МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2009
УДК 532.516
© 2009 г. И. В. МОРШНЕВА, С. Н. ОВЧИННИКОВА
РЕЗОНАНСНЫЕ РЕЖИМЫ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК БИФУРКАЦИИ КОРАЗМЕРНОСТИ 2 В ЗАДАЧЕ КУЭТТА-ТЕЙЛОРА
На примере задачи Куэтта—Тейлора изучена бифуркация в динамической системе с цилиндрической симметрией, зависящей от нескольких параметров. Найдены точки пересечения двух нейтральных кривых (точки бифуркации коразмерности 2), которым отвечают несколько независимых нейтральных мод. В окрестности точек бифуркации коразмерности 2 взаимодействие этих мод описывается системой амплитудных уравнений на центральном многообразии. Если нейтральные моды невращательно симметричны, то существует семь различных резонансных соотношений, влияющих на кубические члены амплитудной системы. Для резонансов Res 0 и Res 3 представлены результаты расчета точек пересечения и проведен анализ условий существования и устойчивости стационарных режимов.
Ключевые слова: нейтральные кривые, бифуркация коразмерности 2, резонансы, амплитудные уравнения.
Рассматривается бифуркация коразмерности 2 максимально симметричного равновесия динамической системы, зависящей от параметров и инвариантной относительно линейного ортогонального действия группы G = S0(2) х 0(2). Классический пример системы с такого рода цилиндрической симметрией дает задача Куэтта—Тейлора о течении вязкой несжимаемой жидкости между твердыми соосными вращающимися цилиндрами. Имеется, однако, множество иных проблем гидродинамики, нелинейной теории упругости, нелинейной электродинамики, которые могут быть трактованы в рамках общей модели, существенен лишь тип симметрии.
Точке пересечения двух нейтральных кривых в задаче Куэтта—Тейлора отвечает несколько независимых нейтральных мод. В малой окрестности такой точки становится возможным сильное взаимодействие всех этих (точнее, слегка измененных) мод, описываемое нелинейной системой амплитудных уравнений на центральном многообразии. Решениям амплитудных систем фактически соответствуют асимптотики точных решений нелинейных уравнений в частных производных типа уравнений Навье— Стокса или Буссинеска. Исследование амплитудных систем открывает уникальные и до сих пор мало реализованные возможности наблюдения вторичных, третичных и т.д. режимов, вплоть до развития хаоса в системе. Обычно подобные результаты удается получать лишь с помощью трудоемких компьютерных экспериментов.
Построению нелинейной системы амплитудных уравнений для задачи Куэтта-Тей-лора и изучению различных возможных режимов течения для значений параметров вблизи точки бифуркации коразмерности 2 посвящены [1-3]. Однако в этих исследованиях не рассмотрен ряд специфических резонансных ситуаций, указанных в [4, 5].
Резонансные слагаемые амплитудной системы подразделяются на обязательные, отвечающие всегда присутствующим резонансам, и дополнительные, возникающие при выполнении специальных резонансных соотношений между параметрами задачи. В окрестности точек бифуркации коразмерности 2, когда взаимодействуют несимметричные (не обладающие вращательной симметрией) моды, имеется еще шесть типов резонансных соотношений, влияющих на ведущие кубические члены амплитудной
системы. Случай, когда эти резонансные соотношения не выполняются, далее трактуется как нерезонансный.
В работе приводятся результаты расчета точек бифуркации коразмерности 2, отвечающих нерезонансному случаю Res 0 и резонансу Res 3. Вычисляются коэффициенты амплитудных систем в двух близко расположенных друг к другу точках резонансов Res 0 и Res 3, и проводится численный анализ существования и устойчивости некоторых решений амплитудных систем.
