научная статья по теме РЕШЕНИЕ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕЛЕТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ К АСТЕРОИДУ АПОФИС Математика

Текст научной статьи на тему «РЕШЕНИЕ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕЛЕТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ К АСТЕРОИДУ АПОФИС»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 1, с. 39-43

= МЕХАНИКА

УДК 521.1+629.78

РЕШЕНИЕ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕЛЕТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ

К АСТЕРОИДУ АПОФИС © 2015 г. В. В. Ивашкин, И. В. Крылов

Представлено академиком РАН Т.М. Энеевым 12.02.2015 г. Поступило 17.02.2015 г.

Разработан метод оптимизации траекторий полета к астероиду Апофис, который позволяет надежно формировать множество экстремалей Понтрягина для различных краевых условий перелета, а также эффективно отыскивать среди его элементов глобальный оптимум задачи.

Б01: 10.7868/80869565215250106

В работе определяются энергетически оптимальные траектории космического аппарата (КА), совершающего перелет от Земли к астероиду Апофис. Полагается, что на гелиоцентрическом участке КА управляется электрореактивным двигателем малой тяги (ДМТ), который обеспечивает высокую скорость истечения частиц в реактивной струе (десятки километров в секунду), а также обладает значительной продолжительностью работы (месяцы и годы) [1]. Проведенный ранее анализ показал высокую эффективность такой схемы управления для межпланетных перелетов КА при условии, что в роли критерия качества выступает величина конечной массы КА (см., например, [1—6]). При этом построение оптимальной траектории КА на гелиоцентрическом участке сводится к определению программы изменения величины и направления вектора малой тяги, гарантирующей выполнение краевых условий полета при минимально возможном расходе топлива. Решение указанной задачи целесообразно осуществлять на основе использования принципа максимума Понтрягина. Однако в рассматриваемом случае принцип максимума является необходимым, но не достаточным условием оптимальности и поэтому с его помощью можно отыскивать лишь экстремали Понтрягина, т.е. траектории, на которых может достигаться (но не обязательно достигается) оптимум критерия качества. Анализ результатов некоторых задач меж-

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской Академии наук, Москва E-mail: ivashkin@keldysh.ru

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана

планетных перелетов показал, что таких экстремалей может быть несколько [7].

Полет КА к астероиду можно разделить на три основных этапа. На первом этапе осуществляются вывод КА на орбиту искусственного спутника Земли и его последующий разгон двигателем большой тяги до параболической или гиперболической скорости с выходом КА из сферы действия Земли. На втором, основном, этапе траектории КА с ДМТ совершает гелиоцентрический перелет от орбиты Земли к орбите астероида Апофис. Наконец, на третьем, заключительном этапе полета, рассматриваемом вблизи астероида, осуществляются небольшое торможение относительной скорости КА и его переход на орбиту искусственного спутника Апофиса.

Проведенный ранее анализ [1—6] показывает, что хорошую оценку конечной массы КА у астероида можно получить, зная массу КА после его разгона на первом этапе до параболической скорости, а также результаты решения задачи на втором этапе для случая "идеальной" тяги, когда рассматривается движение КА при ограниченной мощности в струе и отсутствии ограничений на управление и фазовые координаты [1]. Поэтому в данной работе оптимизация гелиоцентрической траектории проводится для параболической скорости разгона КА на первом этапе и "идеальной" тяги ДМТ на втором.

При этом движение КА на втором гелиоцентрическом этапе, ? е ?2 ] (?1, ?2 — моменты начала и конца этапа), рассматривается в центральном гравитационном поле Солнца, мощность ДМТ полагается постоянной [1], а начальная масса КА т (?1) определяется характеристиками первого, геоцентрического участка траектории [3—6].

Р.

Рис. 1. Орбиты Земли, Апофиса, а также экстремальные траектории КА Т0, Т2, Т4, Т5, Т6 для — 01.07.2015 г. и At = 185 сут.

Тогда конечная масса КА т (7 2) определяется по формуле [1]:

т(72) =

2Ы д

2ЖдВ + т (71) 5

т (*!).

Здесь

5 =

/14

й7,

(1)

(2)

и — вектор управляющего ускорения ДМТ. Из (1) следует, что т (72) тем больше, чем меньше величина интеграла (2).

Минимизацию интеграла (2) будем осуществлять на основе принципа максимума Понтряги-на. Тогда уравнения движения КА на гелиоцентрическом этапе перелета можно записать следующим образом:

Г = V,

V = 8 (г ) + ^,

¥ V = -V г,

(3)

V г V V.

Здесь г и у — гелиоцентрические радиус-вектор и

г

вектор скорости КА, 8(г) = -ц— — гравитацион-

1Г1

ное ускорение от Солнца, ц — гравитационный параметр Солнца, у и у г — векторы сопряжен-

и в (7)

(6)

ных переменных. Начальные и конечные условия перелета имеют вид:

г) = Ге ), V ) = VЕ ), (4)

Г(72) = Г4 (72), V (72) = V^ (72), (5)

где ге и гА — гелиоцентрические радиусы-векторы Земли и Апофиса, Vе и VА — гелиоцентрические векторы скорости Земли и Апофиса. Решив краевую задачу (3)—(5), т.е. подобрав сопряженные переменные уv (7Х) и у г (7Х), так чтобы выполнялись конечные условия (5), проинтегрируем систему (3) от 7Х до 72 и определим соответствующую траекторию КА {гв (7), Vв (7)}, называемую далее экстремалью Понтрягина, а также функцию управления

_ уЛО 2 '

В нашем случае найти искомые параметры у v (7Х) и у г (7Х) возможно только численно, поскольку краевая задача (3)—(5) не имеет аналитического решения [7]. С этой целью задается некоторый

вектор р = [уv (7{)Т, уг (7!)Т]Т, представляющий собой нулевое приближение для сопряженных переменных в момент 7!, который затем итерационно уточняется до тех пор, пока не будут выполнены краевые условия (5).

