ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2012, том 38, № 1, с. 48-53
УДК 524.3.52
РЕЗОНАНСНЫЙ ХАРАКТЕР ХОЛЛОВСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
В ПРОТОПЛАНЕТНЫХ ДИСКАХ
© 2012 г. В. В. Прудских*
Институт физики Южного федерального университета, Ростов-на-Дону
Поступила в редакцию 16.05.2011 г.
Рассмотрены неаксисимметричные магнитозвуковые колебания радиально стратифицированного сла-боионизованного протопланетного диска с вертикальным магнитным полем. Ранее было предсказано, что комбинированный эффект холловского электрического поля и неоднородностей плотности и магнитного поля, присутствующих в диске, приводит к неустойчивости его малых азимутальных возмущений. В настоящей работе произведен пересмотр предыдущих результатов и учтен эффект неоднородной ионизации протопланетного вещества, связанный с негомогенностью среды диска. Показано, что критерий неустойчивости регулируется тремя параметрами: градиентами магнитного поля и степени ионизации, а также плазменным параметром в. Обнаружено, что при высоких значениях в, типичных для протопланетных дисков, неустойчивость не проявляется, если градиенты направлены взаимно противоположно. В случае сонаправленных градиентов взаимодействие магнитозвуковых флуктуаций с неоднородностями фиксированного размера носит резонансный характер, вызывая развитие неустойчивости в узком диапазоне волновых чисел.
Ключевые слова: аккреционные диски, магнитогидродинамика, макронеустойчивость.
ВВЕДЕНИЕ
Введенная недавно в астрофизический контекст холловская неустойчивость сжимаемых магнито-гидродинамических (МГД) колебаний слабоиони-зованной плазмы аккреционных дисков (Штем-лер и др., 2007; Ливертс и др., 2007) представляет интерес, с одной стороны, как возможный источник плазменной турбулентности, ответственной за аномальную вязкость дисков и перенос их углового момента к внешним областям, а с другой стороны, как эффективный механизм азимутальной фрагментации протопланетного диска, приводящей к образованию планетезималей. Существенным условием холловской неустойчивости является наличие в среде радиальной стратификации плотности и магнитного поля. Происхождение неоднородностей может иметь как случайный характер, так и быть связанным с кольцевыми волнами плотности. В частности, исследования Ливертс и др. (2007) показывают, что если в диске, помещенном в вертикальное магнитное поле, присутствуют неоднородности с характерным масштабом порядка 0.1 а.е., то неустойчивыми оказываются неаксисимметричные МГД-возмущения с большим азимутальным числом т ^ 1. Было обнаружено, что условия развития неустойчивости зависят от соотношения между масштабами неоднородности Ьв давления магнитного по-
Электронный адрес: slavadhb@mail.ru
ля d(B2/8n)/dr & В02/8пЬв и неоднородности L полного газового и магнитного давления плазмы d(P0 + B02/8n)/dr & (P0 + B02/8n)/L. Для больших значений в = P0/(B2/8n) вклад магнитного поля в полное давление плазмы невелик и масштаб L фактически совпадает с размером неоднородности плотности вещества диска. При этом появление неустойчивости возможно в двух случаях: во-первых, если градиенты магнитного и газового давлений сонаправлены и Lb/L > 1, а во-вторых, если градиенты ориентированы противоположно, когда Lb/L < 0. Последний случай может реа-лизовываться в молодых протопланетных облаках при наличии радиального потока на центральный объект (Хогерхейде, 2004). Анализ, проведенный Ливертсом и др. (2007), выявил, что неустойчивость эффективно развивается в плазме с высоким значением в. Так, для Lb/L = 5/3 критическое значение в, выше которого колебания диска становятся устойчивыми, составляет в & 800. Для противоположно ориентированных градиентов с Lb/L = -3/2 критическое значение в несколько уменьшается, составляя в & 1601 .
1 Во избежание недоразумений необходимо иметь в виду, что величина в в работе Ливертса и др. (2007) определена как cs/VA, где cs и VA — скорость звука и альфвеновская скорость соответственно. Для нахождения критического значения плазменного параметра в следует использовать выражение 2c;/V;.
резонансный характер холловскои неустойчивости
49
В данной работе проводится линейный анализ устойчивости неаксисимметричных магнитозвуко-вых колебаний протопланетного диска с вертикальным магнитным полем. Предполагается, что волновой вектор возмущений направлен вдоль азимута и не имеет полоидальной составляющей. В этом случае геометрия задачи в точности совпадает с рассмотренной в Ливертсом и др. (2007). Учтено, что в присутствии неоднородностей плотности степень ионизации среды диска также не является постоянной. Считается, что масштаб неоднородности Ь мал по сравнению с расстоянием г от центра вращения, так что йА0/йг ~ А0/Ь и йА0/йг » А0/г, где Ао = А0(г) — любая из невозмущенных величин плотности, степени ионизации и магнитного поля, а длина волны мала по сравнению с г, что справедливо для достаточно больших азимутальных чисел т. Аналитические результаты получены в рамках локального приближения (аргументацию допустимости такого рассмотрения применительно к неаксисимметричным МГД-неустойчивостям вращающихся дисков см. в работе Михайловского и др., 2008). С другой стороны, полученные результаты могут быть обобщены при глобальном рассмотрении с использованием граничных условий аналогично работе Балбуса, Хавли (1992) в случае аксиального магнитного поля или работе Бонано, Урпина (2008) для поля более сложной конфигурации.
