ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 2, с. 229-241
УДК 519.633
РЕЗОЛЬВЕНТНЫЙ ПОДХОД ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ^
© 2015 г. М. Ш. Бурлуцкая*, А. П. Хромов**
(*394006Воронеж, Университетская пл., 1, Воронежский гос. ун-т;
**410012 Саратов, Астраханская, 83, Саратовский гос. ун-т) e-mail: bmsh2001@mail.ru, KhromovAP@info.sgu.ru Поступила в редакцию 25.06.2014 г.
Исследуются смешанные задачи для волнового уравнения (случаи закрепленных концов и периодических условий) при минимальных требованиях гладкости начальных данных. Разработан подход, основанный на методе контурного интегрирования резольвенты оператора, порожденного соответствующей спектральной задачей. Этот подход позволяет получить классическое решение, не используя при этом уточненные асимптотики для собственных значений и какую-либо информацию о собственных функциях. Библ. 12.
Ключевые слова: смешанная задача, волновое уравнение, метод Фурье, классическое решение, резольвента.
DOI: 10.7868/S0044466915020052
Обоснование метода Фурье в задачах математической физики традиционно опирается на доказательство равномерной сходимости ряда, представляющего формальное решение задачи, и рядов, получающихся из него почленным дифференцированием нужное число раз. В.А. Стек-лов, впервые давший строгое обоснование метода Фурье, придерживался этой точки зрения (см. [1, с. 224]). Эта точка зрения сделала метод Фурье очень популярным, было проведено большое количество исследований и достигнуты значительные успехи. Информация обзорного характера содержится, в частности, в книгах И.Г. Петровского [2], В.И. Смирнова [3], О.А. Ладыженской [4], В.А. Ильина [5] (см. также [6]), В.А. Чернятина [7]. Недостатком такого подхода является то, что он требует завышения гладкости начальных данных. Выход из этого положения намечен А.Н. Крыловым [8] в его исследованиях по ускорению сходимости рядов Фурье и им подобных. Суть его приема состоит в том, что изучаемый вопрос о дифференцировании ряда решается путем разбиения его на два ряда, один из которых точно суммируется (и тем самым в этом случае не надо прибегать к почленному дифференцированию), а второй ряд сходится настолько быстро, что его можно почленно дифференцировать. Им были успешно преодолены трудности, связанные с невозможностью почленного дифференцирования на ряде конкретных прикладных задач. Приведем его слова: "Изложенный прием усиления быстроты сходимости рядов Фурье и нахождения производных от функций, ими представляемых, может служить для доказательства или проверки того, что представляемая рядом функция действительно удовлетворяет тому дифференциальному уравнению, как решение коего она найдена, хотя бы самый ряд и нельзя дифференцировать почленно требуемое число раз" (см. [8, с. 227]). В.А. Чернятин [7] приемом А.Н. Крылова с применением асимптотик для собственных значений и собственных функций успешно исследовал ряд задач методом Фурье и значительно ослабил условия гладкости, а в ряде случаев эти условия стали минимально возможными. Переход от формального решения к новому виду, вытекающему из исследований А.Н. Крылова, В.А. Чернятина, есть качественно новый шаг, позволяющий с исчерпывающей полнотой исследовать смешанные задачи методом Фурье и ставящий много новых важных вопросов и в теории функций.
В настоящей статье дается дальнейшее развитие метода А.Н. Крылова и В.А. Чернятина путем привлечения метода контурного интегрирования резольвенты оператора, порожденного спектральной задачей метода Фурье. В результате удается получить классическое решение двух смешанных задач для волнового уравнения (случаи условий закрепления и периодических) при ми-
1) Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 13-01-00238, 14-01-00867), второго автора — в рамках выполнения гос. задания Минобрнауки России (проект № 1.1520.2014К).
нимальных условиях на исходные данные, не используя при этом уточненных асимптотик для собственных значений и никакой информации о собственных функциях.
Идея резольвентного подхода и результаты разд. 1 принадлежат А.П. Хромову, результаты разд. 2 принадлежат М.Ш. Бурлуцкой.
1. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ
Рассмотрим задачу
д 2ы(х, 0 д2ы(х, 0 / ч / л /1\
V = Л - 2(х)"(х, 0, (1)
дг дх
и(0, г) = и(1, г) = 0, (2)
и(х, 0) = ф(х), и'(х, 0) = 0. (3)
Это наиболее простой случай для исследования (но лишь в смысле выкладок, а не трудностей принципиального характера). Считаем, что д(х) е С[0,1] и комплекснозначная, и
Ф(х) е С2[0,1], Ф(0) = Ф(1) = ф"(0) = ф"(1) = 0. (4)
Условия (4) на ф(х) являются минимальными для существования классического решения. Условие и'(х, 0) = 0 берется для простоты.
1.1. Преобразование формального решения
Метод Фурье связан со спектральной задачей для оператора Ь:
Ьу = -у"(х) + ?(х)у(х), у(0) = у(1) = 0.
Теорема 1. Собственные значения оператора Ь, достаточно большие по модулю, простые, и для них имеют место асимптотические формулы:
^п =Р^ Р« = пп + 0(1/п), п = П0, П0 + 1, .... Это хорошо известный факт (см., например, [9, с. 74—75]).
Замечание 1. В [9] приведена более точная асимптотическая формула для собственных значений, но она нам не потребуется. Нам даже достаточно, если заменить 0(1 /п) на о(1).
Пусть уп = {р||р - пп| = 5), где 5 > 0 и достаточно мало, а п > п0 и п0 таково, что при всех п > п0 внутрь и на границу уп попадает лишь по одному из рп. Пусть уп — образ уп в X -плоскости (X = р2, Яер > 0). Обозначим через Ях резольвенту оператора Ь, т.е. Ях = (Ь - XЕ)-1, где Е — единичный оператор, X — спектральный параметр. Тогда по методу Фурье формальное решение задачи (1)—(3) представимо в виде
и(х,г) = [ (Я^ф)ео8рг йX + У (ф,у„)ф„(х)ео8р„г, (5)
2т •>
где г > 0 фиксировано и взято таким, что все собственные значения, меньшие по модулю г, имеют номера, меньшие щ, на контуре |= г нет собственных значений, фп(х) — собственная функция оператора Ь для собственного значения Xп, система {уп(х)} биортогональна системе {фп(х)}. Представим (5) в виде (см. [10], [11])
и(х,г) = —— [ (Л^ф)ео8ргйХ- У^^ [(Л^ф)ео8ргйX. (6)
|Х|=г п-п0 у п
Таким образом, получаем, что в формальном решении и(х, г) не фигурируют ни собственные значения, ни собственные функции, и для нас теперь исходным формальным рядом будет ряд (6). Проведем дальнейшее преобразование ряда (6).
Лемма 1. Пусть ц0 не является собственным значением оператора L и таково, что | ц0| > r и ц0 не находится внутри и на границе у n ни при каком n > n0. Тогда
[(R^)cos pi dX = f—1—(R} g) cos pi dX, (7)
• JX- ц0
Y n Y n
где g = (L - |o£>.
Доказательство. Так как ф(х) е DL (DL — область определения оператора L), то имеем g(x) = (L - X E)(p + (Х- ц 0)ф. Отсюда следует, что Rxg = ф + (Х - ц 0)R^, и поэтому имеет место (7). Теорема 2. Для формального решения u(x, t) имеет место формула
u(x, t) = u0(x, t) + u1(x, t) + u2(x, t), (8)
где
u0(x, t) = —— f R g cos pt dX-Y — f R g cos pt dX, 2ni J X - ц0 ^ 2ni J X - ц0
Ui(x, t) = - 2- J —1— \_RXg - rIg] cos pt dX, 2TCi X — a
U2(x, t) = - Y Jx—— IRg - Ra!g] cos pt dX,
' 2ni X — — 0
«>«0 у n rU
= (Ь0 - ХХ)-1 — резольвента оператора Ь0, который есть оператор Ь при д(х) = 0 (считаем, что вышеприведенные требования на ц0 выполняются и для оператора Ь0).
