научная статья по теме РЕЗОНАНСНЫЕ ЛЯПУНОВСКИЕ СЕМЕЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВНЖЕНИЙ ОБРАТИМЫХ СИСТЕМ Математика

Текст научной статьи на тему «РЕЗОНАНСНЫЕ ЛЯПУНОВСКИЕ СЕМЕЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВНЖЕНИЙ ОБРАТИМЫХ СИСТЕМ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 68. Вып. 3, 2004

УДК531.36:36

© 2004 г. В. Н. Тхай

РЕЗОНАНСНЫЕ ЛЯПУНОВСКИЕ СЕМЕЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ОБРАТИМЫХ СИСТЕМ

Изучаются локальные периодические движения обратимой системы в окрестности нулевого положения равновесия. В невырожденном случае каждой паре чисто мнимых корней отвечает симметричное ляпунов-ское семейство Ь, если нет резонанса Xj + рХк = 0 (р е 14). Исследован сценарий исчезновения семейства Ьк при е ^ 0 (е - расстройка резонанса). Показано возникновение резонансных симметричных ляпуновских семейств ЬЯа, получены конструктивные условия существования ЬЯа как при е = 0, так и при е Ф 0. При р = 1 обнаружено существование двух циклов; циклы симметричны друг другу относительно неподвижного множества обратимой системы и находятся каждый на расстояние 0( Те) от нуля. Для обратимой системы, записанной в стандартной для теории колебаний форме в переменных "амплитуда-угол", установлена общая теорема о существовании симметричных периодических движений в негрубом случае; теорема является основной для изучения семейств ЬЯа.

1. Предварительные замечания. Автором [1] разрабатывалась идея Ляпунова об использовании порождающей системы, содержащей малый параметр, при изучении негрубых случаев теории периодических движений (ПД). В частности, для системы стандартного вида доказано общее утверждение ([1], теорема 5) о существовании ПД; с точностью до факта отсутствия кратных корней системы амплитудных уравнений получены необходимые и достаточные условия. Теорема использовалась при изучении цикла в различных случаях, близких к резонансным [2], в системе общего вида и в системе Ляпунова. Для обратимых систем теорема нуждается в естественном дополнении, ибо в этом случае система амплитудных уравнений, как правило, допускает семейство решений. Некоторые важные частные случаи утверждения для обратимой системы рассмотрены ранее [1].

При изучении локальных ПД автономной системы (системы Ляпунова, обратимой системы, системы общего вида) в окрестности положения равновесия полезен прием, в котором изменением масштаба задача сводится к задаче о продолжении движения по малому параметру. Так доказывается существование однопараметрических семейств ПД, примыкающих к нулю, в системе Ляпунова [3] и обратимой системе [4,5], так исследуется цикл в системе Ляпунова и системе общего вида [2]. В резонансной системе имеем [2,4,5] негрубый случай теории ПД системы с малым параметром.

Гладкая автономная обратимая система

и = ау + и(и, у)

= Ви + У(и, у); и е Кг, у е Кя(I > п) (1.1)

и(и, -у) = -и(и, у), V(и, -у) = V(и, у); и(0, 0) = 0, V(0, 0) = 0

(А, В - постоянные матрицы, и, V - нелинейные члены) при известных ограничениях допускает [5] в окрестности нуля ляпуновские семейства ПД. Они симметричны

относительно неподвижного множества М = {и, V : V = 0} обратимой системы, образуют (I - п + 1) - семейство и существуют, если: а) характеристическое уравнение линейного приближения имеет пару чисто мнимых корней, б) среди других корней нет корней, равных ±грю (р е в) гапкВ = п.

Возникает вопрос о существовании ляпуновских семейств при нарушении одного из перечисленных выше условий. Условие а не может быть нарушено, ибо ляпуновское семейство близко, по определению, к колебаниям линейной системы, обусловленным парой чисто мнимых корней. Случай нарушения условия б исследован [6] для векторных полей. При этом рассматривался случай Шши = ШшУ, а при рассмотрении кратных корней предполагалось наличие жордановой клетки. Наконец, некоторые случаи с гапкВ = п - 1 изучены недавно [5]. Здесь, в частности, обнаружен эффект "неголо-номной связи", заключающийся во влиянии размерности вектора и на существование ляпуновских семейств.

