ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 5, 2013
МЕХАНИКА МАШИН
УДК 534.1
© 2013 г. Асташев В.К., Пичугин К.А.
РЕЗОНАНСНАЯ НАСТРОЙКА И ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ
УЛЬТРАЗВУКОВОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ С ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМ ВОЗБУДИТЕЛЕМ КОЛЕБАНИЙ
Исследована динамика ультразвуковой стержневой системы с пьезокерамиче-ским возбудителем колебаний. На основе анализа уравнений колебаний электромеханической системы рассмотрены способы резонансной настройки. Выявлены основные особенности конструкций и поведения системы в резонансных режимах. Найдены пути выбора оптимальных параметров системы, при которых амплитуда колебаний рабочего элемента системы максимальна.
Пьезокерамические возбудители колебаний [1, 2] широко применяются в стержневых колебательных системах ультразвуковых технологических установок благодаря их преимуществам по сравнению с магнитострикционными возбудителями: небольшие размеры, высокая добротность и, как следствие, меньший нагрев колебательной системы. Недостатком пьезокерамики является ее хрупкость, что серьезно ограничивает максимально возможные нагрузки и, соответственно, эффективность технологической установки в целом.
Эффективность ультразвукового технологического процесса в значительной мере определяется амплитудой колебаний рабочего инструмента. Для получения максимальной амплитуды осуществляют резонансную настройку колебательной системы, содержащей возбудитель колебаний и стержневые волноводы, передающие колебания инструменту. Для построения такой резонансной системы необходимо отыскать условия ее резонансной настройки. Вместе с тем в работах, посвященных ультразвуковым технологическим системам [3, 4], как правило, ограничиваются рассмотрением отдельных ее элементов, но не всей системы в целом. Исключение составляет, пожалуй, только книга [5], в которой рассмотрены частные случаи построения ультразвуковой колебательной системы с пьезоэлектрическим возбудителем.
В настоящей статье предпринята попытка рассмотрения динамики всей системы, поиска условий ее резонансной настройки и оптимальных параметров.
1. На рис. 1 приведена схема ультразвуковой стержневой системы, состоящей из двух стержней 1 и 2, между торцами которых размещена пьезокерамическая пластина 3, служащая возбудителем колебаний. Работа пьезоэлектрического возбудителя колебаний основана на использовании прямого и обратного пьезоэлектрических эффектов. При питании пьезоэлемента переменным электрическим напряжением
v = v0 eJ№> (где v0, ю — амплитуда и частота переменного напряжения) возникающее
между обкладками электрическое поле вызывает его деформацию (обратный пьезоэлектрический эффект). Со стороны присоединенных стержней действуют силы, противодействующие деформации, создающие механические напряжения в материале пьезокерамической пластины и вызывающие ее электризацию (прямой пьезоэлектрический эффект). Таким образом, при колебаниях пластины оба эффекта, прямой и обратный, работают одновременно.
Для описания колебаний системы проведем ее расчленение по местам стыковки элементов и заменим их взаимодействие силами, приложенными в узловых сечениях. Силы, действующие на смежные подсистемы в месте стыка, равны по величине и противоположны по направлению, т.е. отличаются только знаком
/31 = -/13, /32 = -/23, (1)
Здесь первый индекс обозначает номер подсистемы, со стороны которой приложена сила, второй — номер подсистемы, на которую действует сила.
Будем предполагать, что пьезокерамическая пластина имеет малую толщину l3 < X (где X — длина волны в материале пластины), поэтому деформацию пьезоэлемента можно считать однородной с относительной деформацией s = Al3/l3, где Al3 — деформация пластины. Кроме того, учитывая малость толщины пластины и высокую добротность ее материала, в дальнейшем не учитываются инерционные и диссипативные характеристики пьезоэлемента. Тогда, вследствие однородности деформации, силы, действующие на пьезоэлемент f32 = —f31 и согласно равенствам (1) силыf13 = —f,3. Для упрощения дальнейших записей обозначим f31 = f0.
Будем рассматривать гармонические колебания системы, представляя движение сечения xi любого из ее элементов (i = 1, 2, 3) величиной uix(t) = a, где aix — комплексная амплитуда колебаний.
В дальнейшем нас будут интересовать амплитуды колебаний узловых сечений и концевого сечения xx = l1 стержня 1. Для определения амплитуд колебаний этих сечений стержней запишем следующие уравнения:
a10 = F0L00), a1l = Fo L0) }, a2í = -F0L;;2), (2)
где F0 — комплексная амплитуда силыf0; L^ = L^ (ja) — динамическая податливость, связывающая комплексную амплитуду колебаний сечения r подсистемы i (i = 1, 2) с силой, действующей в сечении s.
Уравнения, описывающие колебания пьезоэлемента, имеют вид [1]
ст = Es + ФЛ, E = Фs + ^D, (3)
где ст — механическое напряжение в пьезоэлементе; s — его относительная деформация; D — индукция электрического поля; E — модуль упругости материала пьезоэлемента при отсутствии индукции (D = 0, т.е. при короткозамкнутых обкладках); Ф —
пьезоэлектрическая постоянная Мэсона; E — напряженность электрического поля; £ — диэлектрическая постоянная пьезоэлектрического материала при отсутствии деформации (е = 0).
Учитывая неразрывность контактов элементов колебательной системы в узловых сечениях и однородность деформации пьезоэлемента, находим
а = /)/Б, е = (и21 - и10)//з,
(4)
где Б — площадь основания пьезоэлемента.