1. Постановка задачи. Рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными соосными твердыми цилиндрами радиусов г^, ^ вращающимися с угловыми скоростями Qj, Q2. Безразмерные уравнения движения (уравнения Навье—Стокса) записываются в виде
| + Av = -V„ - ^(v, v) d.D
Vv = 0
где v = (и„ Ug, иz) — скорость течения, p — давление, r, 0, z — цилиндрические координаты, ось z направлена вдоль оси цилиндров, Rj = Q^ d /v — число Рейнольдса, v — кинематический коэффициент вязкости, d = п -1 — безразмерный зазор между цилиндрами, n = r2/r1 — отношение радиусов цилиндров, A — линейный, а L — нелинейный операторы (выражения для них см., например, в [7]). На твердых границах задаются условия прилипания.
Решения системы (1.1) разыскиваются с периодическими по z полями скорости v и давления p и заданным периодом 2п/а.
При любых значениях параметров поставленная задача (1.1) имеет точное стационарное решение — течение Куэтта с вектором скорости v 0(r) = (0, u0g(r), 0), где
Uo0 = ar + b-, a =b = R1=^rLd1
r R1(n2 -1) R1(n2 - 1)d v
R2 — второе число Рейнольдса. Давление p0 = p0(r) находится простым интегрировани-
2
ем уравнения p0 = -u00(r)/r.
Устойчивость течения Куэтта может быть исследована методом линеаризации. Строгое обоснование этого общепринятого метода дано в [6] для возмущений, периодических по осевой переменной z .
Как нелинейная система уравнений (1.1), так и линеаризованная на течении Куэтта обладают группой симметрии G = SO(2) х 0(2) — инвариантны относительно вращений L, трансляций Lhz и инверсии J, действующих на поле скоростей по правилам
(Llv)(t, r, 0, z) = v(t, r, 9 + 8, z), (Lhhv)(t, r, 9, z) = v(t, r, 9, z + h) (Jv)(t, r, 9, z) = (ur(t, r, 9, - z), u0(t, r, 9, - z), - иz(t, r, 9, - z))
В силу этой симметрии решения линеаризованной задачи можно разыскивать в виде Ф(t, r, 9, z) = eiam - i(m0 + kaz\{r) (1.2)
где m — азимутальное, k — осевое квантовые числа (целые), а — осевое волновое число, ют — фазовая частота.
Критическим значением числа Рейнольдса R1*(т, k, а, n, R2) называется значение R1, при котором существует ненулевое решение (1.2). Фиксированным квантовым значе-
ниям чисел m, к и параметрам а, n, R2 отвечает упорядоченная по возрастанию последовательность критических чисел Рейнольдса R* m, к, а, n, R2): Ri* < Ri* < Ri* < • • • •
На плоскости (R1, R2) при фиксированных значениях отношения радиусов n, осевого волнового числа а, квантовых чисел (m, к) и (n, l) нейтральные кривые
R1 = Rp*(m, к, n, R2, а) и R1 = R1?*(n, l, n, R2, а) пересекаются в точке (R1*, R2*)•
В точке пересечения нейтральных кривых (R1*, R2*) линеаризованная задача имеет четыре независимые нейтральные моды с различными азимутальными (m, n ) и осевыми (к, l ) квантовыми числами
ф^, г, е, z) = ei№JФom(r, е, z), ф^, r, е, z) = е1№ПФоп(г, е, z)
Фз(г, r, е,z) = ei№m^1m(r, е,z), Ф4(?,r, е,z) = е'^Фиг, е,z)
Фс» = е - '(m0 + ^ф 0m(r), Фlm = J^Cm) = e-''(m0-^Wr)
Фоп = e-'(n0 + lazVon(r), Ф1п = /(Ф0n) = elazW(r)
2. Амплитудные системы. Малая окрестность точки пересечения (R1*, R2*) состоит из
2 2
точек (R, R2), таких что R1 = R1* + к1е , R2 = R2* + к2е , где s — вещественный малый
2 2
параметр, а коэффициенты к, к2 — параметры надкритичности (к1 + к2 = 1). Асимптотическое решение нелинейной системы (1.1) разыскивается в виде
u = V 00 + Е (Ф + Ф*) + ...
