ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 1, 2004
УДК 539.3
© 2004 г. Н. Д. Бертяева, В. Б. Пеньков
РЕШЕНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ И СОПРЯЖЕННЫХ ПОЛУПЛОСКОСТЕЙ
Решена задача о растяжении упругой анизотропной плоскости с линейным включением по отрезку. Задача приведена к краевой задаче Римана на двух листах комплексной плоскости, склеенных по действительной оси. Выполнены расчеты для включения, расположенного наклонно к оси анизотропии.
Для решения плоских смешанных задач изотропной упругости для односвязного тела был разработан метод граничных представлений [1], обладающий рядом отличительных особенностей и достоинств.
1. Любая компонента тензоров напряжений (ои, ат, ти), деформаций (£и, £т, £ит), отнесенных к системе координат "нормаль-касательная" (и, т), и производная по дуговой координате от декартовых составляющих перемещения (и, и) на границе тела выражаются в форме линейной комбинации граничных значений единственного набора функций, аналитических в круге или полуплоскости и их дополнений до полной плоскости. То же самое можно сказать о любой линейной комбинации этих объектов (унифицированность представления).
2. Набору граничных условий на некотором участке границы соответствует сопряжение краевых значений векторов аналитических функций с рациональными матричными коэффициентами. Модуль определителя матричного коэффициента тождественно равен единице (допускается класс областей, отображаемых конформно на канонические рациональными функциями; униформальность граничных условий).
3. Совокупности смешанных граничных условий соответствует краевая задача Римана с разрывным матричным коэффициентом, поставленная на окружности либо прямой. Поскольку в каждой точке границы модуль определителя матричного коэффициента равен единице, разрыв терпит лишь его аргумент. Этот факт свидетельствует о безусловной разрешимости краевой задачи (математическая корректность модели).
4. Процесс формализации физической задачи сводится к конструированию задачи теории функций из готовых блоков, отвечающих за тот или иной тип граничных условий. В случае неограниченного тела условие сопряжения следует дополнить требованиями, обеспечивающими конкретное напряженное состояние в дальней зоне (конструктивность формализации).
5. В ряде случаев удается провести факторизацию матричного коэффициента и выписать квадратурное или явное решение.
6. Униформальность граничного представления позволяет вместо краевой задачи Римана рассматривать систему сингулярных интегральных уравнений относительно любой пары независимых механических характеристик (гибкость аппарата).
7. Для построения эпюр нет необходимости восстанавливать упругое поле. Распределение механической величины вдоль границы можно восстановить непосредственно через краевые значения найденных аналитических функций, пользуясь формулами ее граничного представления (экономичность).
Распространение столь эффективного метода на анизотропные объекты представляется темой актуальной.
Как известно [2], для плоской анизотропии возможны два варианта представления полевых характеристик через аналитические функции. В случае попарно равных корней характеристического уравнения формулы комплексного представления идентичны формулам Колосова-Му-схелишвили и поэтому все выполненное для изотропии полностью повторимо [3]. В случае попарно различных корней комплексное представление С.Г. Лехницкого выражает полевые ха-
рактеристики через аналитические функции переменных, отнесенных к различным комплексным плоскостям, между точками которых установлено аффинное соответствие. Ниже развивается аппарат метода граничных представлений для тел с прямолинейной границей, т.е. полуплоскости или плоскости с особенностями, локализованными вдоль прямой или совокупности отрезков и лучей, ориентированных вдоль одной прямой.
1. Формулы граничного представления для полуплоскости. Совместим с планом упругого тела комплексную полуплоскость г = х + ¡у, у > 0. Формулы комплексного представления С.Г. Лехницкого [1] выражают компоненты тензоров напряжений
+ + + , + + + ох , оу , оху и деформаций ех , еу , еху, а также производную от вектора перемещения и + ¡и по координате х через две функции 0+ (г1), 0+ (г2), каждая из которых -аналитическая по своей переменной г1; г2 [2]:
о+ = 2Яе[ц10+( г!) + ц20+()]
о+ = 2Яе[0+( г!) + 0+( г2)]
Оху = -2Яе[Ц! 0+( г!) + ^0+(г2)]
е+ = 2Яе[ р! 0+( г!) + Р2О+(г2)]
е+ = 2Яе[ рз 0+( г!) + Р4О+(г2)] (1.1)
е+у = -2Ке[ Р5 0+( г!) + р60+(г2)]
Эи+/Эх = 2Яе[ q! 0+( г!) + #20+( г2)] + ю
юху = ! (Эи+/Эу - Эи+/Эх) =
= -2Яе[(q! - Р5)0+(г!) + (q2 - Рб)0+(г2)] - ю где ю задает жесткое вращение, ю - поворот элемента среды, все константы определены через упругие постоянные анизотропии а^:
Р! = апЦ2 + а!2 - а!6^!. Рз = ^!q!
Р2 = а!!^ + а!2 - а!6^2' Р4 = №2
Р5 = Ц(а!!- а!2). Рб = Ц(а!! - а!2)
q! = а!2Ц! + а22/Ц!- а26> q2 = а!2Ц2 + а22/^2 - а26
Образом физической плоскости служит пара листов г1 = х + Ц1у, г2 = х + Ц2у, склеенных вдоль общей оси у = 0. Любую аналитическую функцию, имеющую на оси х значение /(х), можно продолжить с этой оси на каждую из четырех полуплоскостей как /(г1) либо как /(г2). Обозначим через О+ совокупность полуплоскостей от г1, г2 при у > 0 и через О - их дополнение до двулистной поверхности.
Через функции 0+ (г1), 0+ (г2) определим еще две функции, аналитические в идентифицированных знаками полуплоскостях (используется обозначение Н.И. Мусхе-лишвили [4])
0-(г!) = 0+(г!), 04(г2) = 0+(г2) (1.2)
Использование для этих функций двойной идентификации (индексы 1, 2 здесь сочетаются с индексом плюс, а 3, 4 - с индексом минус) избыточное, но его удобство про-
явится в задачах для плоскости, когда наряду с полем верхней полуплоскости (индекс плюс) будет фигурировать поле нижней полуплоскости (индекс минус). После этого каждую из функций аналитически продолжаем на другой лист через общую границу. Для текущей точки двулистной поверхности введем общее обозначение г, полагая г = = гх или г = г2 в зависимости от нумерации листов. Соответственно после выполнения аналитических продолжений каждая из функций зависит от единого аргумента.
Через граничные значения при г = гх = г2 = х этих функций выражаются все основные механические величины. Их сводка содержится в табл. 1 (граничное значение механической величины из первого столбца равно линейной комбинации краевых значений функций, стоящих в оголовке таблицы, со своими коэффициентами).
Приведем некоторые примеры конструирования краевых соотношений для распространенных вариантов граничных условий.
Поверхностные усилия. На границе определены нормальные и касательные напряжения. Строки для напряжений р = а+ , т = а+у дают условия сопряжения вида
О
о3 О-
+ ё
(1.3)
О =
1
Ц2 - Ц Ц2 - ^2
Д1- Ц Д2- Ц
1
^1- Ц
- Ц2Р - Т
Ц р + Т
Поверхностные перемещения. На границе определены перемещения. С точностью до константы за эти условия отвечают строки и' = Эи+/Эх, V' = Эи+/Эх и коэффициенты имеют вид
О
1
ё =
#2Р1- #1Р2 1
#2Р1- #1Р2
#1Р2- #2Р1 #2Р2 - #2 Р2 #1Р1- #1Р1 #1Р2- #2Р1
#2и'- Р2и' - д1и' + Р1и'
Контакт с гладким профилем. Под жестким штампом определена нормальная составляющая перемещения и касательное напряжение (равное нулю). Коэффициенты таковы:
О=
1
ё
#2^1 - #1^2
1
#2^1 - #1^2
#1^2 - #1^2 #2 Ц2- #2 Ц2 #1Ц1- #1Ц #1Ц2- #2^1
- #2Т - ^ #1Т + Ц1«'
Допущение в дальней зоне конечных напряжений характеризует все введенные функции как ограниченные на бесконечности
О+( г1) = Г + Аг-1 + О (г-2) О+( г2) = Г' + Яг-1 + О (г¡2)
(1.4)
+
2
Если обозначить параметры однородного напряженного состояния и поворота в дальней зоне через ох , оу , оху, ю , то между ними и значениями функции в бесконечно удаленной точке Г = 0+ Г' = 0+ («>) можно на основании выражений (1.1) обнаружить связь
о
у
0Гу -2ю~
H
Re Г iIm Г Rer' ЛшГ'
(1.5)
где
H =
2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 Ml + Ml Ml- Ml M2 + M2 М2- M2
2 0 2 0
-Ml - Ml - Ml + Ml -M2 - M2 -M2 + M2
Rer1 iIm rl Re r2
rl = ?l + P5, r2 = #2 + Рб
iImr2
l l -l -l A -Y
Ml M2 -Ml -M2 B XX
2 Ml 2 M2 2 -Ml 2 -M2 A = i (Al6 X + au Y)/an
-l Ml -l M2l —l -Ml —l -M2 B -( al2 X+ a26X )/a22
Обращение соотношений (1.5) позволяет устанавливать в каждом конкретном случае значения функций в бесконечно удаленной точке. Относительно постоянных A, В в разложении (1.4) С.Г. Лехницкий [1] сформулировал однозначно разрешимую систему линейных уравнений
(1.6)
X = X / (2 nh), Y = Y / (2 п h) X + iY - главный вектор сил, приложенных к пластинке толщиной h в конечной части плоскости.
2. Решение задачи сопряжения на двулистной поверхности. Рассмотрим граничные условия "рода N" [1], когда вдоль границы тела удержано соответствующее количество различных линейных соотношений между механическими величинами. При этом граница тела разбита на N классов
д D+ = ll и l2 и ...lN, lk n lj = 0, k Ф j Конструирование краевого соотношения относительно аналитических векторов
Q+ = (Q+, Q+}, Q- = (03,04} приводит к краевой задаче вида
Q+
GQ + g, х е дD+; G = Gn,
х е L
(2.1)
о
х
Матричный коэффициент О является кусочно-постоянным. В силу определения "по симметрии" О- = О+ после перехода к сопряжению в (2.1) получаем два соотношения:
ОО = Е, Оё + ё = 0
Первое из них свидетельствует о том, что |ёе1 О| = 1.
Требуется найти функции, аналитические на поверхности, составленной из двух листов, склеенных вдоль действительной оси. Эти функции должны удовлетворять условию симметрии (1.2) и ограничениям (1.3).
Эту задачу можно свести к аналогичной проблеме, но на плоскости. Для этого достаточно игнорировать один из листов поверхности. Действительно, решение "усеченной" задачи для каждого из листов независимо друг от друга и последующее склеивание обеспечивают удовлетворение всем граничным условиям и условиям на бесконечности. Симметрия функций, удовлетворенная в рамках одного листа, будет наблюдаться и после склеивания, поскольку индекс переменной г, "привязывающий" ее к листу, "забыт".
Основная трудность при решении "усеченной" задачи состоит в факторизации матри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.