УДК 521.172:531.011,521.18
РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА ВНЕСОЛНЕЧНЫХ ДВУПЛАНЕТНЫХ СИСТЕМ
© 2010 г. Э. Д. Кузнецов
Уральский государственный университет им. А.М. Горького, Екатеринбург, Россия Поступила в редакцию 19.08.2009 г.; принята в печать 26.11.2009 г.
Исследованы свойства распределения резонансных зон в двупланетной задаче в зависимости от больших полуосей и масс планет на космогонических временах. Использовано решение осредненных по Хори—Депри уравнений с точностью до второй степени малого параметра и учтен переход от средних элементов к оскулирующим. Получены условия перекрытия резонансных зон. Показано, что движение пар планет в экзопланетных системах HD 73526, 47 UMa, HD 181433 (c—d), GJ 581 (b—c), HD 155358 может происходить в областях перекрытия резонансов. Исследована орбитальная эволюция двупланетной системы 47 UMa в следующих случаях: при отсутствии резонанса; в окрестности резонансов 1:2, 3:7, 2:5, 3:8,1:3,1:7 при условии, что начальные данные соответствуют области широкого резонанса; в областях перекрытия широких резонансных зон. Показана возможность хаотизации движения планет системы 47 UMa.
1. ВВЕДЕНИЕ
Изучение резонансных свойств планетных систем предполагает получение ответов на следующие вопросы. Каковы условия наступления резонансов? Где расположены резонансные зоны? Как происходит орбитальная эволюция в окрестности резонансных зон?
В настоящей работе мы ограничимся резонан-сами средних движений, вызванными соизмеримостью частот орбитального движения планет. Рассмотрены резонансные свойства двупланетных систем, в которых более массивная планета находится на внутренней орбите. Для этих систем определены размеры резонансных зон и условия перекрытия резонансов. Проведено подробное изучение особенностей орбитальной эволюции системы 47 иМа.
При анализе орбитальной эволюции используем результаты, полученные в работах [1—5]. Методика исследования, примененная в этих работах, такова. Положения планет описываются в координатах Якоби [6]. Используется система близких к кепле-ровым оскулирующих элементов. Все позиционные элементы малы и безразмерны: а = (а — а0)/а0, е, I = 8ш(//2). А угловые элементы являются долготами: а = I + д + 0, в = д + 0, 7 = 0. Здесь а, а0, е, I, I, д, 0 — соответственно большая полуось и ее некоторое среднее значение, эксцентриситет, наклон к фиксированной плоскости, близкой к неизменной плоскости Лапласа, средняя аномалия, аргумент перицентра, долгота восходящего узла.
Возмущающий гамильтониан представлен рядом Пуассона (ряд Фурье по всем угловым переменным с коэффициентами в виде ряда Тейлора по всем позиционным переменным). Используются разложения с символьными параметрами [3—5], т.е. для всех элементов орбит и масс сохранены буквенные выражения, что позволяет работать с произвольными планетными системами. Применяется метод осреднения в форме Хори—Депри [7]. Осреднен-ные уравнения движения интегрируются численно. Аналитически вычисляются функции замены переменных — разности оскулирующих и средних элементов как функции от последних.
Функции замены переменных полезны при анализе резонансных свойств планетных систем. Во-первых, функции замены переменных используются при оценке ширины резонансных зон. Во-вторых — позволяют осуществлять переход между средними и оскулирующими элементами, что необходимо для корректного описания орбитальной эволюции в окрестности резонансов.
2. РЕЗОНАНСНЫЕ ЗОНЫ И ОБЛАСТИ ПЕРЕКРЫТИЯ РЕЗОНАНСОВ В ДВУПЛАНЕТНЫХ СИСТЕМАХ
При исследовании резонансных свойств дву-планетных систем будем основываться на подходе, предложенном в работах [8—10].