Ниже для обратимой системы, записанной в стандартной для теории колебаний форме в переменных "амплитуда-угол", установлена теорема о существовании симметричных ПД в негрубом случае. Далее изучается исчезновение ляпуновских семейств в ситуации, близкой к резонансной. Наконец, исследуются ляпуновские семейства при двухчастотных резонансах и при переходе через резонанс.

Для всех случаев получены конструктивно проверяемые условия существования искомых семейств, налагаемые на коэффициенты нормальной формы системы.

Вопрос о существовании ляпуновских ПД исследуется при I > п. Проанализированы как случай точного резонанса, так и случаи, близкие к нему, и получены уравнения, определяющие ляпуновские семейства. Согласно одному из утверждений теоремы из [5], при исследовании случая I > п можно перейти в окрестность выбранной точки многообразия равновесий и получить задачу о движениях в окрестности "нового" нулевого положения равновесия в ситуации, близкой к резонансной. Поэтому задача об эволюции резонансных ляпуновских семейств при переходе от одной точки многообразия к другой его точке и при переходе параметра расстройки резонанса через нуль решается единообразным способом.

В системах общего вида, близких к резонансным системам, правилом является рождение цикла на расстоянии 0(ео) от положения равновесия. При этом о = 1 для резонанса 1:2 и о = 1/2 для резонансов 1:1 и 1:3 [2]. В системе Ляпунова и гамильтоновой системе циклы рождаются на каждом уровне интеграла энергии и образуют семейство циклов (см. [2] и [7], гл. 8, п. 3.2). Резонансные ляпуновские семейства (при е = 0) в этих системах тоже существуют [8 -12].

В обратимой системе ПД существуют как при е = 0, так и при е Ф 0, образуют ляпуновские резонансные семейства, примыкающие к равновесию. Это общее правило нарушается при резонансе 1:1. Здесь, наряду с симметричным ляпуновским семейством, рождаются два цикла, симметричные друг другу относительно неподвижного множества, и находящиеся каждый на расстоянии 0(4~е) от равновесия.

2. Периодические движения обратимой системы, записанной в стандартной форме. При изучении системы с малым параметром, когда порождающая система допускает семейство ПД, удобно использовать стандартную форму записи системы в переменных "амплитуда-угол". В случае обратимой системы "амплитуды" и "углы" подразделяются на две группы "амплитуд" и две группы "углов". Наконец, заметим, что часто удобно использовать два малых параметра [1], а в общем случае скорость изменения каждой "амплитуды" индивидуальна.

После этих замечаний запишем обратимую систему в виде

йа = еРаиа(е, и, у, г) + ца(ц) и1а(е, ц, и, у, г), а = 1,..., ¡г

(2.1)

"р = e^pfe u, v, t) + цр(ц) C/ip(e, u, v, t), в = 1, ..., nj

Uv = U0v(u, v, t) + eUv(e, u, v, t) + цU1 v(e, ц, u, v, t), v = /1 + 1, l

"x = u, v, t) + e Vx(e, u, v, t) + цУ u(e, ц, u, v, t), X = П1 + 1, ..., n

U(e, u, -v, -t) = -U;-(e, u, v, t) U1 j(e, ц, u, -v, -t) = -U1 j(e, ц, u, v, t), j = 1, ..., l

Ук(e, u, -v, -t) = Ук(e, u, v, t)

У1 к(e, ц, u, -v, -t) = У1 к(e, ц, u, v, t), к = 1, ..., n

U0v(u, -v, -t) = -U0v(u, v, t), Уox(u, -v, -t) = Уox(u, v, t)

v = l1 + 1, ..., l; X = n1 + 1, ..., n (l > n, l1 > n1)

