ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 4, 2004
УДК 620.175.5
© 2004 г. Албаут Г.Н., Барышников В.Н.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РОСТА ТРЕЩИН В ЭЛАСТОМЕРАХ МЕТОДОМ НЕЛИНЕЙНОЙ ФОТОУПРУГОСТИ
Приводятся результаты экспериментального исследования больших упругих деформаций при растяжении резиновых пластин и полос с надрезами и трещинами. Модели, изготовленные из пьезооптического полиуретана СКУ-6, исследовали методом нелинейной фотоупругости. Учитывали изменение геометрии моделей в плане и по толщине. Максимальные деформации достигали 220% относительных удлинений при номинальных около 100%, в процессе растяжения трещины превращались в эллипс или круг. Получены поля напряжений в зонах предразрушения перед трещиной, проверены некоторые модели трещин и результаты аналитических решений.
1. При создании новых рациональных форм сооружений типа пневмонадувных конструкций, составных резинокордных изделий и др. используются новые современные материалы, работающие в области больших упругих деформаций. В элементах таких сооружений встречаются концентраторы, обусловленные конструктивными особенностями и дефектами материала. Это отверстия, жесткие включения, трещины, склейка слоев из разномодульных материалов и пр.
Необходимость учета большой геометрической нелинейности при расчете конструкций приводит к серьезному усложнению математического аппарата, поэтому надежные и доступные инженерные методы расчета пока не разработаны. Теоретические методы решения нелинейных задач упругости и пластичности при больших деформациях традиционно развивались в трудах ученых Санкт-Петербургского государственного университета [1-7]. Экспериментальное решение некоторых сложных геометрически нелинейных задач поляризационно-оптическими методами [8-10], стало возможным в связи с развитием нового научного направления - нелинейной фотоупругости [9, 11-13].
В настоящем исследовании проверяли некоторые результаты аналитических решений геометрически нелинейных задач [1-3, 6, 7], связанных с проблемами нелинейной механики разрушения эластомеров. Некоторые конкретные задачи исследования были поставлены К.Ф. Черныхом и Ю.М. Далем: экспериментально получить фактическую форму раскрытия трещин в эластомерах при больших деформациях; определить коэффициенты концентрации напряжений и деформаций у вершин трещин в эластомерах.
Применение высокоэластичных отечественных полиуретанов в качестве пьезооптического модельного материала позволило ответить на поставленные вопросы и решить другие сложные задачи нелинейной механики трещин, пока не имеющие теоретических решений: количественно определить напряжения предразрушения в резиновых пластинах с трещинами, проверить существующие модели трещин и др.
2. При разработке нового экспериментального направления - нелинейной фотоупругости были пересмотрены все определяющие уравнения поляризационно-опти-
ческих методов, способы разделения напряжений и деформаций, основные понятия и гипотезы, вопросы моделирования и т.д. [9, 11-13].
Обработку экспериментальных данных производили в системе координат Эйлера, так как имеется деформированный вид исследуемых объектов либо на фотографиях, либо в виде изображений на экране. Выбранная система координат определяет меры напряжений, деформаций и систему уравнений механики деформируемого тела, описывающую процессы деформирования в ней. В качестве меры напряжений используем тензор истинных напряжений, отнесенных к деформированной площади (о1 и о2 -главные компоненты в плоскости образцов; о3 - в перпендикулярном направлении, здесь о3 = 0), а в качестве меры деформаций сопряженный с ними тензор Альманзи-Гамеля. В эластомерах деформации чаще измеряются степенями удлинения Х^ компоненты которых не являются тензорными величинами (Х; = ¡¡/¡0,1 = 1, 2, 3, т.е. отношение длины деформированного элемента к недеформированному; Х1 и Х2 - в плоскости образцов, Х3 - по толщине). С помощью степеней удлинения легко вычислить компоненты любой другой меры деформаций (логарифмические деформации Генки или деформации Грина).
Приведем зависимости, которые использовали для обработки экспериментальных данных при работе с эластомерами
д (Х30 х) + д (Х3Т ху) = 0 д(Х ЗУ) + д(Х 3°у) = 0. (1)
-Л Л ' Л Л '
дх ду дх ду
ХгХ2Х3 = 1; (2) о1 = А^ - Х3), о2 = А(Х2- Х3); (3)
5 = СД3Й0 (01- 02); (4) 5 = СеХ3 Ао(Х1- Х2). (5)
Здесь 5 - оптическая разность хода; Н0 - начальная толщина образца; С0, Се - оптические постоянные по напряжениям и деформациям; А - константа упругого потенциала Бартенева-Хазановича; ох, оу, тху - компоненты нормальных и касательных напряжений.
Уравнения (1) являются дифференциальными уравнениями равновесия для плоской задачи при отсутствии объемных сил, в которых учитывается изменение толщины с помощью Х3; (2) - условие неизменяемости объема модельного материала; (3) - уравнения связи напряжений и деформаций, полученные с помощью упругого потенциала Бартенева-Хазановича; (4) - основной закон нелинейной фотоупругости, эмпирическая зависимость; (5) - оптико-деформационная зависимость, полученная подстановкой уравнений (3) в (4).