Запишем резонансное условие, используя систему обозначений работ [3—5, 10],
и1ш1 + и4ш2 = 0. (1)
Здесь щ, п4 — индексы при средних долготах первой и второй планет в разложении гамильтониана в ряд Пуассона,
= к,а-3/2 (в = 1,2)
— средние движения планет, к3 — гравитационные параметры, определяемые формулами
к"2 = Ст0 (1 + /т1),
2 „ 1+ ц.т\ + ¡лт2
к2 = Ст0-т--,
1 + /лт1
где С — гравитационная постоянная, т0 — масса материнской звезды, цт\, /т2 — массы планет. Для масс двух планет введены три параметра, сохраняющие некоторую свободу выбора их значений. Можно положить, например, т\ = 1, и тогда / будет отношением массы первой планеты к массе звезды.
Соотношение (1) редко выполняется точно. Введем резонансное значение большой полуоси орбиты второй планеты, при котором (1) удовлетворяется:
a2es
a1
пЛ
ni)
2/3
1 + im1 + ¡im2
1/3
Да =
о = Е
иш=0
1.5x2 а2 5/2
Здесь Акп — коэффициенты ряда Пуассона, представляющего функцию замены переменных для большой полуоси а2, к — мульти-индекс вектора позиционных переменных
а, а о
^35 — 2 — п 5 ^35—1 —
13
х3з = 8т—, з = 1,2.
Для широкого резонанса размер резонансной зоны составляет
Да = iC + :
C =
Е
ш = 0
Bknx
(4)
(2)
(1 + /лтг)2
Решение, основанное на разложении гамильтониана и производящей функции преобразования Хори—Депри в ряд Пуассона, неприменимо или ограниченно применимо для больших полуосей из интервала
а2 е [а2ез - Аа,а2ев + Да].
Здесь Да — ширина резонансной зоны, зависящая от амплитуды возмущений. В методе осреднения информацию о короткопериодических возмущениях содержит функция замены переменных, описывающая связь между средними и оскулирующими элементами.
Мы можем определить Да из различных условий. Используем понятия узкой и широкой резонансных зон. Строгое определение, требующее нескольких страниц текста, можно найти в работах [8,9]. Но существо понятия несложно. Если малый параметр действительно мал, то зоны разных резонансов не перекрываются. Вне зоны резонанса движение условно периодично, по крайней мере в первом приближении по /. При определении узкой зоны учитывается только одна резонансная гармоника, для которой выполнено условие (1). При определении широкой зоны учитывается дополнительно влияние нерезонансных короткопери-одических слагаемых.
Ширина узкой резонансной зоны согласно [8, 9] равна
Акпх
Здесь Вкп — коэффициенты эшелонированного ряда Пуассона, представляющего функцию замены переменных для большой полуоси а2. Нерезонансные слагаемые учитываются как сумма модулей амплитуд.
Определим резонансные значения больших полуосей и оценим размеры резонансных зон Да для двупланетных систем, в которых более массивная планета находится ближе к своему светилу, чем менее массивная: т1 > т2, а1 < а2. При вычислениях по формулам (3), (4) используем функцию замены переменных для большой полуоси второй планеты [4].
В табл. 1 и 2 даны резонансные значения (2) большой полуоси орбиты второй планеты а2ез/а1, выраженные в единицах а1, соответствующие им значения индексов п1, п4, размеры (3), (4) резо-
~res min
ные ameasx значения большой полуоси, соответствующие границам узкой и широкой резонансных зон. Пустые ячейки табл. 1 и 2 соответствуют резо-нансам, для которых из-за эффекта перекрытия резонансных областей не удалось надежно оценить размер Да и положение границ ajmn, ameasx широких резонансных зон. Результаты приведены для двух значений малого параметра ¡ = 1/300 (табл. 1) и i = 1/100 (табл. 2). В зависимости от выбранного определения малого параметра
m1 m1 + m2 — или u =-
m0 m0
i
получаем следующие выражения для масс планет: 10 10
m1
3
■mj или
(3)
при i m1 = 10mj или
при i = где mj — масса Юпитера.