Поясним происхождение неустойчивости. В слабоионизованной плазме эффекты холловского тока в уравнении индукции (его вывод см. ниже)
+
<9В ~dt 1
--rot
e
rot[V x B] -
J x B
Пе
+
4na
-ДВ
8ne
Пе
VB2
+
4na
ДВ.
В уравнении (2) первое слагаемое в правой части описывает хорошо известный эффект вмороженно-сти магнитных силовых линий. Второе слагаемое учитывает конвективный перенос магнитного поля холловским током в неоднородной плазме — квазиэлектростатическую волну электронной плотности вместе с вмороженным магнитным полем. Третье слагаемое есть диффузионный член, приводящий к рассасыванию неоднородностей поля вследствие затухания токов проводимости. Пусть магнитное поле В направлено по оси Y, а градиент плотности Vne — по оси X. Тогда из компоненты y уравнения индукции (2) следует, что в отсутствие движений среды (V = 0) изменение магнитного поля за счет холловского тока происходит, если градиент магнитного поля ориентирован вдоль оси Z. При этом перенос поля возможен как в область его повышенной напряженности, так и в обратном направлении в зависимости от взаимного расположения градиентов Vne и VB. Это свойство холловской конвекции принципиально отлично от омической диффузии магнитного поля, всегда выравнивающей начальное неоднородное состояние. Простая линеаризация уравнения (2) показывает, что процесс конвекции магнитного поля представляет собой волну, движущуюся со скоростью
V - —V—
4пе пе '
(3)
(1)
представлены вторым слагаемым в правой части. Здесь J — ток, связанный с относительным движением электронов и ионов, а — проводимость плазмы. Электроны считаются привязанными к линиям магнитного поля, а скорость ионов отличается от скорости электронов вследствие большей частоты их столкновений с нейтральным газом. Возникающее при разделении зарядов электрическое поле вызывает сонаправленный дрейф частиц с зарядами разных знаков перпендикулярно как электрическому, так и внешнему магнитному полям. Электрический дрейф ионов существенно подавляется за счет столкновений с нейтральными частицами, поэтому перенос холловского тока осуществляется в основном электронами. В случае распространения волны в неоднородной плазме перпендикулярно магнитному полю уравнение (1) может быть преобразовано к виду
<9В
~Ж
rot[V x В] +
(2)
Теперь рассмотрим диск, помещенный во внешнее магнитное поле В0, перпендикулярное его плоскости, и имеющий радиальный градиент плотности и равновесного магнитного поля. Распространяющаяся вдоль азимута диска магни-тозвуковая волна создает области уплотнения— разрежения (градиент) плазмы и вмороженного в нее магнитного поля. Согласно уравнению (2), наличие двух взаимно перпендикулярных градиентов — внешнего радиального, вызванного присутствием неоднородностей диска, и собственного азимутального, связанного с распространением волны, — вызывает появление холловской волны, переносящей магнитное поле со скоростью, сопутствующей или противоположной направлению распространения магнитозвуковой волны. В случае сопутствующей волны холловский ток усиливает поле в области сжатия магнитозвукового возмущения и ослабляет его в области разрежения, что ведет к развитию периодической неустойчивости. На языке теории колебаний это явление можно назвать неустойчивостью при пересечении ветвей быстрой магнитозвуковой и холловской волн.
Роль источников диффузии магнитного поля в слабоионизованной плазме определяется отношением величин циклотронной частоты и частоты
С
С
2
С
столкновении с нейтральным газом Vjn зарядов сорта j. Ниже рассматриваются условия, при которых Uci/vin ^ 1 для ионов и Uce/ven » 1 для электронов. Это позволяет пренебречь амбиполяр-ными потерями и считать движение ионов и нейтрального газа совместным, в то время как электронная жидкость оказывается жестко связанной с силовыми линиями магнитного поля. Такое приближение справедливо для внешних хорошо проводящих областей дисков в широком диапазоне их плотностей (Балбус, Текю, 2001). Кроме того, мы пренебрегаем резистивными потерями, что возможно, если частота волны ш (инкремент неустойчивости y) больше величины k2n, где k — волновой вектор, п = с2/4па и а = e2ue/meven — омическая проводимость плазмы. При заданном значении п это означает, что исследуются достаточно длинноволновые флуктуации с небольшим k. Считая, что характерное время развития неустойчивости порядка Q-1 (Ливертс и др., 2007), где Q — частота вращения диска и используя оценку Джина (1996) k2n/Q ~ 10-3k2H2 (H = cs/Q — характерный вертикальный масштаб диска) и условие k2n/Q ^ 1, получим, что омические потери не будут приводить к подавлению неустойчивости, если выполнено неравенство k < 1/H.
ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.