7], обобщающей неравенства Белла на частицы с произвольным спином, и недавней статьей Коллаборации Belle [8] по прецизионной проверке неравенств Белла в системе нейтральных B-мезонов. Специфика изучения нера-
2091
венств Белла в физике высоких энергий отражена в обзоре [9].
Для настоящей работы важно следующее. Широко бытует мнение, что для вывода неравенств Белла (1) и (2) необходимо существование локальных контекстуально зависимых (т.е. зависящих как от состояния микрочастицы, так и от состояния макроприбора) скрытых параметров Л. Поэтому нарушение неравенств Белла в квантовой механике и экспериментальное подтверждение этого нарушения часто трактуются как опровержение существования широкого класса скрытых параметров. Подобное мнение идет от классических работ [4]. Однако это мнение ошибочно. Как было показано в работе [10] и переоткрыто в работе [11], для получения формул (1) и (2) достаточно существования неотрицательных совместных вероятностей Ш(А, В, С) и Ш(А, В, С, Б), которые подчиняются колмогоровским аксиомам вероятности. Можно дополнительно предположить, что существование таких совместных вероятностей может быть обеспечено скрытыми параметрами. В работах [12] показано, что нарушение неравенств Белла (1), (2) в квантовой теории можно объяснить несогласованностью определений корреляционных функций. Вместе с тем нарушение неравенств Белла однозначно свидетельствует в пользу принципа дополнительности Н. Бора и копенгагенской интерпретации НКМ.
Специально подчеркнем, что принцип дополнительности Н. Бора не проверялся для операторов релятивистских физических величин, например для релятивистского обобщения оператора спина. Такую проверку принципиально можно осуществить, используя релятивистские обобщения неравенств Белла.
Недавно появилась работа [3], в которой сделана попытка применения релятивистского подхода к неравенству (2). Для этого использовался распад Пс — ЛЛ. Было показано, что неравенство (2) нуждается в модификации, связанной с различиями в нормировках векторов состояний, принятых в НКМ и КТП. Однако предложенная в работе [3] процедура измерения спиновых состояний конечных частиц не позволяет провести проверку принципа дополнительности в релятивистской области.
В отличие от работы [3], в настоящей работе используется вариант неравенств Белла в форме Вигнера, не зависящий от нормировки состояний и позволяющий проверить принцип дополнительности. При этом, по аналогии с НКМ, постулируется, что существуют приборы, способные измерить проекции спина релятивистского фермиона на выбранные направления, но конкретная реализация этих приборов не рассматривается. Для фотонов, напротив, указана возможная процедура измерения их поляризации.
В разд. 1 получены различные варианты неравенств Белла в форме Вигнера, которые можно использовать для проверки принципа дополнительности в КТП. Разделы 2 и 3 посвящены конкретной реализации этих неравенств при распадах псевдоскалярной и скалярной частиц на фермион-антифермионную пару. Раздел 4 содержит неравенства Белла для распадов в двухфотонное конечное состояние. Некоторые определения и вычисления вынесены в приложения.
1. НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА В ФОРМЕ ВИГНЕРА
Неравенства Белла в форме (1) и (2) мало пригодны для релятивистского обобщения. Во-первых, для их вывода существенно используются волновые функции, которые не должны возникать в релятивистском обобщении. Во-вторых, операторы, соответствующие величинам А, В, С и Б (как правило, это операторы спина частиц), сами нуждаются в релятивистском обобщении. Желательно найти такой вариант неравенств Белла, который свободен от указанных выше трудностей.
Такой вариант был предложен Вигнером в 1970 г. [13]. В данном разделе будет показано, что неравенства Белла в форме Вигнера для квантовой теории можно записать двумя разными способами. Первый соответствует распаду псевдоскалярной частицы на фермион-антифермионную пару или два фотона. Он воспроизводит неравенства работ [13] для НКМ. Второй соответствует распаду скалярной частицы на фермион и антифермион или пару фотонов. Это вариант в рамках НКМ не рассматривается.
1.1. Неравенства Белла для распада псевдоскалярной частицы на две
Рассмотрим распад покоящейся псевдоскалярной частицы массы М на фермион-антифермион-ную пару. Обозначим импульс антифермиона к1, фермиона — к2, а их массы как т1 и т2 соответственно. Тогда к1 = —к2 и М > т1 + т2. Если распад происходит по сильному или электромагнитному взаимодействию, то сохраняются аромат фермионов (т.е. т1 = т2 = т) и пространственная четность системы Р/^ = (—1)ь//+1 = — 1. Поскольку полный момент системы сохраняется, то 3/^ = 0. Отсюда следует, что орбитальный момент и спин фермион-антифермионной пары Ь/^ = = ^// = 0. Это ведет к полной антикорреляции проекций спинов фермиона "2" и антифермиона "1" на любое направление, задаваемое единичным вектором а:
42) = — ^ (3)
Теперь предположим, что проекции спинов фер-миона и антифермиона на три непараллельных направления а, Ь и с одновременно являются элементами физической реальности. В Приложении А.1 показано, что такое предположение ведет к следующему неравенству:
(4)
для вероятностей фермиону и антифермиону одновременно иметь проекции спина +1/2 на любые два из трех направлений а, Ь или с.
Поскольку в неравенстве (4) фигурируют только вероятности распадов, то оно одинаково применимо как для НКМ, так и для КТП. Пусть все единичные векторы а, Ь и с лежат в плоскости (хг). Из [13] известно, что для НКМ в этом случае неравенство (4) переходит в тригонометрическое неравенство
• 2 ваЪ ^ . 2 вас . 2 вЪс
вт —< эт--Ь эт —, (5)
2 - 2 2 ' ^
где дар — ва — в в и {а, в} — {а,Ь,с}. Неравенство (5) нарушается, например, если векторы а и Ь образуют угол, меньший п, а вектор с является биссектрисой этого угла. Обнаружение нарушения неравенства (5) является прямым экспериментальным подтверждением принципа дополнительности.
Неравенство, аналогичное неравенству (4), можно написать, если покоящаяся нейтральная псевдоскалярная частица распадается на два фотона, например п0 — 27. В этом случае состояние двух фотонов с отрицательной Р-четностью обладает нулевым полным моментом, орбитальным моментом и спином, т.е. = Б11 — 0. Поэтому для линейно поляризованных фотонов в системе покоя псевдоскалярного мезона имеет место полная антикорреляция поляризаций по любому направлению а, перпендикулярному направлениям движения фотонов. Если обозначить
поляризации фотонов
через Ла' ), а состояния поляризации дать с индексами "1" и "2", то аналог формулы (4) для фотонов будет выглядеть следующим образом:
-(Л« — 1,ЛЪ2) — 1)< < - (л« — 1,лС2) — 1) + + - № — 1,лъ2) — 1).
1.2. Неравенства Белла для распада скалярной частицы на
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.