т\ + т2 = —mj 3
1
" 300'
m1 + m2 = 10mj 1
100'
Таблица 1. Резонансные значения больших полуосей и размеры резонансных зон при л = 1/300
П1 П4 ar2es/a-i Узкий резонанс Широкий резонанс
Да res min res m:i\ Да res min .res m:i\
8 -11 1.235 0.130 1.105 1.365
5 -7 1.250 0.179 1.071 1.430
7 -10 1.267 0.107 1.160 1.375
9 -13 1.277 0.080 1.196 1.357
2 -3 1.309 0.265 1.044 1.574
9 -14 1.341 0.037 1.304 1.379 0.252 1.090 1.593
7 -11 1.350 0.051 1.299 1.402 0.255 1.095 1.605
5 -8 1.367 0.068 1.299 1.434 0.257 1.110 1.623
8 -13 1.381 0.028 1.353 1.409 0.172 1.209 1.553
3 -5 1.404 0.117 1.287 1.522 0.309 1.095 1.714
7 -12 1.431 0.022 1.409 1.453 0.117 1.314 1.548
4 -7 1.451 0.053 1.398 1.503 0.162 1.289 1.613
5 -9 1.478 0.030 1.449 1.508 0.108 1.370 1.586
6 -11 1.496 0.016 1.480 1.513 0.077 1.419 1.574
7 -13 1.509 0.009 1.500 1.519 0.061 1.448 1.571
1 -2 1.586 0.107 1.479 1.693 0.232 1.354 1.818
5 -11 1.690 0.005 1.685 1.695 0.026 1.664 1.716
4 -9 1.715 0.008 1.707 1.724 0.031 1.685 1.746
3 -7 1.758 0.015 1.743 1.772 0.040 1.717 1.798
2 -5 1.840 0.025 1.815 1.865 0.058 1.782 1.898
3 -8 1.921 0.005 1.916 1.927 0.017 1.904 1.938
1 -3 2.078 0.035 2.043 2.113 0.073 2.005 2.151
2 -7 2.303 0.003 2.300 2.306 0.009 2.294 2.312
1 -4 2.517 0.013 2.504 2.531 0.028 2.489 2.546
1 -5 2.921 0.005 2.916 2.926 0.011 2.911 2.932
1 -6 3.299 0.002 3.297 3.300 0.004 3.295 3.303
1 -7 3.656 0.001 3.655 3.656 0.002 3.654 3.657
Основной метод, используемый при поиске вне-солнечных планет, — метод лучевых скоростей — не позволяет определить массу m планеты, а дает лишь оценку произведения m sin i, где i — наклон орбиты к картинной плоскости, т.е. угол между лучом "наблюдатель — центр масс системы" и вектором площадей [11]. Для рассматриваемых ниже внесолнечных планетных систем наклон i является неизвестным параметром. Будем предполагать, что массы рассматриваемых планет удовлетворяют
условиям
или
10
—mj ^ mi ^ 10mj
3 10
—mj ^ mi + Ш2 ^ 10mj.
3
В этом случае углы наклона г плоскостей планетных орбит к картинной плоскости должны иметь большие значения.
Рассматривая пограничные случаи, соответствующие л = 1/300 и 1/100, будем считать, что
Таблица 2. Резонансные значения больших полуосей и размеры резонансных зон при л = 1/100
П1 П4 ar2es/a-i Узкий резонанс Широкий резонанс
Да res min res m:i\ Да res min .res m:i\
8 -11 1.233 0.220 1.013 1.452
7 -10 1.265 0.182 1.083 1.446
9 -13 1.274 0.135 1.139 1.409
9 -14 1.338 0.063 1.276 1.401
7 -11 1.347 0.087 1.261 1.434
5 -8 1.364 0.115 1.249 1.479
8 -13 1.378 0.047 1.331 1.425
3 -5 1.401 0.199 1.203 1.600
7 -12 1.428 0.037 1.391 1.464 0.288 1.140 1.716
4 -7 1.448 0.090 1.358 1.537 0.346 1.102 1.794
5 -9 1.475
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.