ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2014, № 2, с. 141-147
УДК 550.832,552.5
РЕВЕРБЕРАЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН В СИСТЕМЕ АКУСТИЧЕСКИЙ ПРИБОР-СКВАЖИНА-НАСЫЩЕННАЯ ПОРИСТАЯ СРЕДА © 2014 г. А. М. Марков1, М. Г. Марков2, Х. Ронкийо Харийо2, С. Н. Садовничий2
1Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México, México 2Instituto Mexicano del Petróleo, México, DF E-mail: mikmarkov@gmail.com Поступила в редакцию 12.04.2013 г.
С использованием аппарата механики насыщенных пористых сред рассмотрено влияние упругих и гидродинамических свойств горной породы на временной коэффициент затухания отраженной от стенки скважины акустической волны. Расчеты проведены для системы акустический прибор конечного диаметра—заполненная жидкостью скважина—пористая проницаемая порода. Проведенное моделирование показало, что в породах с низкой гидродинамической проницаемостью время акустической реверберации определяется акустическим импедансом стенки скважины (произведением плотности породы на скорость продольной волны в ней). В случае пород с коэффициентом проницаемости порядка сотен миллидарси временной коэффициент затухания сигнала существенно зависит от проницаемости породы.
DOI: 10.7868/S0002333714020057
ВВЕДЕНИЕ
Акустический метод исследования скважин относится к числу наиболее популярных и информативных. Традиционные приборы, предназначенные для акустических измерений в скважинах, содержат один или несколько акустических излучателей и систему пространственно разнесенных приемников. Такие приборы предназначены для измерения скоростей и коэффициентов затухания упругих волн того или иного типа.
В 80-х годах прошлого века в Советском Союзе была начата разработка акустических приборов другого типа, предназначенных для определения параметров, характеризующих отраженные от стенки скважины волны. К таким параметрам относятся акустический импеданс, нагружающий акустический излучатель в скважине [Ивакинидр., 1978], и время акустической реверберации скважины [Крутин и др., 1978].
Горные породы часто содержат в порах подвижный флюид, и распространение упругих волн в таких средах характеризуется рядом особенностей по сравнению с однофазной упругой средой [Френкель, 1944; Вю!, 1956; Николаевский и др., 1970; ВоигЫе е! а1., 1987]. В частности, наличие фильтрационных перетоков из скважины в пласт ведет к изменению амплитуды отраженной от стенки скважины волны. В работе [Крутин и др., 1986] была проведена теоретическая оценка времени акустической реверберации скважины, расположенной в насыщенной пористой среде, и исследовано влияние пористости и проницаемости породы на затухание акустиче-
ского сигнала. Решение было получено для бесконечно длинного излучателя, работающего в гармоническом режиме, при условии идеального гидродинамического контакта на границе скважина—горная порода (открытая граница).
В настоящей работе приведено решение задачи для более реальной системы: акустический излучатель конечной длины, расположенный на поверхности прибора конечного диаметра—скважина— насыщенная пористая среда. Решение получено для излучателя, работающего в импульсном режиме. Для описания распространения упругих волн в насыщенной пористой среде использован теоретический аппарат механики насыщенных пористых сред [Вю!, 1956; Николаевский и др., 1970; ВоигЫе е! а1., 1987].
ПОЛЕ ДАВЛЕНИЯ, СОЗДАВАЕМОЕ В СКВАЖИНЕ АКУСТИЧЕСКИМ ИЗЛУЧАТЕЛЕМ
Рассмотрим распространение упругих волн в системе акустический пребразователь-заполнен-ная жидкостью скважина—горная порода. Для описания акустического прибора будем использовать следующую модель: твердый стержень, содержащий радиальный источник смещения. Ось прибора параллельна оси скважины (ось X). Распространение упругих волн в жидкости, заполняющей скважину, описывается уравнением (1):
ДW = Л (1)
У1
где Vf — скорость продольной волны в жидкости,
Vf = l/^/ßfpf; ßf и Pf сжимаемость и плотность жидкости, соответственно; W — вектор смещения частиц в жидкости.
Уравнения, которые описывают распространение упругих волн в насыщенной пористой среде, имеют вид (2):
(A + N)V(V • U) + NV2U + QV(V • V) =
= pnU + P12V + b(U - V), (2)
ÖV(V-U) + RV(V • V) = puU + P22V - b(U - V),
где U, V — компоненты векторов смещений скелета и флюида в порах; р11 — эффективная плотность упругого скелета; р22 — эффективная плотность флюида; р12 — присоединенная плотность флюида; A, N, Q, R — упругие модули Био [Biot and
Willis, 1957]; b = n ; n — коэффицент динамиче-фХ рг
ской вязкости флюида; Kpr — коэффициент проницаемости; ф — коэффциент пористости породы. Система уравнений (2) описывает распространение двух продольных и одной поперечной волны [Biot, 1956; Николаевский и др., 1970; Bourbie et al., 1987]. Продольной волне 1 рода в области частот, характерной для геоакустики, соответствуют почти синфазные колебания твердого скелета и флюида в порах. В продольной волне 2 рода смещения частиц твердой и жидкой фаз про-тивофазны, поэтому она обладает большим затуханием. Как правило, в геоакустических измерениях регистрируются продольные волны 1 рода. Регистрация продольной волны 2 рода требует специальных экспериментов [Plona, 1980]. Тем не менее, в неоднородной среде генерация на границах включений быстро затухающих продольных волн 2 рода приводит к существенной диссипации энергии и изменению амплитуд регистрируемых волн [Крутин и др., 1987; Марков, 2005].
Для решения системы динамических уравнений пороупругой среды целесообразно ввести потенциалы продольных ФЛ, Фf и поперечных волн [Крутин и др., 1986; 1987; Tang and Cheng, 2004] соотношением (3):
U = УФ, + rot¥,, V = УФf + rotVf. (3)
В частотной области эти потенциалы удовлетворяют уравнениям Гельмгольца, а во временной области описываются уравнениями (4):
ф, = (2П)211»[xXW*r)
Y, = nJ J SfaXHiV r)ei(kzZ-mt)dkzd®,
—Ю — Ю да да
f = (2П)1 J J S^)[Mi(®)XiH01)(kr)r) + (4)
Ф f =
M2(ю)Х2Н®(kfr)] ei(kzZ-at)dkzd ю,
1
*Vf = n 0-2 x
f 0 (2n)2
x J J S(ro)M3(®)X3H1a)(k)(3)r)ei(kzZ—№t)dkzda.
—да —да
Здесь к®, к(2) — радиальные компоненты волновых векторов продольных волн первого и второго рода,
1 (3)
соответственно; кг — радиальная компонента волнового вектора поперечной волны; % — единичный
вектор направления 9; функция S(a>) описывает частотный спектр излучателя. Функции МДю) задаются соотношениями (5) [Косачевский, 1961; Крутин и др., 1987]:
M = Yl2 + ^ , j = 1,2, M3 = , (5)
-Y 22 + ^12 + iy -Y 22 + ii
1де У11 = Pll/P, Y12 = P12M Y22 = P22/P, Y = ^Ap^X
G11 = (A + 2N)/H, G12 = Q/H, 022 = R/H, P = P11 + + 2P12 + P22,
H = A + 2N + 2Q + R, ^ = кjH j(рю),
являются корнями квадратного уравнения:
(a11a12 - ^22)^2 + (a1lY22 + ^22Yl1 -- 2a12Y12 + iY)^ j + Y11Y22 - Y22 - i'Y = 0,
кз [у 11 +У12 + IУ(Мз -1)],
N
р — плотность породы.
Потенциал смещения продольной волны в жидкости описывается формулой (6):
9f = (2П)2 J jS(ö>) [X4/0(k<f)r)-
—да —да
+ X5H01)(k)f) r)] ei(kz—ш ]dkzd ш,
(6)
где к{р — радиальная компонента волнового вектора продольной волны; вектор смещения жидкости W = Уф ;.
X2H01)
(kfr)]
ei(k'z -at)dkzd ш,
Как правило, измеряемым при акустическом каротаже параметром является акустическое давление, которое описывается выражением (7):
P(() = -
1
(2п)2
{ { и2р^(ш)^J0(k(rV)-
(7)
X5H0
(1)(kf)r)] ei(kzz-(Bidkzda.
Неизвестные величины X] в выражениях (4), (6), (7) определяются из краевых условий на границах скважина—прибор (при г = а) и скважина—порода (г = К). Эти условия имеют вид:
Ur
(8)
'rrlr =R
Jmr=R
п, и < г [0, и > 11
где а — радиус акустического прибора; 21 — длина акустического излучателя;
-(1 -Ф)рг=*, (9)
= 0, (10)
4=я =-ФЯ, (11)
(1 -ф) иг + ФУ = . (12)
Здесь 8 и о у—тензоры упругих напряжений в жидкости и упругом скелете. Выражение (8) описывает акустический излучатель акустических колебаний длины 21, расположенный на поверхности акустически жесткого каротажного прибора; условие (9) выражает непрерывность нормальных напряжений; условие (10) описывает отсутствие тангенциальных напряжений на границе; условие (11) выражает непрерывность давления в жидкости, и условие (12) описывает непрерывность потока жидкости на границе. В случае, когда поры на границе закупорены, например, твердой глинистой коркой, условие непрерывности давления заменяется на условие равенства радиальных скоростей жидкости и частиц твердого скелета:
Ur = Vr
=R
(13)
Для описания временной зависимости излучаемого импулься использовалось выражение (14):
S(t) = Asin(®0Oi2e а'-
(14)
Здесь ю0 — ведущая частота излучателя; а = ю0/-\/3 — временной коэффициент затухания импульса; А — амплитуда излучаемого импульса; детали расчетов синтетических волновых картин изложены, например, в работе [Маркова и Садовничий, 2011].
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
В качестве примера рассмотрим распространение волн в пористой среде, свойства которой со-
0.5 м
0.3 м
0.1 м
Р
1000
800 600 400 200 0
—200 —400 —600 —800 -1000
0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
мс
Рис. 1. Синтетические волновые картины, рассчитанные для разных расстояний источник—приемник. Цифры над кривыми соответствуют расстояниям излучатель—приемник.
ответствуют, например, водонасыщенному известняку, залегающему на глубине 2—3 км. Упругие постоянные A, N, Q, R рассчитывались с использованием известных соотношений [Biot and Willis, 1957]:
A = Xs + КаХ/ф, Q = aoKoSo, R = фВД, (15)
где ao = 1 - ф - KJKr, So = фКг/(фК + aoKo), Xs — упругий модуль Ламе скелета с пустыми порами; Ks — модуль всестороннего сжатия пористого скелета с пустыми порами; Kr - истинный модуль сжимаемости твердой фазы, K0 — модуль всестороннего сжатия жидкости. Расчеты упругих модулей скелета с пустыми порами были выполнены с использованием самосогласованного ЕМА метода [Berryman, 1980; Kazatchenko et al., 2004]. Скорость продольной волны в веществе скелета была принята равной 6.25 км/с; отношение скоростей продольной и поперечной волн — 1.9; плотность вещества скелета — 2.71 г/см3; скорость продольной волны в жидкости 1.5 км/с; плотность — 1 г/см3; вязкость — 0.001 Па с. Коэффициенты пористости и проницаемост
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.