Для электрических параметров в выражениях (3) имеем
Б = д/Б, Е = V//3, £ = С/3 / 5,
(5)
где д — заряд на обкладках пьезоэлемента; С — его электрическая емкость в отсутствие деформации.
Из соотношений (3) после подстановки выражений (4) и (5) получим уравнения, связывающие комплексные амплитуды механических и электрических величин
Р0 = Ка + Ф д0, v0 = Фа + д0/С,
(6)
где К = ЕБ/13 — жесткость пьезоэлемента при отсутствии индукции; д0 — комплексная амплитуда заряда на обкладках пьезоэлемента;
а = (а2/ - а10)
(7)
— комплексная амплитуда деформации пьезоэлемента.
Полученные уравнения (2), (6), (7) позволяют найти все параметры колебаний рассматриваемой электромеханической системы. Из соотношений (7) и (2) находим
а = —Р0Ь2.
(8)
Из уравнений (6) и (8) находим комплексные амплитуды силы
^0 =
V0Ф С
1 + к1 и,
(9)
деформации пьезоэлемента
V0Ф СЬ2 " 1 + К1Ь -
(10)
и заряда
90
V 0 С( 1 + КЬ £ )
1 + кь 2 ,
где К1 = К - СФ2
Ь (1) + Ь (2) Ь00 + Ь// .
Теперь из соотношений (2) и (9) можно определить комплексные амплитуды колебаний смежных и рабочего сечений элементов колебательной системы. Для этого запишем выражения для вычисления динамических податливостей [6]
, С08^-};т(С08^- Ъ^^
т(.ч 1 4 п
Ою) =---,
4п
s = 0, /; I = 1, 2,
(11)
1 - j I
Г(1Ь .ч 14п
Loi Ою) =---, (12)
wra • ^ . w f у sinCi -jj-CieosCi 4 п
где Z; = ю1/с; с = JWJp — скорость звука в материале стержней; w = SjWp — волновое сопротивление стержней; E, р, у — модуль упругости, плотность и коэффициент поглощения материала стержней; S — площадь их поперечного сечения. Заметим, что при заданной частоте ю величина Z представляет безразмерную длину стержня.
Из (11) находим
1 sin g - j 4-П (sin Z - Z eos Z)
LsO) = -W--™-, (13)
w& sinZi sinZ2 - j-I- (Z1 eosZi sinZ2 + Z2COsZ2sinZi) 4п
где Z = Zi + Z2 = ®(li + li)/c.
Здесь далее коэффициент поглощения у предполагается малым и все вычисления ограничиваются величинами первого порядка малости.
2. Перейдем к решению проблемы резонансной настройки рассматриваемой системы. Обычно в теории колебаний рассматривают два способа возбуждения колебаний — силовое и кинематическое [6, 7]. В первом случае считается, что в точке возбуждения действует заданная сила, во втором полагают, что точка возбуждения совершает колебания с заданной амплитудой.
Рассматриваемую здесь колебательную систему, строго говоря, нельзя отнести ни к одному из указанных видов, потому что, согласно выражениям (6) и (8), сила возбуждения и амплитуда колебаний взаимозависимы.
Найдем условия резонансной настройки в предположении, что система находится в условиях вынужденных колебаний. В этом случае условием возбуждения резонансного режима согласно второму соотношению в (2) будет ReL^' (jra) ^ да, что в соответствии с выражением (12) достигается при sinZ1 = 0 или Z1 = пи, где n = 1, 2, 3, ... Теперь из выражений (9) и (10) с учетом (13) при у = 0, т.е. при отсутствии диссипации в стержнях, находим амплитудные значения силы взаимодействия элементов системы и деформации пьезоэлемента
F0 = 0, a = у0Ф2С/К1. (14)
Последнюю формулу в (14) можно получить непосредственно из уравнений (6) при F0 = 0. Кроме того, можно показать, что при данной настройке длина второго стержня должна удовлетворять условию sin Z2 = 0. Это означает, что при данной настройке в отсутствие потерь возбудитель колебаний не чувствует присоединения к нему стержней, которые совершают колебания на собственных частотах с амплитудами a10 = a1l = a20 = = a2l = a/2.
На рис. 2 показана эпюра амплитуд резонансных колебаний системы. Длины стержней должны быть кратными половине длины упругой волны в стержне. Таким образом, минимальная суммарная длина стержней должна быть равна длине X = 2пс/ю упругой волны в стержне. Пьезоэлемент располагается в пучности волн, где амплитуда колебаний максимальна, а напряжение в материале стержней отсутствует. Видно, что смежные с пьезоэлементом сечения стержней совершают колебания в противофа-зе с одинаковыми амплитудами. Такими же будут амплитуды колебаний свободных концов стержней.
Рис. 3
Заметим, что такая настройка широко используется в ультразвуковых колебательных системах при присоединении, как правило, к резонансному магнитострикцион-ному возбудителю колебаний концентратора, служащего для увеличения амплитуды колебаний его выходного сечения. В данном случае при такой резонансной настройке можно получать только очень малые амплитуды, не превышающие половину величины деформации свободного пьезоэлемента при его питании переменным напряжением с амплитудой v0. Потери энергии в системе вызывают снижение амплитуды колебаний.
3. Рассмотрим иной способ настройки, при котором Re Ьъ = 0. С
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.