где v 00 — вектор скорости течения Куэтта при критических значениях чисел Рейнольдса, символ * означает комплексное сопряжение. Опущены слагаемые степени 2 и выше по параметру s. Вектор-функция Ф — линейная комбинация нейтральных мод
Ф = ^ 0m(T^1 + ^0п(т)Ф 2 + ^(т)Фз + ^1п(т)Ф4
с неизвестными комплексными амплитудами Е, 0m( т), ^1m(x), ^0п(т), ^1п(т), зависящими
2.
от медленного времени т = s t.
При малых s с помощью теоремы о центральном многообразии или метода осреднения ([1, 2]) строится система комплексных дифференциальных уравнений для амплитуд Е, 0m, ^1m, ^0п и ^1п. Вид амплитудных систем зависит от соотношений между азимутальными m и n , осевыми к и l квантовыми числами и между фазовыми частотами ю» и юп нейтральных мод.
Здесь изучаются два резонанса Res 0 и Res 3. В случае резонанса Res 0 не выполняется ни одно из шести резонансных соотношений, в амплитудной системе присутствуют лишь слагаемые, отвечающие обязательным, всегда присутствующим резонан-сам. Когда выполняются соотношения п = 3m, l = к, юп = Зю» (Res 3), у амплитудных уравнений появляются дополнительные резонансные слагаемые.
При Res 0 (нерезонансный случай) амплитудные уравнения имеют вид
= ^ + ¿Ы2 + + С|Ы2 + ^щР) S1« = ^ + Bi^J + A|£,1m|2 + ЯЫ2 + C|^1ni2) (2
^0п = + P^»2 + ^m2 + ^0/ + ^1n|2) & n = ^(ц + ¿1Ы2 + P|U2 + V Ы2 + U ^1n|2)
где символ ' обозначает производную по т. Выражения для коэффициентов амплитудных уравнений выписаны в [7].
В случае резонанса Res 3 у амплитудной системы появляются дополнительные резонансные слагаемые
= а + Л\% о„|2 + BjijJ2 + С|Ы2 + DßJ2) +
+ ß^1m^0«^*« + G^0m^*m£> 0« +
51 m = + B\% 0m|2 + Л|^1т|2 + D^/ + C^/) +
+ ß^0m^0«^1« + G5om5*m^1« + W^0feo« (2 2)
^0™ = ^+mm2+^u2+и ы2+V ^1«|2)+
+ F^ 0m^*m^1« + W1^> 0m^1m
« = + S^f + P|^1m|2 + V ^ 0«|2 + U ^1«|2) +
+ 0« + W£ Om^L
Выражения для новых коэффициентов амплитудных уравнений ß, G, W, F и W выписаны в [8].
При определенных значениях параметров надкритичности ^ у амплитудных систем, помимо нулевого решения, соответствующего течению Куэтта, существуют другие предельные решения, устойчивые или неустойчивые. Далее изучаются G-стацио-нарные решения амплитудных систем, порождаемые равновесиями подсистем для инвариантов группы симметрии (моторных подсистем) под действием однопарамет-рических подгрупп группы симметрии. Исследуются G -стационарные режимы для нерезонансного случая Res 0. Для резонанса Res 3 анализируется влияние дополнительных слагаемых в амплитудной системе на существование и устойчивость G-стацио-нарных режимов, отвечающих Res 0, и на возможность появления новых режимов.
3. G-стационарные режимы на инвариантных подпространствах. Некоторые из стационарных решений находятся на инвариантных подпространствах. Для инвариантных подпространств с нулевыми амплитудами пространства Yамплитуд (^0m, ^1m, ^0«, e C4
вводятся обозначения: Y 1(E jlPl) — одномерное инвариантное подпространство Y, на котором лишь одна амплитуда ^Jp1 * 0, где j1 = 0,1; p1 = m, n; Y (^jip,, ^hp2) - двумерное подпространство Y, на котором только две амплитуды и ^j2P2 отличны
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.