(pa, qp e N, ца, p(0) = 0; а = 1, ..., l1, в = 1, ..., n1). Правые части уравнений предполагаются 2п-периодическими по t; e, ц - малые параметры. Пусть при e = 0, ц = 0 система

u2 = U0(A, u2, 0, v2, t), v2 = V0(A, u2, 0, v2, t), A = const

l1 n1 (2.2)

u = (u1, u2), v = (v1, v2); u1 e R, v1 e R

допускает симметричные относительно неподвижного множества {u2, v2 : v2 = 0} 2п-периодическое движение: u2 = j(A, t), v2 = y(A, t). Тогда необходимые и достаточные условия 2п - периодичности симметричного относительно неподвижного множества M = {u, v : v = 0} решения обратимой системы (2.1) имеют вид

"e(e, ц, u0, 0, п) = 0, В = 1, ..., n1

в 0 1 (2.3)

"X(e, ц, u, 0, п) = 0, X = n1 + 1, ..., n

(u0 - начальное значение переменной u). При этом первая группа уравнений (2.3) удовлетворяется тождественно по u0 при e = 0, ц = 0. Поэтому, учитывая пропорциональность скорости изменения переменной "р величине eqe, систему (2.3) запишем в виде

u°) + ^ р(^ u0) + цр^/р^ ц, u0) = 0 р = 1, n1 (2 4)

(2.4)

Пх(u0) + n1x(e, u0) + цх^x(e, ц, u0) = 0, X = n1 + 1.....n

где функции ^1p(e, u0), n1X(e, u0) обращаются в нуль при e = 0. Отсюда следует, что

при выборе цр = o( eqp), ц = o(e) при e ^ 0, система (2.4) совместна при достаточно малых e Ф 0, если решения системы уравнений

£р(u0) = 0, nX(u0) = 0, p = 1, ..., n1, X = n1 + 1, n (2.5)

существуют, и для них

rank 11S^/Su0, 3nX/d u0|| = n (2.6)

Вторая группа уравнений (2.5) при любом и0 = А допускает решение и0 = ф(А, 0).

Поэтому задача отыскания корней уравнений (2.5) приводит к совместности системы

А, ф(А, 0)) = 0, р =1,..., щ (2.7)

Функции определяются в результате интегрирования системы дифференциальных уравнений

4в = ур(0, А, ф(А, г), 0, у(А, г), г), в = 1,..., п1

на отрезке [0, п]. Следовательно, корни уравнений, вычисляются из системы амплитудных уравнений

п

1в(А) = |Vв(0, А, Ф(А, г), 0, у(А, г), г)йг = 0, в = 1, ..., п1 (2.8)

0

Каждому корню А* этих уравнений, удовлетворяющему условию гапк||Эпх/Эи0 || = п - щ

при и° = А*, и2 = ф(А*, 0), отвечает при достаточно малом е Ф 0 решение системы (2.4), если

гапк|| Э1 (А *)/ЗА *|| = п1 (2.9)

Это решение зависит от I - п произвольных параметров, в качестве части которых выбираются 11 - п из множества (А!, ..., Л1}; остальные к = I - п - (^ - щ) при каждом А определяют к-семейство симметричных 2п - периодических решений системы (2.2).

Таким образом, доказывается существование 2п-периодических движений в системе (2.1). Эти движения описываются формулами г

иа = А* + еРа|иа(0, А*, Ф(А*, г), 0, у(А*, г), г)йг + о(еРа), а = 1,..., ¡х

0

г

ив = е?|!]Ув(0, А*, ф(А*, г), 0,у(А*, г), г)йг + о(е?в), в = 1, ••, ^ (2.10)

0

и2 = ф(А*, г) + О(е), и2 = у(А*, г) + О(е)

и образуют (I - п) - семейство.

Теорема 1. Каждому корню А* амплитудного уравнения (2.8) отвечает единственное (I - п) - семейство (2.10) симметричных 2п-периодических движений системы (2.1), если: а) выполняется условие (2.9), б) уравнения в вариациях для решения и2 = ф(А, г), и2 = у(А, г) системы (2.2) при А = А* имеют не более I - п - (11 - п1) корней характеристического уравнения, равных единице, в) ца = о( еРа),

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком