ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 1, с. 153-164
УДК 519.7
РОДЫ СТРУКТУР Н. БУРБАКИ В ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ И МОДЕЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ1
© 2015 г. Ю. И. Бродский
(119333 Москва, Вавилова 40, ВЦ РАН) e-mail: yury_brodsky@mail.ru Поступила в редакцию 24.01.2014 г.
Предлагается формализация понятия имитационной модели сложной системы с помощью рода структуры в смысле Н. Бурбаки. Для семейства родов структур, представляющего всевозможные имитационные модели, можно предложить универсальную организацию имитационных вычислений, реализуемую единой компьютерной программой. При этом упомянутое семейство оказывается замкнутым относительно операции объединения моделей-компонент в модель-комплекс. Это позволяет синтезировать сложные фрактальные модели, не меняя организацию имитационных вычислений. Более того, чем сложнее комплекс, тем большее количество вычислений может осуществляться параллельно. Отсюда возникает новый подход к проектированию и реализации имитационных моделей сложных систем, отличающийся от объектно-ориентированного подхода, — модельный синтез и модельно-ориен-тированное программирование. Этот подход позволяет исключить из проекта реализации имитационной модели императивное программирование, а также получить исполняемый код высокой степени параллельности. Библ. 17.
Ключевые слова: имитационное моделирование, сложные системы, модельный синтез, мо-дельно-ориентированное программирование, параллельные и распределенные вычисления.
DOI: 10.7868/S0044466915010056
ВВЕДЕНИЕ
В плане неформального понимания того, что такое сложная многокомпонентная система, прежде всего мы отсылаем к работам [1], [2]. Понятие имитационной модели сложной системы вводится формально как род структуры в смысле Н. Бурбаки (см. [3]). С этой точки зрения сложная система — это то, что достаточно адекватно может быть представлено моделью сложной системы.
Род структуры — развитие понятия множества. Базисное множество снабжается структурой некоторого рода — вводится определенный тип отношений между его элементами, и в зависимости от этого типа отношений, множество может стать, например, группой, или решеткой, или векторным пространством, или же в нашем случае — имитационной моделью сложной системы. При этом математический объект, например конкретное линейное пространство, является экземпляром структуры соответствующего рода.
В последние годы предложена геометрическая теория декомпозиции (см. [4]—[7]), где с помощью аппарата родов структур ищутся более простые представления различных математических объектов — их редукции и декомпозиции.
В данной работе, посвященной синтезу модели сложной системы из моделей ее компонент, нас более всего будет интересовать возможность распространения рода структуры на объединение базисных множеств математических объектов, наделенных этим родом структуры. Инвариантом относительно объединения базисных множеств имитационных моделей оказывается предлагаемый способ организации имитационных вычислений.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта № 13-01-00499-а).
Модельный синтез и анализ как способ описания и синтеза имитационных моделей сложных многокомпонентных систем предложен в [8]—[12], однако сами термины "модельный синтез" и "модельно-ориентированное программирование" впервые были предложены в [8]. В основе модельного синтеза лежит понятие модели-компоненты.
Модель-компонента — прежде всего, имитационная модель. Как имитационная модель, она имеет внутренние и внешние характеристики и удовлетворяет гипотезе о замкнутости и предположению о наблюдаемости внешних характеристик.
Гипотеза о замкнутости модели постулирует, что знания значений ее внутренних и внешних характеристик модели в момент t достаточно для вычисления внутренних характеристик на некотором интервале (t, t + A t). Таким образом, внутренние характеристики, с одной стороны, определяют состояние модели, а с другой стороны, могут прогнозироваться с помощью этой модели на некотором интервале времени. Внешние характеристики не моделируются, но влияют на модель. Поэтому их можно считать доступными для восприятия модели характеристиками внешнего по отношению к ней мира (в том числе, например, внешними управляющими воздействиями). Обычно предполагается, что внешние характеристики доступны для измерения в любой момент модельного времени. Иногда предположение о наблюдаемости внешних характеристик включают в гипотезу о замкнутости. В данной работе, упоминая гипотезу о замкнутости, всегда будем считать, что предположение о наблюдаемости внешних характеристик включается в нее.
Модель-компонента подобна объекту объектного анализа, но помимо характеристик, снабженному не только методами, способными делать что-то, если их вызовут, но и неким аналогом операционной системы, всегда готовым давать стандартные ответы на стандартные запросы внутренней и внешней среды модели.
С формальной точки зрения, модель-компонента есть математический объект, базисным множеством которого является совокупность множеств внутренних и внешних характеристик модели, методов (того, что модель умеет делать) и событий (того, на что модель должна уметь реагировать). На базисном множестве вводится род структуры "модель-компонента", который обладает двумя свойствами.
1. Род структуры "модель-компонента" позволяет стандартным и однозначным образом организовать вычислительный процесс моделирования для всех объектов, снабженных структурой этого рода. Это означает возможность создания универсальной программы, способной запустить на выполнение любую имитационную модель, если та является математическим объектом, снабженным структурой рода модели-компоненты.
2. Семейство родов структур модели-компоненты оказывается замкнутым относительно объединения моделей компонент в модель-комплекс. Это означает, что модель-комплекс (возможно, после включения некоторых дополнительных компонент и характеристик), становится математическим объектом, наделенным структурой рода принадлежащего семейству модели-компоненты.
Второе свойство позволяет образовывать из моделей-компонент модели-комплексы, которые оказываются математическими объектами того же самого семейства родов структур, и снова могут объединяться в модели-комплексы.
Первое свойство позволяет не впадать в отчаяние от сложности вычислительного процесса, получающейся в результате таких объединений сверхсложной фрактальной модели.
Для программной реализации сложной многокомпонентной модели предлагается модельно-ориентированная парадигма программирования, где единицей проектирования является модель-компонента — более агрегированная конструкция, по сравнению с объектом объектного анализа. (Не следует смешивать с раличными вариантами концепции разработки программных систем управляемой моделями, такими как MDA (Model Driven Architecture), MDE (Model Driven Engineering) и MDD (Model Driven Development.)
1. РОДЫ СТРУКТУР
Оригинальное изложение аппарата родов структур, содержащееся в [3], опирается на специфическую "бурбаковскую" терминологию и аксиоматику, отличающуюся от принятой в большинстве учебников по теории множеств. Тем не менее существуют работы (см., например, [5] и [13]), где изложение ведется на основании классической терминологии и аксиоматики. В русле именно этих работ мы и дадим здесь определение рода структуры.
Род структуры объявляет о том, что математический объект будет состоять из частей а!,..., а г некоторых множеств, что записывается в виде
01 с ^(Х^...,Х„,4,...,Am),..., аг с (X!,...,Х„,Аь...,Ат).
Здесь множества Х1,...,Хп называются базисными, множества А1,...,Ат — вспомогательными (употребляемая терминология почерпнута из [3]). Множества ¿к(Х1,...,Хп,А1,...,Ат), 1 < к < г, — так называемые ступени, построенные по схеме ¿к из исходных множеств Х1,...,Хп,А1,...,Ат. Ступени получаются путем применения к исходным множествам и/или уже имеющимся ступеням операций декартова произведения х, и взятия множества всех подмножеств Р(-).
1. По определению Х , — ступень, при любом 1 < , < п. Аналогично Ау — ступень, при любом
1 < у < т.
2. Если S — ступень, то и Р(£) — ступень.
3. Если S и S' — ступени, то и S х — ступень.
4. Других ступеней нет.
Схема ¿к фиксирует исходные множества и порядок применения к ним двух указанных выше операций.
Базисные и вспомогательные множества играют разную роль в построениях родов структур (например, в построениях данной работы вспомогательные множества вообще не используются). Базисные множества должны быть обозначены разными буквами. На обозначения вспомогательных множеств таких ограничений не накладывается. Соотношения
01 с ¿1(Х 1,..., Хп, Аь..., Ат) ^ • ^ 0г с (Х1,..., Хп, Аь..., Ат)
называются соотношениями типизации. В род структур, кроме соотношений типизации, может входить еще некоторое соотношение
Я(Х 1,..., Хп,сть...,ст г, А1,..., Ат,^1,...,^,),
которое предъявляет к роду структуры некоторые требования. Здесь ^1,..., ^ ^ — соотношения, касающиеся множеств А1,..., Ат. Вспомогательные множества А1,..., Ат и соотношения 2^,..., 2,^ не преобразуются — отображения рассматриваются только над базисными множествами.
Соотношение Я(Х1,..., Хп, ст1,..., стг, А1,..., Ат, ^1,..., 2,^) называется аксиомой данного рода структуры. К нему предъявляется требование: оно должно быть переносимо при биекциях. Это означает, что
(/,;Х, ^ Х], , = 1,2,...,п,) - биекции) ^ (Я(Х,а,А,ф ^ Я(Х'а', А,£)), где а' = ¿(/, ).
Здесь Б(/, 1йА) — так называемое распространение (см. [3], [4]) отображений / базисных множеств и тождественное распространение вспомогательных множеств по схеме Б.
Род структуры будет обозначаться далее через
Е(АЬ...,Ап,^1,...,^,) = (Х1,...,Хп; [01 с ¿\(Х,А),...,аг с ¿г(Х,А)]; [Л(Х,ст,А,£)]) или короче:
Е[(А,§] = (Х; [а с Б(Х, А)]; [Л(Х,а, А,^)]).
Скобки ( и ) здесь играют роль ограничителя. Необязательные элементы рода структуры, как это принято при записи такого сорта конструкций, поставлены в квадратные скобки. Далее по возможности будет использоваться короткая форма всех соот
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.