Как правило, решение задачи (3)—(5) не единственно, и для случая перелета КА к астероиду Апофис имеется несколько экстремалей Понтрягина {гв (7), Vв (7)}. Рассмотрим в качестве примера перелет КА к Апофису, когда 7{ — это 01.07.2015 г., а А7 = 72 - 7Х = 185 сут. Для таких параметров 7Х и А7, варьируя начальные сопряженные переменные (подробно этот метод описан ниже), был найден целый набор экстремалей Понтрягина, первые семь из которых приведены на рис. 1 и 2 (нумерация Т0, Ть ..., Т6 выполнена в порядке роста функционала I). Здесь и далее точки Рх и Р2 соответствуют моментам начала и конца гелиоцентрического этапа перелета. На оптимальной траектории Т0 достигается минимальное для заданных краевых условий значение функционала 10 = 8.163 м2/с3. Найдены также два семейства многовитковых экстремалей, одно из которых реализует прямое, а другое — обратное движение вокруг Солнца. Од-новитковые траектории, представители каждого семейства, показаны на рис. 2.

Поскольку рассматриваемая задача многоэкстремальна, возможен случай, когда неудачно заданный вектор р может оказаться внутри области притяжения одной из локальных экстремалей Понтрягина и в процессе численного уточнения будет найден не глобальный, а локальный экстремум функционала (2). Рассмотрим в качестве

У, а.е.

У, а.е.

Рис. 2. Орбиты Земли, Апофиса, а также экстремальные одновитковые траектории КА Т и Т3 для ^ — 01.07.2015 г. и М = 185 сут.

Рис. 3. Орбиты Земли, Апофиса, а также две оптимальные гелиоцентрические траектории ТI и Ти перелета КА для — 01.09.2018 г. и М = 185 сут.

примера перелет КА к Апофису, когда г1 — это 28.02.2019 г., А г = 185 сут, а в качестве нулевого приближения для сопряженных переменных в момент г1 выбран, в соответствии с [8], нулевой вектор р = 0. Метод продолжения по параметру дает в качестве решения вектор р е = [—1.116 • 10-5, 7.526 • 10—6, —1.802 • 10-7, —3.022 • 10-12, 5.813 • 10-13, —4.875 • 10—14]т и значение функционала 1е = = 204.9 м2/с3. При этом указанное решение не является глобальным оптимумом. Минимальное значение функционала /0 = 144.0 м2/с3 здесь достигается при р0 = [8.352 • 10—6, 4.310 • 10—6, 2.014 • 10-7, 3.095 • 10—12,—7.008 • 10-13, —1.399 • 10—14]т.

Более того, не только экстремаль Понтрягина, но даже оптимум в задаче перелета КА с ДМТ к Апофису может определяться неоднозначно. Рассмотрим, в качестве примера, вариант, когда г1 — это 01.09.2018 г., а А г = 185 сут. В этом случае задача имеет два оптимальных решения: р0^ = = [-1.021 • 10-5, —2.821 • 10—6, —3.807 • 10-7,

- 3.813 • 10-12, 6.880 • 10-13, 3.094 • 10—15]т и р 02) = = [9.340 • 10—6, —5.529 • 10—6, 5.970 • 10-8, 2.506 • 10-12, 5.721 • 10-13, 5.456 • 10—14]т. Для них характерны не только одинаковые граничные условия, но и одинаковое значение функционала: /0 = 166.4 м2/с3. При этом КА в одном случае совершает прямой перелет к астероиду, а во втором делает дополнительный виток вокруг Солнца, как это показано на рис. 3.

Поэтому при построении оптимальных траекторий межпланетного перелета КА к астероиду Апофис следует принимать во внимание многоэкстремальный характер рассматриваемой задачи, а также возможную неоднозначность определения оптимума (2). В настоящей работе указанное построение предлагается осуществлять при помощи метода варьирования начальных сопряженных переменных. С этой целью производится

генерация серии пробных векторов р(г),1 < г < N, из априорно заданной области поиска

- Яп : а] < р?

¥ = {р(

< Ь ,1 < 1 < п

где п = 6 — размерность р(г), а1 и Ь1 — диапазоны изменения соответствующих компонент р(г), N — количество реализаций р(г). Поскольку "волюнтаристический выбор тестовых точек в многомерных областях, как правило, приводит к плохим результатам из-за отсутствия у человека многомерной геометрической интуиции" [9], векторы р(г) предлагается генерировать на основе использования алгоритма ЛПт-последовательности [9], которая обладает хорошими, а может быть и наилучшими характеристиками равномерности.

Каждый вектор р(г) из области ¥ специальной вычислительной процедурой итерационно уточняется до тех пор, пока не будет найден минимум функции невязки конечных условий:

р (р) =

V (г2) - V , (г 2 )| V

+

(7)

J, м2/с3

(t1 — 04.05.2018 г.), сут

Рис. 4. Графики функционала для двух экстремалей Понтрягина, попеременно выступающих в качестве оптимального решения на разных интервалах ti, при At = 185 сут.

а также соответствующий этому минимуму вектор

p e). Здесь kV и kR — некоторые масштабные коэффициенты, число к, 1 < k < M < N, задает индекс экстремума, а число M — количество выяв

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»