АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 4, с. 490-499
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.23:537.874.6
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ ВОЛИ МЕТОДОМ ПРОДОЛЖЕННЫХ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
© 2007 г. А. Г. Кюркчан, Н. И. Смирнова
Московский технический университет связи и информатики 111024 Москва, Авиамоторная ул. 8а E-mail: kyurkchan@yandex.ru Поступила в редакцию 25.05.06 г.
Обсуждается численное решение трехмерных задач дифракции волн методом продолженных граничных условий (МПГУ), который успешно применялся к двумерным задачам. Основная идея метода состоит в том, что граничное условие ставится на некотором достаточно малом расстоянии от поверхности носителей вторичных источников. Это позволяет свести граничную задачу к решению интегрального уравнения Фредгольма I-го либо II-го рода с гладким ядром. Приведены результаты исследований, показывающие, как наиболее рационально применять МПГУ в зависимости от конкретных потребностей в точности и быстроте получения решения. Рассмотрены многочисленные примеры, иллюстрирующие высокую эффективность предлагаемого подхода.
PACS: 43.20.+g, 42.25.Fx
ВВЕДЕНИЕ
При решении задач дифракции и рассеяния волн удобно использовать аппарат интегральных уравнений, позволяющий компактно формулировать краевые задачи при самых общих предположениях о характере границы и виде краевых условий. Однако при численном решении интегральных уравнений теории дифракции неизбежно возникают как минимум две проблемы: наличие особенностей в ядрах уравнений и наличие особенностей у решений таких уравнений.
Существует множество методик избавления от этих проблем. Для решения первой проблемы в стандартном методе интегральных уравнений (СМИУ), в котором краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма с сингулярным ядром, требуется выделять особенность в ядре и (для получения наиболее точных результатов) выполнять ее аналитическое (асимптотическое) интегрирование [1].
В предлагаемом методе продолженных граничных условий (МПГУ) [2, 3] проблема наличия особенности в ядре решается значительно проще, здесь точное граничное условие заменяется приближенным, а именно: носитель вспомогательного тока (или дискретных источников [3]) остается на поверхности рассеивателя, а граничное условие ставится на некотором достаточно малом расстоянии от нее. Таким образом, задача всегда решается в приближенной постановке.
Следует отметить, что для решения второй проблемы в случае рассеивателя с неаналитической границей в большинстве методик (в частно-
сти, в СМИУ и также в распространенном методе дискретных источников (МДИ) [4]) предлагается выполнить аналитическую аппроксимацию или, по крайней мере, - закругление изломов границы [5]. Т.е. задача также решается в приближенной постановке. Таким образом, в этом смысле МПГУ не уступает упомянутым методам.
МПГУ универсален и прост в применении, кроме того, он позволяет сводить краевую задачу не только к интегральному уравнению Фредгольма I рода, но и к уравнению Фредгольма II рода с гладким ядром (что, в частности, снимает все вопросы, связанные с корректностью задачи при обосновании метода).
В настоящей работе предложен алгоритм применения МПГУ к акустическим трехмерным краевым задачам с граничной поверхностью, имеющей симметрию вращения. Рассмотрены основные аспекты его реализации, показывающие, как наиболее эффективно применить алгоритм к данному типу задач.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим МПГУ на примере решения внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца, т.е. задачи дифракции на компактном рассеивате-
ле, занимающем область пространства В. В математической постановке такая задача сводится к нахождению в области Ве = решения V1
уравнения Гельмгольца
АиЧ к2 V1 = 0, (1)
к е С, к Ф 0, удовлетворяющего на границе области В некоторому краевому условию, например, вида
а U + %
= 0,
(2)
где а, в = const, U = U0 + U1 - полное, U0 - падающее (первичное) волновые поля, а также условию на бесконечности. Таким образом, в области De искомая функция U1(r) является вещественно аналитической [6] и в силу этого она приближенно удовлетворяет условию (2) и в некоторой окрестности границы S, лежащей в De. Если граница такова, что возможно аналитическое продолжение функции U1(r) в область D [7], то упомянутая окрестность лежит по обе стороны границы S.
Вместо строгой постановки (1), (2) краевой задачи можно решать задачу с граничным условием:
а U-
в fe
= 0,
(3)
в котором 55 - поверхность, проведенная в области Ве на некотором достаточно малом расстоянии 5 от поверхности 5.
Итак, пусть для определенности граница 5 -кусочно-гладкая. Пусть также сначала речь идет о решении внешней краевой задачи Дирихле для
области вне В (т.е. в (2) а = 1, в = 0). В качестве 55 выберем кусочно-гладкую поверхность, содержащую 5 и удаленную от нее на некоторое достаточно малое расстояние 5. Тогда решение задачи (1), (3) может быть сведено к следующему интегральному уравнению Фредгольма I рода с гладким ядром:
JV(rs)K(rss; rs)ds = rs5)
(4)
относительно неизвестной функции ц(г5) - плотности тока. Ядром уравнения (4) является фундаментальное решение уравнения (1).
Применительно к уравнению (4) имеет место следующая теорема существования [2, 7]:
Пусть простая замкнутая поверхность 5 такова, что к не является собственным значением внутренней однородной задачи Дирихле для области внутри 5. Тогда уравнение (4) разрешимо в том и только в том случае, если 5
охватывает все особенности решения и1 (г) краевой задачи (1), (3).
При выполнении условий теоремы уравнение (4) имеет единственное решение.
Как уже отмечалось, краевая задача (1), (3) может быть сведена также к интегральному уравне-
нию Фредгольма II рода с гладким ядром. Таким образом, замена точного краевого условия приближенным приводит к корректно поставленной задаче. Возможность перехода к продолженным граничным условиям следует из вещественной аналитичности решения уравнения Гельмгольца, кроме того, об этом свидетельствует полученная оценка погрешности, допускаемой при таком переходе. Довольно просто определить эту погрешность можно для таких граничных поверхностей, для которых приближенно поставленная краевая задача (1), (3) может быть решена точно (см. ниже).
В заключение этого раздела целесообразно сделать следующее замечание. В названии нашего метода ключевым является слово "продолженные" ("continued"). В то же время хорошо известен метод Уотермена (см., например, [8]), часто называемый в литературе методом нуль-поля или методом продвинутых граничных условий (the extended boundary conditions method). В силу смысловой близости слов "продолженный" и "продвинутый" иногда возникает путаница. Однако между этими методами существует принципиальное отличие. В методе Уотермена поверхность, на которой ставится граничное условие, размещается внутри рассеивателя, причем по возможности как можно дальше от его границы, с целью уменьшения области, на которой выполняется краевое условие, что, в свою очередь, ведет к уменьшению размера соответствующей алгебраической системы. Однако при практической реализации метода возникают также проблемы, связанные с необходимостью учитывать наличие особенностей у аналитического продолжения дифракционного поля внутрь рассеивателя [7, 9]. В МПГУ же граничное условие отодвигается от поверхности, для того чтобы избавиться от особенности в ядре интегрального уравнения. При этом величина 5 смещения должна быть достаточно малой, т.к. погрешность решения пропорциональна 5. И, наконец, если в методе Уотермена граничное условие ставится внутри рассеивателя, то в МПГУ его можно, вообще говоря, отодвигать как во внешнюю область, так и (в случае аналитичности границы) вовнутрь. Метод Уотермена имеет существенный недостаток: он не применим, например, к краевым задачам с условиями сопряжения на границе, а также к задачам дифракции на тонких экранах. МПГУ же универсален, его можно применять к любым задачам дифракции, в том числе, к задачам дифракции на тонких экранах. Кроме того, поскольку в рамках МПГУ, как уже отмечалось, краевая задача может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма II рода, то это обстоятельство, во-первых, снимает все возражения, связанные с корректностью метода (см., впрочем, по этому поводу работу [10]), а во-вторых, позволяет, например, сразу находить иско-
S
S
S
мую функцию - распределение тока. Платой за подобную универсальность МПГУ, как уже отмечалось, является приближенность метода.
3. Перейдем к сферической системе координат: 1 dU
4nd rí
dS = I(0', ф')d0'dф',
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Приведем алгоритм решения методом продолженных граничных условий внешней акустической трехмерной краевой задачи с граничной поверхностью, имеющей симметрию вращения. Для простоты рассмотрим его на примере задачи с краевым условием I рода: £У|£ = 0.
1. Сначала в соответствии с МПГУ необходимо выполнить замену точного граничного условия приближенным:
US = о.
(5)
2. Затем задача (1), (5) сводится к интегральному уравнению Фредгольма I или II рода. Выбор уравнения диктуется соображениями удобства, в зависимости от того, какое уравнение имеет более простой вид для данного краевого условия. Для рассматриваемой задачи уравнение Фредгольма I рода имеет более простой вид:
1 fd U (r')
4п 1
-ikR(r, r')
e '
= -U0 (r )|
(6)
d U0 (r)
dn
+
1 fd U (r')
4tJ
4 nJ dn'
jLí ee
-ikR (r, r')
dn У R( r, r')
x
x dS = dJM
d n
(6а)
поэтому в дальнейшем в случае задачи Дирихле будем иметь дело с уравнением (6).
Следует отметить, что может создаться ложное впечатление, что уравнение (6а) не является интегральным уравнением Фредгольма II рода, поскольку £ и £§ - различные. Однако это не так. В самом деле, пусть, например, в сферической системе координат поверхности £ и £§ заданы соответственно уравнениями г'|£ = г(0'), г|£ = р(0), 0', 0 е [0, п]. Тогда, полагая, что при 0' = 0 и
dU ( r ) d n
d U ( r' ) dn'
= I(0), для функции I(0) будем
иметь интегральное уравнение Фредгольма II рода.
R = Jr2(0') + р2(0) - 2 r (0' )р(0) cos у, cos у = sin 0 sin 0'cos t + cos 0 c
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.