ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТРОЛОГИИ
519.246:524
Резонансные гравитационные антенны: характеристики импульсных помех в классе аномально загрязненных распределений
А. В. ГУСЕВ
Для резонансных гравитационных антенн, работающих в режиме «медленной фильтрации» («Slow filtering»), рассчитаны характеристики параметрической модели априорной неопределенности в классе е-загрязненных распределений при наличии широкополосных хаотических пуассоновских импульсных помех.
Ключевые слова: резонансные гравитационные антенны.
For resonant gravitational antennas operating under «Slow filtering» regime the parameters of parametric model of priory uncertainty for the class of e-contaminated distributions at wideband chaotic Poisson's impulse background are calculated.
Key words: resonant gravitational antennas.
При обработке выходного сигнала криогенных резонансных гравитационных антенн (РГА) типа «Explorer» [1] приходится учитывать наличие коррелированных негауссовых помех. Амплитудно-частотное подавление негауссовых помех [2] при некогерентной обработке информации в режиме «медленной фильтрации» («Slow filtering») [1] осуществляется по следующей схеме:
E(t) - БНП - ОФ, (1)
где E(t)=[E1(f)E2(t)]т — векторный случайный процесс на
выходе РГА, компоненты которого E1(t) и E2(t) представляют собой квадраты огибающих узкополосных процессов на выходах отдельных частотных каналов («мод»); БНП — безынерционный нелинейный преобразователь; ОФ — оптимальный фильтр по критерию сигнал—шум. Оптимальная характеристика БНП по критерию сигнал—шум в схеме (1) определяется совместной плотностью вероятности W2 (E1, E2) случайных процессов E1(t) и E2(t) в совпадающие моменты времени.
Аномальное поведение хвостов выборочных распределений случайных процессов E1(t) и E2(t) (по отношению к априори ожидаемым при гауссовых шумах) свидетельствует о наличии в системе хаотических импульсных помех (ХИП). В статистической радиотехнике в качестве модели ХИП часто используется случайный импульсный процесс пуассонов-ского типа [3]. При таком подходе ХИП на входе РГА можно рассматривать как белый негауссов шум:
fc (t) = Е M(t -Tv),
v
где av и tv — «амплитуда» и момент возникновения отдельного импульса. «Амплитуда» av может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Плотность вероятности произвольного пуассоновского процесса £,(f) обычно представляется в виде разложения по полиномам Эрмита (ряд Эджворта) [4, 5]. Коэффициенты
ряда Эджворта определяются семиинвариантами X'
k
случайного процесса £,(f). Применение ряда Эджворта значительно усложняет расчет формы оптимальной характеристики БНП при обработке информации по схеме (1).
В предлагаемой работе суперпозиция гауссова шума РГА и хаотических импульсных помех xc(t) = fc (t) * g(t), где g(t) — импульсная характеристика механической системы в двух-модовом режиме, рассматривается как аномально засоренный случайный процесс с бигауссовым распределением. При таком подходе совместная плотность вероятности W2(E1, E2) случайных процессов E1(t) и E2(t) в совпадающие моменты времени выбирается в классе е-загрязнен-ных распределений: W2(E1, E2) ^ W2e(E1, E2), где 0 < е < 1 — параметр, характеризующий степень загрязнения априорного (ожидаемого при гауссовых шумах) распределения Wpr (E1, E2), который можно рассматривать и как вероятность появления аномалии [6].
При вычислении параметров подобной модели априорной неопределенности предполагаются известными: 1) дисперсии гауссовых помех Oi20 и о|0 на выходах обоих «мод»,
2) средняя частота N1 = const возникновения 5-импульсов,
3) априорное распределение Wpr (a) случайных амплитуд av.
Применение класса е-загрязненных распределений для аппроксимации распределения E(t) значительно упрощает вычисление характеристики БНП при амплитудно-частотном подавлении широкополосных ХИП по схеме (1).
При обобщенном анализе механическую систему современных РГА можно рассматривать как линейную систему с двумя степенями свободы. Тогда, воспользовавшись комплексной формой записи произвольного узкополосного процесса, случайный процесс на выходе линейного тракта РГА можно представить в виде
У (t)=Re [[(t) exp {jMlf} + у 2 (t) exp (jm 2'}],
где rn1, rn2 — собственные частоты механической системы, rn1 = ю2; частота биений (ю2 - ю1) / 2 значительно превышает максимальные частоты в спектрах комплексных огибающих
~i(t) и ~2(t).