Доказательство. По лемме 1 для формального решения имеет место формула
u(x, t) = -— f - cos pt dX-У — f-^- cos pt dX, (9)
2ni J X - ц0 2ni J X - ц0
и утверждение теоремы становится очевидным после прибавления и вычитания в правой части (9) выражения (9), взятого в случае q(x) = 0.
1.2. Исследование u0(x, t)
Для u0(x,t) получим точную формулу. Лемма 2. Имеет место соотношение
R}. g = Ф1 + (^-ц о)^з°ф1,
где ф1 = Rl g.
Доказательство. Имеем
R°g = Rx(Lo - и оЕ)( Lo - ц оЕ) _1g = Rx( L - И оЕ)ф1 = R^-L -XE + (Х- ц о)Е)ф1 = Ф1 + (Х- ц о) R^V
По лемме 2 из выражения для u0(x, t) вытекает Лемма 3. Имеет место формула
Uo(x, t) = - 2- К R^1) cos pt d Х- У К R^1) cos pt d X. (10)
|X|=r n-no у n
Для дальнейшего потребуется точная формула для резольвенты Rx. Обозначим через z1(x, р) и z 2(x, р) решения уравнения
y" - q(x)y + р y = о
с начальными условиями
Z1(0, р) = 1, z1(0, р) = о, Z2(0, р) = о, z2(0, р) = 1. Тогда Zj (x, р) являются целыми функциями по р и даже по X, где X = р2.
Теорема 3. Для резольвенты Ях имеет место формула
Ы = ^2(х, Р)(/, «1) + ^х, р)(/, ^2) + (Мр/)(х), (11)
где
1
vX р) = ^Р^ р), (f, g) = Jf(x)g(x) dx,
(Mpf) (x) = JM(x, t, p)/(t) dt, M(x, t, p) =
Zl(t,p) z 2 (t, p) Zl(x, p) z2(x, p)
Доказательство. Если у = Ях/, то у удовлетворяет уравнению
у" - Ч(х)у + р У = /(х) (12) и условиям у(0) = у(1) = 0. Общее решение неоднородного уравнения (12) имеет вид
у(х) = С1«1(х, р) + С2« 2(х, Р) + (Мр/ )(х), (13) где с1 и с2 — произвольные постоянные. Подчиняя (13) краевым условиям, получаем
1 х
/ = _|М(1,г,р)/(г) йг + |м(х,г,р)/(г) йг,
rxj
Z2(1, Р)0
откуда следует (11).
Замечание 2. Для Rx имеет место формула
R°f = —z0 (x, Р) (f, Zi0) + v 0(x, p) (f, z 2) + (M0pf) (x), (14)
где z10(x, p), z2(x, p), v0(x, p), Mp те же, что и z1(x, р), z2(x, р), v(x, р), Mр, но взятые теперь для оператора L0. Таким образом, z10(x, р) = cos px,
0, ч sin px 0, ч sin px cos p
z 2(x, p) = -Z-, v (x, p) = -^-^.
p sin p
Лемма 4. Имеет место формула
да
u0(x, t) = 2 У ((£,),sin nn£,)sin nnx cos nnt. (15)
n=1
Доказательство. Так как первое и третье слагаемые в (14) суть целые функции по X, то формула (10) переходит в силу (14) в
u0(x,t) = --L f sin pxcospcos pt(ф1(^) ,sinpfydX - V-^ fsin pxcos pcos pt(ф1(^) 2ro J psinp ^2roJ psinp
|X|=r n-n0 y n
Отсюда, так как собственные значения XП оператора L0 имеют вид XП = п2п2, n = 1,2,..., по теореме вычетов следует утверждение леммы.
Следствие. Имеет место формула u0(x,t) = £ + + £_, где
да
2± = V(ф1(Е,),sinnn£,)sinnn(x ± t).
n=1
Теорема 4. Имеет место формула
U)(x, t) = 2 (ср 1(x +1) + ср 1(x -1)), (16)
где (p 1(x) e C (-да, да), нечетна, ф 1(x) = ф 1(2 + x), и (р 1(x) = 91(x) при x е [0,1].
0
0
Доказательство. Так как ф^х) е DLi¡ , то ряды £± сходятся абсолют
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.