Зависимости (2)-(5) проверены при тестовых испытаниях образцов из полиуретана СКУ-6 на одноосное и двухосное растяжение и сжатие в условиях плоской деформации. Все они хорошо выполняются для этого материала. Проверку проводили в диапазоне деформирования от -60% до +250% относительных удлинений. Отметим, что уравнение связи (3) и оптическая зависимость (5) для некоторых других резин экспериментом не подтверждаются, например для солитана-113. Для этих материалов следует использовать более сложные упругие потенциалы с большим числом констант [9, 11, 13]. Основные характеристики полиуретана, используемого в экспериментах, следующие: Е = 4 МПа, V = 0,5, А = 2,67 МПа, цена полосы по напряжениям и деформациям о0,п = 0,022 МПа ■ см, е0,п = 0,009 см.
Наиболее приемлемым методом разделения напряжений при исследовании пластин из эластомеров следует считать метод численного интегрирования уравнений равновесия (1), которое выполняется аналогично методу разделения в классической фотоупругости, но осложняется необходимостью учета изменения толщины. В результате поляризационно-оптического эксперимента получаем картину полос в модели, представляющую собой поле разностей главных погонных усилий Х3(о: - о2) в пьезоопти-ческой пластине и поле изоклин 0 - углов наклона главных напряжений. Эти данные
3 ПМ и НМ, < 4
65
¥2
о о о о
о а
о _ а
о а
о о-
о о о рг-
¥9
¥2 : ¥1 = 1 : 2
: = 1 : 1
Рис. 1
¥2 : ¥1 = 0 : 1 ¥2 : ¥х = 1 : 1 Рис. 2
переводим в А3(ох - ау) и А3т1у. Далее выполняем численное интегрирование одного из уравнений (1) вдоль прямой. Получаем раздельные значения величин погонных усилий А3ох, А3оу, А3т1у, с помощью которых вычисляем главные компоненты А3о1 и А3о2. Дальнейшее раздельное определение пяти неизвестных а1, а2, А2, А3 проводим решением системы пяти уравнений в каждой требуемой точке модели: известные погонные усилия, обозначенные как а = Х3а1/А, Ь = А3о2/А, условие несжимаемости (2) и два уравнения связи (3). Если из этой системы исключить А1 и А2, то получа-
4 2
ем уравнение четвертой степени относительно А3; А3 + А3 (а + Ь) - А3 + аЬ = 0. Использование этого уравнения показало, что в реальных примерах до деформаций порядка А1 = 1,5 оно имеет один действительный корень. При больших деформациях, когда А1 = 2 и более, возможно два, а иногда и три действительных корня. Эксперимент показывает, что реальному состоянию изучаемой модели соответствует максимальное значение А3, т.е. наименьшее изменение толщины в сравнении с начальной. После вычисления А3 остальные неизвестные последовательно находим из
зависимостей А1 = 1/(Ь + А2), А2 = 1/А1А3, о1 = аА/А3, о2 = ЬА/А3.
3. Данные по исследованию напряженно-деформированного состояния вблизи вершин трещин в растянутых пластинах представлены на рис. 1-4. Модели для двухосного растяжения изготавливали из полиуретана СКУ-6 в виде крестообразных пластин (рис. 1) с размером рабочего квадрата 40 х 40 мм. Длина центральной трещины 12 мм, надрезы на крестообразных концах заканчиваются небольшими круглыми отверстиями для уменьшения концентрации напряжений по контуру исследуемого квадрата.
На рис. 2 для качественной оценки применимости метода приведен обзорный материал в виде нескольких картин интерференционных полос в светлом поле полярископа в пластинах из полиуретана СКУ-6 разной толщины и различного уровня на-гружения. В первом ряду представлены картины полос для пластин толщиной 3 мм при номинальных деформациях до 25%, а в нижнем ряду фотографии в более тонкой пластине толщиной 1,2 мм при номинальных деформациях до 100%. Приведенные
1 2 3 4
Рис. 3
02, МПа
Рис. 4
примеры показывают реальную возможность экспериментального решения геометрически нелинейных задач механики трещин методом нелинейной фотоупругости при использовании полиуретановых эластомеров. Пластины с трещиной растягиваются не разрушаясь, происходит затупление вершин. При нагружении трещины раскрываются и трансформируются в эллипс или круг.
На рис. 3 приведены исходные данные для разделения напряжений в виде картины полос и поля изоклин (углы даны в градусах) в пластине толщиной 1,2 мм. На рис. 4 представлены результаты количественного определения напряжений по этим данным, полученные методом численного интегрирования одного из уравнений (1). Здесь в процессе деформирования трещина с острыми вершинами превратилась в круг из-за высокого уровня деформаций (рис. 3). Отмечается перераспределение материала у вершин трещины и происходит затупление вершин настолько, что концы острого разреза становятся незаметными.
3* 67
Рис. 5
Исследования проводили при разных соотношениях F2 : F1, но результаты приведены лишь для нагружения F2 = 0, как наиболее интересного с точки зрения распределения напряжений о2. Анализируя полученные эпюры о2, можно отметить определенные особенности в их распределении. В вертикальных сечениях они имеют характерный волнообразный вид и двузначны, что обеспечивает возможность равновесия усилий в каждом вертикальном сечении по сумме пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.