При наличии на входе РГА негауссова белого шума учитывая, что в двухмодовом режиме
g(t) = g1{f) + 92(f)-
(2)
где д,(?) = (?)ехр{ю,?}], / = 1, 2 — импульсная характеристика линейного тракта РГА в одночастотном приближении; д,(?) — комплексная огибающая, имеем
у,-(?) = ) + у(?), / = 1, 2.
Здесь п,(?) — комплексная огибающая аддитивных гауссовых помех п, (?) в отдельных «модах»;
~ (t) = Е av ~ (t — Ту) exp j tv}.
(3)
При дальнейшем анализе будем предполагать [1], что
) = ~2 (?) = ).
В этом случае, пренебрегая вероятностью взаимного перекрытия (наложения) отдельных импульсов ХИП на выходе линейного тракта РГА, из (2), (3) находим квадрат огибающей
Е3. (?) ХИП в отдельной «моде»:
Е,С) = )|2 = ЕС) - Еа?Н(*-ту), / = 1, 2;
V
Н(*)=)|2 = ехр|-у|*}, -~<*<-, (4)
где у — характерный параметр в теории РГА, с-1.
Среднее значение Е3(?) и функция корреляции К5(т) импульсного пуассоновского процесса Е5(?) определяются следующим выражением [4, 5]:
Е3(?)=Л/.,а2 УН(?)с№; ак = |ак)Мрг(а)ев, к = 1, 2, ... ;
_ _2 - ^
К3(т) = Е3(?) Е3 (? + т) - Е3 (?) = N1 а4 |Н(?) Н (? + т) Л. (5)
Подставляя (4) в (5), находим
Es(t) = (2/Q)a2, Ks(т) = (1/Q)a4, (l + 2y|x|)expj— 2y|x|},
где Q = 2(y / N1) — средняя скважность ХИП на выходе линейного тракта РГА.
Важной характеристикой ХИП в режиме «Slow filtering» является коэффициент корреляции
0 < Г12 (т) = E1(t)E2 (t + Т) — E1(t> E2 (t + Т) < 1
VD1 D2
(6)
между случайными процессами E1(t) и E2(t); D, = E2 (t) —
2
-ЕI (£) , / = 1, 2 — дисперсии этих случайных процессов.
Действительно, квадраты огибающих гауссовых шумов п1(?) и п2(?) с неперекрывающимися спектрами статистически независимы [4, 5] и, следовательно, при отсутствии ХИП Г12(т) = 0.
При вычислении смешанных моментов Ек (¿|)Е^ (?2)
целесообразно воспользоваться следующей «схемой» (метод рандомизации [4]):
Ei1 (ti)E2 (t2)= Ek1 (ti)xE22 (t2)|E,(ti), Es(t2)
Es(ti), Es(t2)
где — символическая форма записи оператора статистического усреднения. Предполагая, что дисперсии гауссо-
22
вых помех в отдельных «модах» одинаковы, т. е. о^ =О20 =
о
=О0, получаем
Ek1 (ti)E22 (t2) = ki!k2!«k1 + k2 x
X (iF (— ki, 1; — Pi)iF (— k2,1; — P2))
Pi P2
где = 2о2; 1 // () — вырожденная гипергеометрическая
функция; р, = Е3 (?, о.
Следовательно, при воздействии на механическую систему широкополосных пуассоновских ХИП типа дробового шума начальные моменты первого и второго порядков случайных процессов Е1(?) и Е2(?) определяются как
Ei,2(t) = «0 + Es(t), E22(t) = 2«o + 4«o Es(t), E2s(t),
Ei (t) Es(t + т) = «2 + 2«o Es(t) + Es(t) + Es(t + т) , (7)
где E2(t) = Ks (0) + Es(t)2. Из (6) и (7) имеем:
0 < Гю ( т)=-
Ks ( т)
-< 1;
Ks(0) + «2 + 2«0 Es (t) Q 12 ( т) »( (1 + 2y|t|) exp j— 2у|т|}~ qQ .
В классе е-загрязненных распределений совместная плотность вероятности случайных процессов Е1(?) и Е2(?) в совпадающие моменты времени определяется выражением
v
W2e(Ei, E2) = (1-e)Wpr (Ei, E2)+eWe(Ei, E2);
Wpr(E1, E2)= We(El E2; "0)=-jexpj-1, E1, E2 > 0 (8)
"0 [ "0 J
— априорное (ожидаемое) распределение при гауссовых шумах.
В статистической радиотехнике суперпозиция гауссова шума приемника и ХИП часто рассматривается как аномально загрязненный случайный процесс с бигауссовым распределением [6]. Поэтому при дальнейшем анализе будем предполагать, что ^е(Е1, Е2) = ^е(Е1, Е2; Ф.), где Ф. > 0 — неизвестный параметр, Ф. ф Ф0.
Подобная модель априорной неопределенности позволяет рассматривать распределение ^2е () как результат рандомизации распределения (8) при случайной дисперсии
о2 =Фо/2 «гауссовой» помехи:
^2е(Е1, Е2) = (И^ (е., Е2; Ф))Ф = = (1 - е)Ие (Е., Е2; Фо) + еИе (Е., Е2; Ф.),
где Ф — дискретная случайная величина с известным априорным распределением: Р {Ф = Ф0} = (1 - е), Р {Ф = Ф.} = е.
Метод рандомизации также целесообразно применить и для вычисления смешанного начального момента
(Ek1 ()E2k2 (t)) = Ek1 (()E2 (t) в классе е-загрязненных распределений W2e (). При таком подходе
Ek1 ()E22(()= (1-^ (()E22 (()|"„) + е(Ek1 (()E2 ()|"i);
< . мм
(Ei1 (t)Ek(t)|") = JJE^E2k2We(Ei, E2;")dEidE2 = k!^!"21 +i2. Следовательно,
0 0
m
k1k2 ''
Ek1(t) E 22 (t) ki! k2!
"0i + k2 + (1-е) ("i + k2 -<
1 + k2
(9)
Из (9) при k1 = 1, 2 и k2 = 0 находим
mio = "0 + е ("i -"0); m20 = "0 +е("2 -"о) (при m20 -m°0 > 0).
(10)
Будем рассматривать соотношения (10) как систему нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров 0 < е < 1 и Ф.. Тогда
2
е= (10 -Ф2 ; Ф = т20 - т10Ф0
((10-Ф0)2 + m20-m120 ; 1 (л110-Ф0) . (11)
Коэффициент взаимной корреляции между случайными процессами Е.(?) и Е2(?) в классе е-загрязненных распределений в совпадающие моменты времени выражается в виде
r Ю (0) =
mii -mi0
е (1-е) ("i-"0 )2
2m20 - m°0 (1 - е)"2 +е"2 + е(1 - е) ("i -"0 )2 2
0: r е2 (0) =£((l-"0l-
0
(12)
Конкретизируем соотношения (11) и (12) для ХИП типа негауссова белого шума Для такой модели ХИП, учитывая выражения (9), имеем:
тю - "§ = Es (t); m20 = "g + 2"0 Es (t) + ES (t) / 2,
((0-Ф0) + т20 -т10 = Е2 (*)/2.
Таким образом, параметры е-загрязненного распределения ^2() при наличии широкополосной пуассоновской ХИП определим как
е = 2Es(t)2/E2(t); "1 ="0 +е-1 Es(t).
Следовательно,
Q -
е=16=, e-1 Es (t)==const, Q a4 s w 2
a a2
r Ю (0) = е
4
"0 a2
Пусть амплитуды a v отдельных S-импульсов распределены по закону Релея:
Wpr (a) = exp 2
, a>0.
При такой модели a22 = (2o°) k!, а потому
Q-м: е=£; ^(°)=4е|0^
2
Основные результаты и выводы. 1. В режиме «Slow filtering» рассчитаны параметры совместной плотности вероятности W2i; () = W2z (E1, E2) случайных процессов E1(t) и E2(t) в классе е-загрязненных распределений при воздействии на механич
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.